2022年小学数学几何五大模型教师版.pdf

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1、几何五大模型一、五大模型简介（1）等积变换模型 1 、等底等高的两个三角形面积相等； 2 、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图所示，S1：S2=a:b； 3 、两个三角形底相等， 面积在之比等于高之比， 如图所示， S1：S2=a:b； 4 、在一组平行线之间的等积变形，如图所示，SACD=SBCD；反之，如果SACD=SBCD，则可知直线AB平行于 CD 。例、如图，三角形ABC的面积是 24，D、E、F分别是 BC 、AC 、AD的中点，求三角形 DEF的面积。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - -

2、 - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - - （2）鸟头（共角）定理模型 1 、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形； 2 、共角三角形的面积之比等于对应角( 相等角或互补角 ) 两夹边的乘积之比。如图下图三角形ABC 中， D、E分别是 AB 、AC上或 AB 、AC延长线上的点则有： SABC：SADE=（AB AC ）：（AD AE ）我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！如图连接 BE ，根据等积变化模型知，SADE：SABE=AD ：AB 、SABE：SCBE=AE ：CE ，所以 SABE：SABC=SABE：（SABE+SC

3、BE）=AE ：AC ，因此 SADE：SABC=（SADE：SABE）（SABE：SABC）=（AD ：AB ）（ AE ：AC ）。例、如图在 ABC中， D在 BA的延长线上，E在 AC上， 且 AB： AD=5:2， AE ： EC=3:2，ADE的面积为 12 平方厘米，求ABC的面积。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - - （3）蝴蝶模型 1 、梯形中比例关系 (“梯形蝴蝶定理”)例、如图，梯形 ABCD ，AB与 CD平行

4、，对角线 AC 、BD交于点 O ，已知AOB 、BOC的面积分别为25 平方厘米、 35 平方厘米，求梯形ABCD 的面积。 2 、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理” )：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 例、如图，四边形ABCD 的对角线 AC 、BD交于点 O ，如果三角形ABD的面积等于三角形 BCD面积的 1/3 ，且 AO=2 、DO=3 ，求 CO的长度是 DO长度的几倍。蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积

5、问题的一个途径，通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。（4）相似模型 1 、相似三角形：形状相同, 大小不相等的两个三角形相似； 2 、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。 3 、相似三角形性质：相似三角形的一切对应线段( 对应高、对应边）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方。相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有 BC平行 DE这样的一对平行线！精品资料 - -

6、- 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 例、如图，已知在平行四边形ABCD 中，AB=16 、AD=10 、BE=4 ，那么 FC的长度是多少？（5）燕尾模型由于阴影部分的形状像一只燕子的尾巴，所以在数学上把这样的几何图形叫做燕尾模型 , 看一下它都有哪些性质：SABG：SACG=SBGE：SCGE=BE ：CESBGA：SBGC=SGAF：SGCF=AF ：CFSAGC：SBGC=SAGD：SBGD=AD ：BD精品资料 - - - 欢迎下载 - -

7、- - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 例、如图， E、D分别在 AC 、BC上，且 AE：EC=2:3，BD ：DC=1:2，AD与 BE交于点 F，四边形 DFEC 的面积等于 22 平方厘米，求三角形ABC的面积。二、五大模型经典例题详解（1）等积变换模型例 1、图中的 E、F、G分别是正方形 ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是 12，那么阴影部分的面积是多少？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 -

8、 - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 例 2、如图， Q 、E、P、M分别为直角梯形ABCD 两边 AB 、CD上的点，且 DQ 、CP 、ME彼此平行，已知AD=5 、BC=7 、AE=5 、EB=3 ，求阴影部分三角形PQM 的面积。（2）鸟头（共角）定理模型例 1、如图所示，平行四边形ABCD ，BE=AB 、CF=2CB 、GD=3DC 、HA=4AD ，平行四边形 ABCD 的面积为 2，求平行四边形ABCD 与四边形 EFGH 的面积比。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下

9、载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 例 2、如图所示，ABC的面积为 1，BC=5BD 、AC=4EC 、DG=GS=SE、AF=FG ，求FGS的面积。（3）蝴蝶模型例 1、如图，正六边形面积为1，那么阴影部分面积为多少？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 例 2、如图，长方形 ABCD 被 CE 、DF分成四块， 已知其中 3 块的面积分别为2、5

10、、8 平方厘米，求余下的四边形OFBC 的面积。例 3、如图，已知正方形ABCD 的边长为 10 厘米， E为 AD的中点， F 为 CE的中点，G为 BF的中点，求三角形BDG 的面积。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - - （4）相似模型例 1、如图，正方形的面积为1，E、F分别为 AB 、BD的中点， GC=1/3FC,求阴影部分的面积。例 2、如图，长方形 ABCD ，E为 AD的中点， AF与 BD 、BE分别交于 G和 H，

11、OE垂直于 AD ，交 AD于 E点，交 AF于 O点，已知 AH=5,HF=3,求 AG的长。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - - （5）燕尾模型例 1、如图，正方形ABCD 的面积是 120 平方厘米， E是 AB的中点， F 是 BC的中点，求四边形BGHF 的面积。例 2、如图，在 ABC中，BD=2DA 、CE=2EB 、AF=2FC ，那么 ABC的面积是阴影GHI面积的几倍？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 例 3、如图，在ABC中，点 D是 AC的中点， 点 E、F是 BC的三等分点， 若ABC的面积是 1，求四边形 CDMF 的面积。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - - -