2022年导数在研究函数中的应用教案.pdf

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1、学习好资料欢迎下载第二章函数与导数第 12课时导数在研究函数中的应用(对应学生用书(文)、(理)3032 页) 考情分析考点新知 导数与函数内容的结合命题已成为近几年高考的流行趋势， 应引起足够的重视 . 以导数为研究函数的重要工具来解决函数的单调性与最值问题是高考的热点，同时解答题侧重于导数的综合应用，即导数与函数、数列、不等式的综合应用 理解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性. 掌握利用导数求函数极值与最值的方法 . 会利用导数解决某些实际问题., 1. (选修 22P28例 1改编)函数 f(x)x315x233x6 的单调减区间为_ 答案： (1，11)解析：f (x

2、)3x230 x333(x11)(x1)，由(x11)(x1)0，得单调减区间为 (1，11)亦可填写闭区间或半开半闭区间精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载2. (选修 22P34习题 3 改编)若函数 f(x)exax 在 x1 处取到极值，则 a_答案： e解析： 由题意， f(1)0，因为 f (x)exa，所以 ae. 3. (选修 22P34习题 8)函数 yxsinx，x0，2的值域为_答案： 0，2

3、解析： 由 y 1cosx0，所以函数 yxsinx 在0，2上是单调增函数，所以值域为0，24. (原创)已知函数 f(x)12x2blnx 在区间 2， )上是减函数，则 b 的取值范围是 _答案： (，4解析： f (x)xbx0 在2，)上恒成立，即bx2在2，)上恒成立5. (选修 22P35例 1 改编)用长为 90cm、宽为 48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器， 先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折 90角，再焊接而成，则该容器的高为_cm时，容器的容积最大答案： 10解析：设容器的高为 xcm，即小正方形的边长为xcm，该容器的容积为 V，则 V(902x)(482x

4、)x4(x369x21080 x)，0 x12，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载V12(x246x360)12(x10)(x36)，当 0 x0；当 10 x12 时，V0，那么函数 yf(x) 为该区间上的增函数；如果 f (x)0 即 3x230，解得 x1 或 x1，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4

5、 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载 f(x)的单调增区间为 (，1)(1，)，同理可求 f(x)的单调减区间为 (1，1)(2) f(x)3x2a. f(x)在实数集 R 上单调递增， f(x)0 恒成立，即 3x2a0 恒成立，a(3x2)min. 3x2的最小值为 0， a0.(3) 假设存在实数 a使 f(x)在(1，1)上单调递减， f(x)0 在(1，1)上恒成立，即 a3x2.又 3x20，3)， a3.存在实数 a使 f(x)在(1，1)上单调递减，且a3. 备选变式（教师专享）(1) 已知函数f(x)12x2mlnx(m1)x，当 m

6、0 时，试讨论函数 f(x) 的单调性；(2) 若函数 f(x)12()x22blnx 在(1，)上是减函数，求实数 b 的取值范围解： (1)函数的定义域为()0， ，f(x)xmx(m1)x2（m1）xmx（x1）（xm）x.当 10，得 0 x1，令 f (x)0，得mx1， 函数 f(x)的单调递增区间是()0， m 和()1， ，单调递减精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载区间是()m，1 ；当 m1 时

7、， 同理可得，函数 f(x) 的单调递增区间是()0，1 和()m， ，单调递减区间是()1，m .(2)由 f(x)12()x22blnx，得 f (x)(x2)bx，由题意，知f (x)0 即()x2bx0 在()1，上恒成立， bx()x2min，当 x()1， 时，x()x2()1， ， b1. 题型 2导数与函数的极值、最值例 2设函数 f(x)(x2axb)ex(xR)(1) 若 a2，b2，求函数 f(x)的极大值；(2) 若 x1 是函数 f(x) 的一个极值点 试用 a 表示 b； 设 a0，函数 g(x)(a214)ex4.若1、20，4，使得|f(1)g( 2)|1 成立

8、，求 a的取值范围解：(1) f (x)(2xa)ex(x2axb)exx2(2a)x(ab)ex，当 a2，b2 时，f(x)(x22x2)ex，则 f (x)(x24x)ex，令 f (x)0 得(x24x)ex0， ex0, x24x0，解得 x4 或 x0，列表如下：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载x (， 4) 4 (4，0) 0 (0，) f (x)0 0 f(x) Z极大值极小值Z 当 x4 时，

9、函数 f(x)取极大值， f(x)极大值6e4.(2) 由(1)知 f (x)x2(2a)x(ab)ex. x1 是函数 f(x)的一个极值点，f(1)0，即 e1(2a)(ab)0，解得 b32a. 由知 f (x)exx2(2a)x(3a)ex(x1)x(3a)，当 a0 时，f(x)在区间 (0，1)上的单调递减，在区间(1，4)上单调递增， 函数 f(x)在区间 0，4上的最小值为 f(1)(a2)e. f(0)b32a0，f(4)(2a13)e40， 函数 f(x)在区间 0，4上的值域是 f(1)，f(4) ，即(a2)e，(2a13)e4又 g(x)(a214)ex4在区间 0，

10、4上是增函数，且它在区间0，4上的值域是 (a214)e4，(a214)e8， (a214)e4(2a13)e4(a22a1)e4(a1)2e40， 存在 1、20，4使得|f(1)g(2)|1 成立只须 (a214)e4(2a13)e41T(a1)2e41T(a1)21e4T11e2a1精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载1e2. 备选变式（教师专享）已知函数 f(x)ax3bx23x(a、bR)在点 x1 处取

11、得极大值为 2. (1) 求函数 f(x)的解析式；(2) 若对于区间 2，2上任意两个自变量的值x1、x2，都有|f(x1)f(x2)|c，求实数 c 的最小值解：(1) f (x)3ax22bx3.由题意，得f（1）2，f（ 1）0，即ab32，3a2b30，解得a1，b0，所以 f(x)x33x.(2) 令 f (x)0，即 3x230，得 x 1.x 2 (2，1) 1 (1，1) 1 (1，2) 2 f (x)f(x) 2 增极大值减极小值增2因为 f(1)2，f(1)2，所以当 x2，2时，f(x)max2，f(x)min2. 则对于区间 2，2上任意两个自变量的值x1、x2，都有

12、 |f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min|4，所以 c4.所以 c 的最小值为 4. 题型 3导数在实际问题中的应用精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载例 3请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为 60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C、D 四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F 在 AB 上是被切去的等腰

13、直角三角形斜边的两个端点，设AEFBx cm. (1) 某广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，试问 x 应取何值？(2) 某厂商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解：(1) S6024x2(602x)2240 x8x2(0 x30)，所以 x15 cm时侧面积最大(2) V(2x)222(602x)2 2x2(30 x)(0 x30)，所以 V 6 2x(20 x)，令 V 0，得 x20，当 0 x20 时，V 递增；当 20 x0，mxN.(2) 当 m1 280时，y1 280 x256x1 536，y1 28012 x256x2

14、，令 y0，得 x64，当 0 x64 时，y64 时，y0.所以当 x64 时，y 有最小值 16 896，此时要建 21 个桥墩答：需要建 21 个桥墩才能使 y 最小【示例】(本题模拟高考评分标准，满分14 分) 已知函数 f(x)lnxax(aR)(1) 求函数 f(x)的单调区间；(2) 当 a0 时，求函数 f(x)在1，2上的最小值审题引导： 知函数解析式求单调区间， 实质是求 f (x)0，f(x)0)(1 分) 当 a0 时，f(x)1xa0，即函数 f(x)的单调增区间是 (0，)(3 分) 当 a0时，令 f (x)1xa0，得 x1a，当 0 x0，当 x1a时，f(x

15、)1axx0，所以函数 f(x) 的单调增区间是 0，1a，单调减区间是1a， .(6 分) (2) 当1a1，即 a1 时，函数 f(x)在区间 1，2上是减函数，所以 f(x)的最小值是 f(2)ln22a.(8分) 当1a2，即 0a12时，函数 f(x)在区间 1，2上是增函数，所以 f(x)的最小值是 f(1)a.(10分) 当 11a2，即12a1 时，函数 f(x)在区间 1，1a上是增函数，在区间1a，2 上是减函数，又 f(2)f(1)ln2a，所以当12aln2 时，最小值是 f(1)a；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载

16、名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载当 ln2a1时，最小值是 f(2)ln22a.(12 分) 综上可知，当 0aln2 时，最小值是 a；当 aln2 时，最小值是 ln22a.(14分) 1. (2013新课标 )若存在正数 x 使 2x(xa)1 成立，则 a 的取值范围是 _答案： (1，)解析：因为 2x(xa)x12x，令 f(x)x12x，所以 f (x)12xln20，所以 f(x)在(0，)上单调递增，所以f(x)f(0) 011，所以 a的取值范围是 (1，)2. (2013

17、 大纲)若函数 f(x) x2ax1x在12， 上是增函数，则 a的取值范围是 _答案： a3解析： f (x)2xa1x20 在12， 上恒成立，即a1x22x在12， 上恒成立 令 g(x)1x22x，求导可得 g(x)在12， 上的最大值为 3，所以 a3. 3. (2013扬州期末 )已知函数 f(x)lnxmx(mR)在区间1，e上取得最小值 4，则 m_答案： 3e精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载

18、解析： f (x)1xmx2xmx2，令 f (x)0，则 xm，且当 xm 时，f(x)m 时，f(x)0，f(x)单调递增若m1，即 m1 时，f(x)minf(1)m1，不可能等于 4；若 1me， 即eme，即 m0. (1) 解 ： f (x) 2x (a 2) ax2x2（a2）xax（2xa）（x1）x(x0)当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)在(0，)上单调递增，所以函数 f(x)的单调增区间为 (0，)当 a0 时，由 f (x)0，得 xa2；由 f (x)0，得 0 x0，且 f(x)的最小精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - -

19、欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载值 fa20，即 a24a4alna20，所以 a4lna240.令 h(a)a4lna24，显然 h(a)在(0，)上为增函数，且h(2)20，所以存在 a0(2，3)，h(a0)0.当 aa0时，h(a)0；当 0aa0时，h(a)0，f(1)0，所以 a3 时，f(x)有两个零点综上所述，满足条件的最小正整数a的值为 3.(3) 证明： 因为 x1、x2是方程 f(x)c 的两个不等实根，由 (1)知a0.不妨设 0 x1x2，则 x21(a2)

20、x1alnx1c，x22(a2)x2alnx2c.两式相减得 x21(a2)x1alnx1x22(a2)x2alnx20，即 x212x1x222x2ax1alnx1ax2alnx2a(x1lnx1x2lnx2)所以 ax212x1x222x2x1lnx1x2lnx2.因为 f a20，当 x 0，a2时，f(x)0，故只要证x1x22a2即可，即证明 x1x2x212x1x222x2x1lnx1x2lnx2，即证明 x21x22(x1x2)(lnx1lnx2)x212x1x222x2，即证明 lnx1x22x12x2x1x2.设 tx1x2(0t0，所以 g(t) 0，当且仅当 t1 时，g

21、(t)0，所以 g(t)在(0，)上是增函数又 g(1)0，所以当 t(0，1)，g(t)0)，由 l 2a1a2a21a2 a22a22a，令 l 0，得 la2lna 在22， 上单调递增；令 l 0，得 la2lna 在 0，22上单调递减，所以当a22时，线段 MN 的长取得极小值，也是最小值4. 已知函数 f(x)(ax2x)ex，其中 e是自然数的底数， aR. (1) 当 a0；(2) 若 f(x)在1，1上是单调函数，求a的取值范围；(3) 当 a0 时，求整数 k 的所有值，使方程f(x) x2 在k，k1上有解精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - -

22、- - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载解：(1) 因为 ex0，所以不等式 f(x)0 即为 ax2x0.又 a0，所以不等式可化为x x1a0 的解集为 0，1a.(2) f(x)(2ax1)ex(ax2x)exax2(2a1)x1ex， 当 a0 时，f(x)(x1)ex，f(x)0 在1，1上恒成立，当且仅当 x1 时取等号，故 a0 符合要求； 当 a0 时，令 g(x)ax2(2a1)x1，因为 (2a1)24a4a210，所以 g(x)0 有两个不相等的实数根x1、

23、x2，不妨设x1x2，因此 f(x)有极大值又有极小值若a0，因为 g(1) g(0)a0，所以 f(x)在(1，1)内有极值点， 故 f(x)在1，1上不单调 若a0 x2，因为 g(x)的图象开口向下，要使f(x) 在1，1上单调，因为 g(0)10，必须满足g（1）0，g（1）0.即3a20，a0.所以23a0.综上可知， a 的取值范围是23，0 .(3) 当 a0 时， 方程即为 xexx2，由于 ex0，所以 x0 不是方程的解，所以原方程等价于ex2x10.令 h(x)ex2x1，因为 h(x) ex2x20 对于 x(，0)(0，)恒成立，所以h(x)在(，0)和(0，)内是单

24、调增函数，又h(1)e30，h(3)e3130，所精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载以方程 f(x)x2 有且只有两个实数根， 且分别在区间 1，2和3，2上，所以整数 k 的所有值为 3，11. 在已知函数 f(x)是增函数 (或减函数 )，求参数的取值范围时，应令 f (x)0(或 f (x)0)恒成立，解出参数的取值范围 (一般可用不等式恒成立的理论求解 )，然后检验参数的取值能否使f (x)恒等于 0，

25、若能恒等于 0，则参数的这个值应舍去；若f (x)不恒为 0，则参数范围确定2. 理解可导函数极值与最值的区别，极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较； 函数的最值是表示函数在一个区间上的情况， 是对函数在整个区间上的函数值的比较，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点的函数值3. 用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点请使用课时训练 (A)第 12 课时(见活页 )备课札记 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 18 页 - - - - - - - - - -