2022年导数的基本概念及性质应用.pdf

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1、导数的基本概念及性质应用考点： 1、掌握导数的基本概念及运算公式，并能灵活应用公式求解2、能运用导数求解单调区间及极值、最值3、理解并掌握极值及单调性的实质，并能灵活应用其性质解题。能力：数形结合方法：讲练结合新授课：一、 知识点总结：导数的基本概念与运算公式、导数的概念函数 y =)( xf的导数)(xf，就是当x0 时，函数的增量y 与自变量的增量x的比x y的极限，即)(xf0 xlimx y0 xlimxf(x)-x)( xf说明：分子和分母中间的变量必须保持一致、导函数函数 y =)( xf在区间 ( a, b )内每一点的导数都存在，就说在区)(xf间( a, b )内可导， 其导

2、数也是 (a ,b )内的函数，叫做)(xf的导函数，记作)(xf或xy，函数)(xf的导函数)(xf在0 xx时的函数值)(0 xf，就是)(xf在0 x处的导数。、导数的几何意义设函数 y =)(xf在点0 x处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00yxM处的切线斜率。、求导数的方法（）基本求导公式0c)()(1Qmmxxmmxxcos)(sinxxsin)(cosxxee )(aaaxxln)(xx1)(lnaxxaln1)(log（）导数的四则运算精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - -

3、 - - - -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - - vuvu)(vuvuuv)()0()(2vvvuvuvu（）复合函数的导数设)(xgu在点 x 处可导， y =在点)(xf处可导，则复合函数)(xgf在点 x 处可导，)()()(xufxfx导数性质：1、函数的单调性设函数y)(xf在某个区间内可导，若)(xf0，则)( xf为增函数；若)(xf 0 则为减函数。求可导函数单调区间的一般步聚和方法。确定函数)(xf的定义区间求)(xf，令)(xf0，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根。把函数)(xf的间断点（即)(xf的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按

4、由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(xf的定义区间分成若干个小区间。确定)(xf在各小开区间内的符号，根据)(xf的符号判定函数)( xf在各个相应小开区间内的增减性。说明： 原函数单调性与导函数单调性无关，只与导函数正负号有关2可导函数的极值极值的概念设函数)(xf在点0 x 附近有定义， 且对0 x 附近的所有点都有)( xf)(0 xf（或)(xf)(0 xf） ，则称)(0 xf为函数的一个极大（小）值点。称0 x 为极大（小）值点。求可导函数极值的步骤。求导数)(xf求方程)(xf0 的根检验)(xf在方程)(xf0 的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那

5、么函数 y)(xf在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y)( xf在这个根处取得极小值。说明： 极值点的导数为0，导数为 0 的点不一定是极值点（隐含条件，说明某点是极值点，相当于给出了一个)(xf0 的方程3函数的最大值与最小值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 设 y)( xf是定义在区间 a ,b 上的函数， y)(xf在 (a ,b )内有导数，求函数y)( xf在a ,b 上的最大值与最小值，可

6、分两步进行。求 y)(xf在(a ,b )内的极值。将 y)(xf在各极值点的极值与)(af、)(bf比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。若函数y)(xf在a ,b 上单调增加，则)(af为函数的最小值，)(bf为函数的最大值；若函数y)(xf在a ,b 上单调减少，则)(af为函数的最大值，)(bf为函数的最小值。说明： 极大值小于等于最大值，极小值大于等于最小值二、 例题讲解题型一导数的概念【例 1】设 f(x)在点 x0处可导， a 为常数，则xxaxfxaxfx)()(lim000等于( )(x0) (x0) (x0) 【变式】设)(xf在0 x处可导_lim)()(00

7、0 xxfxxfx题型二导数的几何意义、物理意义【例 2】（ 1）求曲线122xxy在点（ 1，1）处的切线方程；（2）运动曲线方程为2221tttS，求 t=3 时的速度。分析： 根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在0 x处的导数就是曲线y=f(x)在点),(00yxp处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数。题型三利用导数求单调区间【例 3】求下列函数单调区间（1）5221)(23xxxxfy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 13 页 -

8、- - - - - - - - - （2）xxy12（3）xxky2)0(k（4）ln22xy题型四：利用导数求函数的最（极）值【例 4】求函数13)(3xxxf在闭区间 -3，0上的极值、最大值、最小值题型五：原函数图像与导函数图像【例 5】 1、设 f (x)是函数 f(x)的导函数， y=f (x)的图象x y O 12精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是(A) (B) (C) (D

9、)2、函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示，则函数)(xf在开区间),(ba内有极小值点（）A1 个B2 个C3 个D 4 个题型六：利用极值的本质及单调性求解析式【例 6】已知函数xbxaxxf3)(23在1x处取得极值。(I)讨论)1 (f和)1(f是函数)(xf的极大值还是极小值；(II)过点)16,0(A作曲线)(xfy的切线，求此切线方程。【例 7】 已知函数32f xaxbxcx在点0 x处取得极大值5， 其导函数yfx的图象经过点 （1，0），（ 2，0）如图所示 .求：（1）0 x的值；（ 2）a、b、c 的值.x y y x y

10、x y x O12O12O1212abxy)(xfy?O精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 【例 8】已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，当 x=1 时，取得极大值7；当 x=3 时，取得极小值求这个极小值及a、b、c的值【例 9】 已知cbxaxxf24)(的图象经过点(0,1)，且在1x处的切线方程是2yx（1）求)(xfy的解析式；（ 2）求)(xfy的单调递增区间题型七：含参数的讨论【例 10】（ 1）如果函数f(x)

11、=x3+ax 的图象上各点处的切线斜率都为正数，则实数a 的取值范围是( )A.(0,+ ) B.0,+ ) C.(3,+ ) D.3,+ )（ 2）如果函数f(x)=x3+ax 的图象上有平行于x 轴的切线，则实数a 的取值范围是_【例 11】已知函数322f xaxxbx, ,0a b cRa且在区间,0上都是增函数， 在 （0，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 4）上是减函数 .（1）求 b 的值；（2）求 a 的取值范围题

12、型八：综合应用【例 12】平面向量13( 3,1),(,)22abrr，若存在不同时为0的实数k和t，使2(3) ,xatb ykatbrrrrrr且xyrr，试确定函数( )kf t的单调区间例题答案：【例 1】解：)(2)()(lim)()(lim)()()()(lim)()(lim0/00000000000000 xafxaxfxaxfaxaxfxaxfaxxaxfxfxfxaxfxxaxfxaxfxaxaxx故选(C)【变式】： -1【例 2】（ 1）222222) 1(22)1(22)1(2xxxxxxy，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢

13、迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 0422| 1xy，即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0因此曲线122xxy在（1，1）处的切线方程为y=1（2）)2(122tttStttttttt4214)1(232422726111227291| 3tS。【例 3】（ 1）232xxy)1)(23(xx)32,(x),1 (时0y) 1,32(x0y)32,(，),1 ()1,32(（2）221xxy)0,(，),0(（3）221xky),(kx),(k0y),0()0,(kkx0y),(k，),(k)0,( k，

14、),0(k（4）xxxxy14142定义域为),0()21,0(x0y),21(x0y【例 4】略，注意强调学生的步骤完整性【例 5】1、C 2、 A【例 6】分析：（ 1）分析 x=1 处的极值情况，关键是分析x=1 左右 f （ x）的符号 .（2）要分清点A（0，16）是否在曲线上.解：（ 1） f （x）=3ax2+2bx3，依题意，f （1）= f （ 1）=0，即.0323,0323baba解得 a=1，b=0.f（x）=x33x， f （x）=3x23=3（x+1）（x 1）.令 f （x）=0，得 x=1，x=1.若 x（， 1）（ 1，+），则f （x） 0，故 f（x）在（

15、，1）上是增函数，f（x）在（ 1，+）上是增函数.若 x（ 1，1），则 f （x） 0，故 f（x）在（ 1， 1）上是减函数 .精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 所以 f（ 1）=2 是极大值， f（1）=2 是极小值 .（2）曲线 y=x33x，点 A（0，16）不在曲线上，设切点M（x0，y0），则 y0=x033x. f （x0）=3x023，切线方程为yy0=3（x021）（ xx0）.代入 A（0，16）得 16x

16、03+3x0=3（x021）（ 0 x0）.解得 x0=2， M（2， 2），切线方程为9xy+16=0.评述：过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键【例 7】解：函数fx的增减变化如下表：x,111,222,fx+0-0+fx极大极小（1）fx在 x=1 处由增变减，故1f为极大值，即0 x=1.（2）由于232fxaxbxc，103202201240915512fabcafabcbfabcc【例 8】解： f （x）=3x2+2ax+b据题意， 1，3 是方程 3x2+2ax+b=0 的两个根，由韦达定理得a=3，b=9f（x）=x33x29x+cf（ 1）=7，c=

17、2极小值 f（3）=3333293+2= 25 极小值为 25，a=3，b=9，c=2【例 9】 解：（ 1）cbxaxxf24)(的图象经过点(0,1)，则1c，3( )42,(1)421,fxaxbx kfab切点为(1, 1)，则cbxaxxf24)(的图象经过点(1, 1)得591,22abcab得4259( )122f xxx3313231ba精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - - （2）33 103 10( )1090,0,

18、1010fxxxxx或单调递增区间为3 103 10(,0),(,)1010【例 10】（ 1）A （2）(-，0【例 11】解：由条件知0 x是函数yfx的极值点 .232fxaxxb，令00f，得0b.已求0b，232fxaxx.令0fx，得20,3xa.由条件知0 x为极大值点，则23xa应为极小值点 .又知曲线在区间（0，4）上是减函数 . 243a，6103aa，得10,6a【例 12】解：由13( 3,1),(,)22abrr得0,2,1a babrrrrg22222(3) ()0,(3)(3)0atbkatbkata bk ta bt tbrrrrrrrrrrggg3331143

19、0,(3 ),( )(3 )44kttkttf ttt233( )0,1,144ftttt得或；2330,1144tt得所以增区间为(, 1),(1,)；减区间为( 1,1)。三、 课堂演练：1. 若曲线 y=f（x）在点（ x0，f（x0）处的切线方程为2xy1=0，则Af （x0）0 Bf （x0）0 Ba0 Ca=1 Da=317. 与直线 2x6y+1=0 垂直，且与曲线y=x3+3x21 相切的直线方程是_8. 已知 a 为实数，)(4()(2axxxf。求导数)(xf；若0)1(f，求)(xf在2，2 上的最大值和最小值；若)(xf在(， 2)和2，+上都是递增的，求a 的取值范围

20、1-6AAADAA，+y+2=08. 解：由原式得,44)(23axaxxxf.423)(2axxxf由0)1(f得21a,此时有43)(),21)(4()(22xxxfxxxf.由0)1(f得34x或 x=-1 , 又,0)2(,0)2(,29)1(,2750)34(ffff所以 f(x)在2,2上的最大值为,29最小值为.2750解法一 :423)(2axxxf的图象为开口向上且过点(0,4)的抛物线 ,由条件得,0)2(,0)2(ff即480840aa2a 2.所以 a 的取值范围为 2,2.解法二 :令0)(xf即, 04232axx由求根公式得 : 精品资料 - - - 欢迎下载 -

21、 - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 21,21212()3aaxxx所以.423)(2axxxf在1,x和,2x上非负 .由题意可知 ,当 x -2 或 x2 时, )(xf0,从而 x1 -2, x22,即6122.6122aaaa解不等式组得2a 2. a 的取值范围是 2,2.四、 课堂小结：导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题

22、、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值。知识点需要熟悉，但是更重要的是掌握其本质，并能灵活应用于各种题型。五、 课下作业：1、函数3yxx=+的递增区间是（）A),0(B)1 ,(C),(D), 1(2、32( )32f xaxx,若( 1)4f,则a的值等于（）A319B316C313D3103、 函数344xxy在区间2,3上的最小值为（）A72B36C12D04、 曲线xxy43在点(1, 3)处的切线倾斜角为_；5、函数5523xxxy的单调递增区间是_。答案： 1、C； 2、D； 3、D；4、34；5、5(,),(1,)3精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - - -