2022年导数大题经典重点讨论练习及答案整理理科.pdf

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1、导数大题经典重点讨论练习及答案整理理科导数大题专题训练1.已知 f( x) xlnx ax,g( x) x22, ( ) 对一切 x( 0,) ,f(x)g( x) 恒成立 ,求实数 a 的取值范围 ; ( ) 当 a 1 时,求函数 f( x) 在m,m3( m0)上的最值 ;( ) 证明 :对一切 x( 0,) ,都有 lnx1exex21成立. 2、已知函数2( )ln2(0)f xaxax、( )若曲线 y=f (x)在点 P(1,f (1)处的切线与直线y=x+2 垂直 ,求函数y=f (x)的单调区间 ;()若对于(0,)x都有 f (x) 2(a1)成立 ,试求 a 的取值范围

2、;()记 g (x)=f (x)+x b(bR)、当 a=1 时,函数 g (x)在区间 e1,e上有两个零点 ,求实数 b 的取值范围、3. 设函数 f (x)=lnx+(x a)2,aR、()若 a=0,求函数 f (x) 在1,e上的最小值 ; ()若函数 f (x) 在1,22上存在单调递增区间,试求实数 a的取值范围 ; ()求函数 f (x) 的极值点、4、已知函数21( )(21)2ln()2f xaxaxxaR、( ) 若曲线( )yf x在1x与3x处的切线互相平行, 求a的值 ;( ) 求( )f x的单调区间;( ) 设2( )2g xxx, 若对任意1(0,2x, 均存

3、在2(0, 2x, 使得12()()f xg x, 求a的取值范围、5、已知函数)0(2ln2axaxxf( ) 若曲线 yf( x) 在点 P( 1, f(1) 处的切线与直线yx2 垂直 , 求函数 yf( x) 的单调区间 ; ( ) 若对于任意) 1(2,0axfx都有成立 , 试求 a 的取值范围 ; ( ) 记 g( x) f( x) xb(bR) 、当 a1 时, 函数 g(x) 在区间e,e1上有两个零点 , 求实数 b 的取值范围 . 6、已知函数1ln( )xf xx. ( 1) 若函数在区间1( ,)2a a( 其中0a) 上存在极值 , 求实数 a 的取值范围 ; (

4、2) 如果当1x时, 不等式( )1kf xx恒成立 , 求实数 k 的取值范围 . 1、解:( ) 对一切)()(), 0(xgxfx恒成立 , 即2ln2xaxxx恒成立、也就就是xxalnx2在),0(x恒成立 ; 令xxxxF2ln)( , 则F2222)1)(2(2211)(xxxxxxxxx, 在)10( ，上F0)(x, 在)1( ，上F0)(x, 因此,)(xF在1x处取极小值 , 也就是最小值, 即3) 1()(minFxF, 所以3a、( ) 当时，1axxxxfln)(,f2ln)(xx, 由f0)(x得21ex、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -

5、 - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 导数大题经典重点讨论练习及答案整理理科当210em时, 在)1,2emx上f0)(x, 在3,1(2mex上f0)(x因此 ,)(xf在21ex处取得极小值 , 也就是最小值、2min1)(exf、由于0 1)3)ln(3()3(, 0)(mmmfmf因此 ,1)3)ln(3()3()(maxmmmfxf当时21em,0)( xf, 因此 3,)(mmxf在上单调递增 , 所以) 1(ln)()(minmmmfxf, 1)3)ln(3()3()(maxmm

6、mfxf9 分( ) 证明 :问题等价于证明), 0(2lnxeexxxxx由( ) 知1a时,xxxxfln)(的最小值就是21e,当且仅当21ex时取得 , 设), 0(2)(xeexxGx, 则Gxexx1)(, 易知eGxG1) 1()(max, 当且仅当1x时取到 , 但，ee112从而可知对一切(0,)x, 都有exexx211ln成立、2、解 : ( ) 直线 y=x+2 的斜率为 1、函数 f (x)的定义域为 (0,+ ), 因为22( )afxxx, 所以22(1)111af, 所以 a=1、所以2( )ln2f xxx、22( )xfxx、由( )0fx解得 x0; 由(

7、 )0fx解得 0 x2、 所以 f (x)的单调增区间就是(2,+ ), 单调减区间就是(0,2) ( )2222( )aaxfxxxx, 由( )0fx解得2xa;由( )0fx解得20 xa、所以 f (x)在区间2(,)a上单调递增 , 在区间2(0,)a上单调递减、 所以当2xa时, 函数 f (x) 取得最小值 ,min2()yfa、 因为对于(0,)x都有( )2(1)f xa成立 , 所以2( )2(1)faa即可、 则22ln2 2(1)2aaaa、 由2lnaaa解得20ea、 所以 a 的取值范围就是2(0,)e、( ) 依题得2( )ln2g xxxbx, 则222(

8、)xxgxx、由( )0gx解得 x1; 由( )0gx解得 0 x1、所以函数( )g x在区间 (0,1) 为减函数 , 在区间 (1,+ ) 为增函数、又因为函数( )g x在区间 e1,e 上有两个零点, 所以1()0( )0(1)0g eg eg、解得21e1eb、所以 b 的取值范围就是2(1,e1e、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 导数大题经典重点讨论练习及答案整理理科3. 解: ( )f (x)的定义域为 (0,+

9、 ) 、因为1()20fxxx, 所以 f (x)在1,e上就是增函数, 当 x=1 时,f (x)取得最小值f (1)=1、所以 f (x)在1,e上的最小值为1、( ) 解法一 :21221( )2()xaxfxxaxx设 g (x)=2x22ax+1, 依题意 , 在区间1,22上存在子区间使得不等式 g (x) 0 成立、注意到抛物线g (x)=2x22ax+1 开口向上 , 所以只要g (2) 0, 或1()02g即可由 g (2) 0, 即 84a+10, 得94a, 由1()02g, 即1102a, 得32a, 所以94a, 所以实数a 的取值范围就是9(,)4、解法二 :212

10、21( )2()xaxfxxaxx, 依题意得 , 在区间1,22上存在子区间使不等式2x22ax+10 成立、又因为x0, 所以12(2)axx、设1( )2g xxx, 所以 2a 小于函数 g (x) 在区间1,22的最大值、又因为1( )2gxx, 由21( )20g xx解得22x; 由21( )20gxx解得202x、所以函数g (x) 在区间2(,2)2上递增 , 在区间12(,)22上递减、所以函数g (x) 在12x, 或 x=2 处取得最大值、又9(2)2g,1()32g, 所以922a,94a所以实数a 的取值范围就是9(,)4、 () 因为2221()xaxfxx, 令

11、 h (x)=2x22ax+1 显然 , 当 a0 时, 在(0,+ ) 上 h (x) 0 恒成立 ,f (x) 0, 此时函数f (x)没有极值点 ; 当 a0 时, (i)当 0, 即02a时, 在(0,+ ) 上 h (x) 0 恒成立 , 这时 f (x) 0, 此时 , 函数 f (x)没有极值点 ; (ii)当 0 时, 即2a时, 易知 , 当222222aaaax时,h (x)0, 这时 f (x) 0; 当2202aax或222aax时,h (x)0, 这时 f (x) 0; 所以 , 当2a时,222aax就是函数f (x)的极大值点 ;222aax就是函数f (x)的极

12、小值点、综上 , 当2a时, 函数 f (x)没有极值点 ; 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 导数大题经典重点讨论练习及答案整理理科当2a时,222aax就是函数 f (x)的极大值点 ;222aax就是函数f (x)的极小值点、4. 解:2( )(21)fxaxax(0)x、 ( )(1)(3)ff, 解得23a、( )(1)(2)( )axxfxx(0)x、当0a时,0 x,10ax, 在区间(0,2)上,( )0fx; 在区

13、间(2,)上( )0fx, 故( )f x的单调递增区间就是(0,2), 单调递减区间就是(2,)、当102a时,12a, 在区间(0,2)与1(,)a上,( )0fx; 在区间1(2,)a上( )0fx, 故( )f x的单调递增区间就是(0,2)与1(,)a, 单调递减区间就是1(2,)a、当12a时,2(2)( )2xfxx, 故( )f x的单调递增区间就是(0,)、当12a时,102a, 在区间1(0,)a与(2,)上,( )0fx; 在区间1(,2)a上( )0fx, 故( )f x的单调递增区间就是1(0,)a与(2,), 单调递减区间就是1(,2)a、( ) 由已知 , 在(0

14、,2上有maxmax( )( )f xg x、由已知 ,max( )0g x, 由 ( ) 可知 , 当12a时,( )f x在(0,2上单调递增 , 故max( )(2)22(21)2ln 2222ln 2f xfaaa, 所以 ,222ln 20a, 解得ln 21a, 故1ln 2 12a、当12a时,( )f x在1(0,a上单调递增 , 在1,2a上单调递减 , 故max11( )( )22ln2f xfaaa、由12a可知11lnlnln12ea,2ln2a,2ln2a, 所以 ,22ln0a,max( )0f x, 综上所述 ,ln 21a、5、解 : ( ) 直线 yx2 的斜

15、率为 1, 函数 f(x)的定义域为,0因为xaxxf22)(, 所以111212af, 所以 a1, 所以22,2ln2xxxfxxxf由0 xf解得 x2 ; 由0 xf解得 0 x2 所以 f(x) 得单调增区间就是,2, 单调减区间就是2,0精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 导数大题经典重点讨论练习及答案整理理科( )2222)(xaxxaxxf, 由0 xf解得;2ax由0 xf解得ax20所以 f(x) 在区间),2(a

16、上单调递增 , 在区间)2,0(a上单调递减所以当ax2时, 函数 f(x)取得最小值)2(minafy因为对于任意) 1(2,0axfx都有成立 , 所以)1(2)2(aaf即可则) 1(222ln22aaaa, 由aaa2ln解得ea20; 所以 a 得取值范围就是)2,0(e( ) 依题意得bxxxg2ln2)(, 则222)(xxxxg由0 xg解得 x1, 由0 xg解得 0 x1 所以函数 g(x) 在区间e,e1上有两个零点, 所以0)1(0)(0)(1gegeg解得121eeb所以 b 得取值范围就是12, 1(ee6、解 : (1) 因为1ln( )xf xx,0 x, 则2

17、ln( )xfxx, 当01x时,( )0fx; 当1x时,( )0fx. ( )f x 在 (0,1) 上单调递增 ; 在 (1,)上单调递减 , 函数( )f x 在1x处取得极大值 . 3分函数( )f x 在区间1( ,)2a a( 其中0a) 上存在极值 , 1,11,2aa解得112a. (2) 不等式( )1kf xx, 即为(1)(1ln)xxkx, 记(1)(1ln)( )xxg xx22(1)(1 ln )(1)(1 ln )ln( )xxxxxxxg xxx, 9 分令( )lnh xxx , 则1( )1h xx, 1x, ( )0h x, ( )h x 在1,) 上递增, min ( )(1)10h xh, 从而( )0g x, 故( )g x 在 1,) 上也单调递增, min( )(1)2g xg, 2k. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -