2022年导数及其应用极值与最值教学设计.pdf

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1、专题 020：导数的应用 (极值与最值 )（教学设计）（师）考点要求：1利用导数求函数的极值2利用导数求函数闭区间上的最值3利用导数解决某些实际问题4复习时，应注重导数在研究函数极值与最值中的工具性作用，会将一些实际问题抽象为数学模型，从而用导数去解决复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用. 知识结构：1函数的极值(1)判断 f(x0)是极值的方法 列表法一般地，当函数f(x)在点 x0处连续时，如果在 x0附近的左侧f(x)0，右侧 f(x)0，那么 f(x0)是极大值；如果在 x0附近的左侧f(x)0，右侧 f(x)0，那么 f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤 列表法求

2、f(x)；求方程 f(x)0 的根；检查 f(x)在方程f(x)0 的根左右值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点2函数的最值(1)在闭区间 a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数 f(x)在a， b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值(3)设函数 f(x)在a，b上连续，在 (a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求 f(x

3、)在(a，b)内的极值；将 f(x)的各极值与f(a)， f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值3利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)；(2)求函数的导数f (x)，解方程 f(x)0；（一般情况下为单峰函数）(3)比较函数在区间端点和f(x) 0 的点的函数值的大小，最大(小)者为最大 (小)值；(4)回归实际问题作答4两个注意精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页

4、，共 9 页 - - - - - - - - - - (1)注意实际问题中函数定义域的确定（定义域优先原则）(2)在实际问题中（一般情况下为单峰函数），如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较5三个防范(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部 ”概念(2)f(x0)0 是 yf(x)在 xx0取极值的既不充分也不必要条件如y|x|在 x0 处取得极小值，但在x0 处不可导；f(x)x3，f(0)0，但 x0 不是 f(x)x3的极值点(3)若

5、yf(x)可导，则 f(x0)0 是 f(x)在 xx0处取极值的必要条件基础自测：1(2011 福建 )若 a0，b 0，且函数 f(x)4x3ax22bx2 在 x1 处有极值，则ab 的最大值等于 ()A2 B3 C6 D9 解析f (x)12x22ax2b，由函数f(x)在 x1 处有极值，可知函数f(x)在 x1 处的导数值为零，12 2a2b0，所以 ab6，由题意知a，b都是正实数，所以abab226229，当且仅当ab3 时取到等号答案D 2已知函数f(x)14x443x32x2，则 f(x)()A有极大值，无极小值B有极大值，有极小值C有极小值，无极大值D无极小值，无极大值解

6、析f(x)x34x24xx(x2)2f(x)，f(x)随 x 变化情况如下x (，0)0(0,2)2(2， ) f(x)00f(x)043精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 因此有极小值无极大值答案C 3(2010 山东 )已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y13x3 81x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13 万件B11 万件C9 万件 D7 万件解析y x281，令 y

7、0 解得 x9(9 舍去)当 0 x9 时， y0；当 x9 时， y0，则当 x9 时，y 取得最大值，故选C. 答案C 4(2011 广东 )函数 f(x)x33x21 在 x_处取得极小值解析f (x)3x2 6x3x(x2) 当 x0 时， f(x)0，当 0 x2 时，f(x)0，当 x2 时， f(x)0，故当 x2 时取得极小值答案2 5若函数f(x)x2ax 1在 x1 处取极值，则a_. 解析f(x)在 x1 处取极值， f(1)0，又 f(x)2x x1 x2ax12， f(1)21 11 1a1120，即 21(11)(1a)0，故 a3. 答案3 例题选讲：例 1：(2

8、011 重庆 )设 f(x)2x3ax2bx1 的导数为f(x)，若函数yf(x)的图象关于直线x12对称，且f(1)0. (1)求实数 a，b 的值；(2)求函数 f(x)的极值分析： 由条件 x12为 yf(x)图象的对称轴及f(1)0 求得 a，b 的值，再由f(x)的符号求其极值，列表法解(1)因 f(x)2x3ax2bx1，故 f(x)6x22axb. 从而 f(x)6 xa62ba26，即 yf(x)的图象关于直线xa6对称，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页

9、- - - - - - - - - - 从而由题设条件知a612，解得 a3. 又由于 f(1)0，即 62ab0，解得 b 12. (2)由(1)知 f(x) 2x33x212x1，f(x)6x26x126(x1)(x2)令 f(x)0，即 6(x1)(x2)0，解得 x1 2，x21. 当 x(， 2)时， f(x)0，故 f(x)在(， 2)上为增函数；当 x(2,1)时， f(x)0，故 f(x)在(2,1)上为减函数；当 x(1， )时， f(x)0，故 f(x)在(1， )上为增函数从而函数 f(x)在 x1 2 处取得极大值f(2) 21，在 x21 处取得极小值f(1)6. 小

10、结：运用导数求可导函数yf(x)的极值的步骤 列表法：(1)先求函数的定义域，再求函数yf(x)的导数f(x)；(2)求方程f(x)0 的根； (3)检查 f(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值例 2：已知 a 为实数，且函数f(x)(x24)(x a)(1)求导函数f(x)；(2)若 f(1)0，求函数 f(x)在2,2上的最大值、最小值分析： 先化简再求导，求极值、端点值，进行比较得最值解(1)f(x)x3ax24x4a，得 f(x)3x22ax4. (2)因为 f(1)0，所以 a12，有 f(x)

11、x312x24x2，所以 f(x)3x2x4. 令 f(x)0，所以 x43或 x 1. 又 f435027，f(1)92，f(2)0，f(2)0，所以 f(x)在2,2上的最大值、最小值分别为92、5027. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 小结： 一般地，在闭区间a，b上的连续函数f(x)必有最大值与最小值，在开区间(a，b)内的连续函数不一定有最大值与最小值，若函数yf(x)在闭区间 a，b上单调递增，则f(a)是最小值，

12、f(b)是最大值；反之，则f(a)是最大值， f(b)是最小值例 3：(2011 江苏 )请你设计一个包装盒如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D 四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒 E、F 在 AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBx(cm)(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值分析：由实际问题抽象出函数模型，利用导数求函数最

13、优解，注意变量的实际意义解设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)由已知得a2x， h60 2x22(30 x)，0 x30. (1)S 4ah8x(30 x) 8(x15)21 800，所以当 x15 时， S取得最大值(2)Va2h22(x330 x2)， V 6 2x(20 x)由 V 0 得 x0(舍去 )或 x20. 当 x(0,20)时， V 0；当 x(20,30)时， V 0. 所以当 x20 时， V 取得极大值，也是最大值此时ha12.即包装盒的高与底面边长的比值为12. 小结： 在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域

14、，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合，用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点巩固作业：A 组：一、选择题：1如果函数428yxxc在 1,3上的最小值是14，那么c（B）()A1 ()B2 ()C1()D2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 2下列函数中，0 x是极值点的函数是(B）（A）3yx（B）2cosyx（C ）tanyxx（D）1yx3下列说法

15、正确的是（D ）（A）函数的极大值就是函数的最大值（ B）函数的极小值就是函数的最小值（C）函数的最值一定是极值（ D）在闭区间上的连续函数一定存在最值二、填空题：4函数223)(abxaxxxf在1x处有极值10，则点),(ba为5函数32( )f xxpxqx的图象与x轴切于点(1,0)，则( )f x的极大值为427，极小值为06函数321( )252f xxxx，若对于任意 1,2x，都有( )f xm，则实数m的取值范围是(7,)7函数5123223xxxy在0 ，3 上的最大值、最小值分别是 5， 15 。8函数1( )sin,(0,2 )2f xxxx的最大值是，最小值是0。9函

16、数( )sin(1cos )f xxx的极大值是3 34，极小值是3 34。三、解答题：10. (2011安徽 )设 f(x)ex1ax2，其中 a 为正实数(1)当 a43时，求 f(x)的极值点； (2)若 f(x)为 R 上的单调函数，求a 的取值范围解对 f(x)求导得 f(x) ex1ax22ax1ax2 2.(1)当 a43时，若 f(x)0，则 4x28x30，解得 x132，x212. 综合，可知x ，121212，323232，f(x)00f(x)极大值极小值所以， x132是极小值点， x212是极大值点(2)若 f(x)为 R 上的单调函数，则f(x)在 R 上不变号，结

17、合与条件a0，知 ax2 2ax10 在 R 上恒成立因此 4a24a4a(a1)0，由此并结合a0，知 0a1. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 11.函数 f(x)x3ax2b 的图象在点P(1,0)处的切线与直线3xy0 平行(1)求 a，b；(2)求函数 f(x)在0，t(t0)内的最大值和最小值解(1)f (x)3x22ax由已知条件f 1 0，f 1 3，即ab 10，2a3 3，解得a 3，b2.(2)由(1)知 f

18、(x) x3 3x22，f(x)3x26x3x(x2)，f(x)与 f(x)随 x 变化情况如下：x (， 0)0(0,2)2(2， ) f(x)00f(x)22由 f(x)f(0)解得 x0，或 x3 因此根据 f(x)的图象当 0t2 时， f(x)的最大值为f(0)2 最小值为 f(t)t33t22；当 23 时， f(x)的最大值为f(t)t33t22，最小值为f(2)2. 12. 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中，每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米 /小时 )的函数解析式可以表示为： y1128 000 x3380 x8(0 x120)已知甲、乙两地相距100 千米(1)

19、当汽车以40 千米 /小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解(1)设汽车以 x 千米/小时的速度行驶时，其耗油量为f(x)100 x1128 000 x3380 x8精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - x21 280800 x154(0 x120) f(40)17.5(升) 因此从甲地到乙地要耗油17.5 升(2)f(x)x640800 x2x3512

20、 000640 x2x80 x280 x6 400640 x2又 0 x120，令 f(x)0 解得 x80，当 0 x80 时， f(x)0；当 800. 则当 x80 时， f(x)取到最小值f(80)11.25(升 ) 因此当汽车以80 千米 /小时行驶时耗油最省，最小耗油量为11.25 升13. 设函数22( )21(0)f xtxt xtxtR，（）求( )f x的最小值( )h t；（）若( )2h ttm对(0 2)t，恒成立，求实数m的取值范围解： （）23( )()1(0)f xt xtttxtR，当xt时，( )f x取最小值3()1fttt，即3( )1h ttt（）令3

21、( )( )( 2)31g th ttmttm，由2( )330g tt得1t，1t（不合题意，舍去） 当t变化时( )g t，( )g t的变化情况如下表：t(01)，1(12)，( )g t0( )g t递增极大值1m递减( )g t在(0 2)，内有最大值(1)1gm( )2h ttm在(0 2)，内恒成立等价于( )0g t在(0 2)，内恒成立，即等价于10m，所以m的取值范围为1m精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 点评： 本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -