2022年点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用.pdf

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1、点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。定理在双曲线12222byax（a0，b0）中，若直线l与双曲线相交于M 、N 两点，点),

2、(00yxP是弦 MN 的中点，弦MN 所在的直线l的斜率为MNk，则2200abxykMN. 证明：设M、 N 两点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，则有)2(.1) 1(, 1222222221221byaxbyax)2()1(，得.02222122221byyaxx.2212121212abxxyyxxyy又.22,000021211212xyxyxxyyxxyykMN.2200abxykMN同理可证，在双曲线12222bxay（a0，b0）中，若直线l与双曲线相交于M 、 N 两点，点),(00yxP是弦 MN 的中点，弦MN 所在的直线l的斜率为MNk，则2200baxyk

3、MN. 典题妙解例 1 已知双曲线13:22xyC，过点)1 ,2(P作直线l交双曲线C 于 A、B 两点 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - - （1）求弦 AB 的中点 M 的轨迹；（2）若 P 恰为弦 AB 的中点，求直线l的方程 . 解： （1）, 3, 122ba焦点在 y 轴上 . 设点 M 的坐标为),(yx，由22baxykAB得：3121xyxy，整理得：.032322yxyx所求的轨迹方程为.032322yxyx（

4、2）P 恰为弦 AB 的中点，由2200baxykAB得：,3121ABk即.32ABk直线l的方程为)2(321xy，即.0132yx例 2 已知双曲线22:22yxC与点).2, 1(P（1）斜率为k且过点 P 的直线l与 C 有两个公共点，求k的取值范围；（2）是否存在过点P 的弦 AB ，使得 AB 的中点为P？（3）试判断以)1 , 1(Q为中点的弦是否存在. 解： （1）直线l的方程为) 1(2xky，即.2kkxy由.22,222yxkkxy得. 064)2(2)2(2222kkxkkxk直线l与 C 有两个公共点，得.0)64)(2(4)2(4,0222222kkkkkk解之得

5、：k23且.2kk的取值范围是).23,2()2,2()2,(（2）双曲线的标准方程为.2, 1, 122222bayx设存在过点P的弦 AB，使得 AB 的中点为 P，则由2200abxykAB得：.1,22kk由（ 1）可知，1k时，直线l与 C 有两个公共点，存在这样的弦 .这时直线l的方程为.1xy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - - （3）设以)1 ,1 (Q为中点的弦存在，则由2200abxykAB得：.2,21kk由（ 1

6、）可知，2k时，直线l与 C 没有两个公共点，设以)1 , 1(Q为中点的弦不存在.例 3 过点)0,2(M作直线l交双曲线1:22yxC于 A、B 两点，已知OBOAOP（O为坐标原点） ，求点 P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. 解：在双曲线1:22yxC中，122ba，焦点在x轴上 .设弦 AB 的中点为Q. ,OBOAOP由平行四边形法则知：OQOP2，即 Q 是线段 OP 的中点 . 设点 P 的坐标为),(yx，则点 Q 的坐标为2,2yx. 由2222abxykAB得：14222xyxyxyxy，整理得：.0422xyx配方得：144)2(22yx. 点 P 的轨迹方程是14

7、4)2(22yx，它是中心为)0,2(，对称轴分别为x轴和直线02x的双曲线 . 例 4. 设双曲线C的中心在原点，以抛物线4322xy的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线（）试求双曲线C 的方程；（）设直线:21lyx与双曲线C交于,A B两点，求AB；（）对于直线1:kxyl，是否存在这样的实数k，使直线l与双曲线C的交点,A B关于直线4:axyl(a为常数 )对称，若存在，求出k值；若不存在，请说明理由解： （）由22 34yx得)32(322xy，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - -

8、 - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 3p，抛物线的顶点是)0 ,32(，准线是3213223x. 在双曲线 C 中，.321,322cac. .1,3122ba双曲线 C 的方程为1322yx. （）由. 13, 1222yxxy得：0242xx. 设),(),(2211yxByxA，则2, 42121xxxx. 10224)4)(21(4)(1 (|22212212xxxxkAB. （）假设存在这样的实数k，使直线l与双曲线C的交点,A B关于直线l对称，则l是线段 AB的垂直平分线 . 因而ka1，从而41:xkyl. 设线段 AB 的中点为),(0

9、0yxP. 由2200abxykAB得：300 xyk，003xky.由4100 xky得：kxky400.由、得：3,00ykx. 由100kxy得：132k，2k. 又由.1, 1322kxyyx得：.022)3(22kxxk直线l与双曲线 C 相交于 A、B 两点，)3(8422kk0，即2k6，且32k. 符合题意的k的值存在，2k. 金指点睛1. (03 全国 )已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0 ,7(F，直线1xy与其相交于M、N 两点，MN 的中点的横坐标为32，则此双曲线的方程为（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归

10、纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - - A.14322yxB. 13422yxC. 12522yxD. 15222yx2.（02 江苏）设A、B 是双曲线1222yx上两点，点)2, 1(N是线段 AB 的中点 . （1）求直线 AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C、 D 两点，那么A、B、C、D 四点是否共圆，为什么？3. 已知双曲线1322yx，过点)23,21(P作直线l交双曲线于A、 B 两点 . （1）求弦 AB 的中点 M 的轨迹 ; （2）若点 P 恰好是弦AB 的中点，求直线l的方程和弦

11、AB 的长 . 4、双曲线 C 的中心在原点， 并以椭圆1132522yx的焦点为焦点， 以抛物线xy322的准线为右准线 . （1）求双曲线C 的方程；（2）设直线)0(3:kkxyl与双曲线 C 相交于 A、B 两点，使A、B 两点关于直线)0(6:mmxyl对称，求k的值 . 参考答案1. 解：在直线1xy中，1k，32x时，35y. 由2200abxykMN得222532351ab.又由72522222cbaab得5,222ba. 故答案选 D. 2. 解： （1）2, 122ba，焦点在x上. 由2200abxykAB得：22ABk，1ABk.所求的直线AB 方程为)1(12xy，即

12、01yx. （2）设直线 CD 的方程为0myx，点)2, 1(N在直线 CD 上，021m，3m. 直线 CD 的方程为03yx. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 又设弦 CD 的中点为),(yxM，由22abxykCD得：21xy，即xy2. 由.2,03xyyx得6,3 yx. 点 M 的坐标为)6,3(. 又由.12,0122yxyx得)4, 3(),0, 1(BA. 由两点间的距离公式可知：102|MDMCMBMA. 故

13、 A、B、C、D 四点到点 M 的距离相等，即A、B、C、D 四点共圆 . 3. 解： （1）3,122ba，焦点在x上. 设点 M 的坐标为),(yx.若直线l的的斜率不存在，则xl轴，这时直线l与双曲线没有公共点，不合题意，故直线l的的斜率存在 . 由22abxykAB得：32123xyxy，整理，得：0332622yxyx. 点 M 的轨迹方程为0332622yxyx. （2）由2200abxykAB得：32123ABk，1ABk. 所求的直线l方程为)21(123xy，即1xy. 由.1, 1322xyyx得022xx，解之得：1,221xx. .2332|1|122xxkAB4. 解

14、： （1）在椭圆1132522yx中，32,13, 522bacba，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 焦点为)0 ,32(),0 ,32(21FF. 在抛物线xy322中，3p，准线为23x. 在双曲线中，232ca. 从而.3,3 ba所求双曲线C 的方程为19322yx. （2）直线l是弦 AB 的垂直平分线，km1，从而61:xkyl. 设弦 AB 的中点为),(00yxP.由2200abxykAB得：300 xyk，003xky. 由6100 xky得：kxky600. 由、得：29,2300ykx又300kxy，32329kk，即12k.1k. 由. 3, 19322kxyyx得.0186)3(22kxxk直线l与双曲线 C 相交于 A、B 两点，)3(723622kk0，即2k6，且32k. 1k符合题意 . 故k的值为1. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -