2022年点到直线距离公式的应用.pdf

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1、（2）点到直线距离公式的应用I.判断两点位于直线的同侧或异侧 =ax0+by0+ca2+b2设 A(x1，y1) B(x2，y2) 1)当120，A,B两点在直线的同侧2)当120，A,B两点在直线的异侧3)当12=0，A,B两点至少一点在直线上【例题分析】例题已知 A(2，-3)，B(-3，-2)，直线 l 过 P(1，1)。如果直线l 与线段 AB 有交点，求直线l 的斜率 k 的范围。分析：如果 A,B两点在直线 l 的异侧或两点至少一点在直线上，那么直线 l 一点和线段 AB 有交点。解：设过点 P的直线为y-1=k(x-1)12=(2k+3-k+1) （-3k+2-k+1）=(k+4

2、)(-4k+3) 0解得： k-4 or k34II. 利用数形结合法求二元函数的最值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 【例题分析】例题 1 已知（x，y）满足 x+y+1=0 ，求 (x-1)2+(y-1)2的最小值分析: 观察形式 ,利用数形结合的方法发现: (x-1)2+(y-1)2的最小值就是点 (1,1)到直线 x+y+1=0 的距离最小值的平方.解: dmin=1+1+12=322(x-1)2+(y-1)2的最小值92例

3、题 2 求y=x2+2x+2 + x2-4x+8的最小值解: y=(x+1)2-1 + (x-2)2+4y=(x+1)2-(0-1)2 + (x-2)2+(0-2)2即: 求点(x,0)到（-1,1） 、 （2,2）的距离和最小（-1,1）（2,2）得出：dmin=BCdmin=BC=32精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 例题 3已知， 2x+y+3=0，求x2+y2-4x-6y+13的最小值解：原式 =x2-4x+4+y2-6y+

4、9=(x-2)2+(y-3)2d=22+3 1+31+22=25 最小值为25III. 利用点到直线的距离公式判断直线的条数【例题分析】例题在平面内，点 A（1,2） ，B（4,6）到直线 l 的距离为52，则直线 l 有_条。答案： 3结论：1）当距离AB2时，有 2 条直线符合题意2）当距离 =AB2时，有 3 条直线符合题意3）当距离AB2时，有 4 条直线符合题意解：AB=(1-4)2+(2-6)2=5距离 =AB2，直线 l 有 3 条IV. 利用点到直线的距离公式求一点到过定点直线的距离最大值1.凡是带有参变量的直线都是过定点的直线。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - -

5、- - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 2.定点的求法：若已知方程是含有一个参数m 的直线系方程，则我们可以把系数中的 m 分离出来， 化为的形式 .由解出 x 和 y 的值，即得定点坐标。3.一点到过定点直线的距离最远的是垂直于一点和定点连线的那条直线。【例题分析】例题 1 原点到下列那条直线的距离最大（）A. y=1B. y=x+1C. y=2x+1D. y=3x+1答案：A分析：1.三条直线均过点（ 0,1）2.原点与（ 0,1）的连线垂直于直线y=13.原点到 y=1 的距离最

6、大例题 2 已知，点 P（2,3）到直线 l：mx+(m-1)y+3=0的距离最大时，求 m 的值。分析：直线 l 是含有参变量的直线，为过定点直线解： 将 mx+(m-1)y+3=0化简，得：m(x+y)=y-3精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 联立方程组：x+y=0y-3=0解得，直线 l 过定点（ -3,3）（-3,3）到 P(2,3)的距离为 5dmax=2m+3(m-1)+3m2+(m-1)2=5 m=1V. 利用点到直线距离公式求角平分线方程解题方法：利用角平分线的性质，通过点到直线距离公式建立x,y 的关系【例题分析】例题求直线 x-2y+1=0和 2x-y+3=0夹角平分线的方程解：设点（ x,y）x-2y+11+22=2x-y+31+22 x-2y+1=2x-y+3 or x-2y+1=-2x+y-3x+y+2=0 or 3x-3y+4=0注意：任何两条直线的夹角平分线都应该有两条！精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -