2022年点线面位置关系例题与练习.pdf

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1、点、线、面的位置关系知识梳理（一） .平面公理 1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。公理 2：不共线的三点确定一个平面. 推论 1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论 2：两条相交直线确定一个平面. 推论 3：两条平行直线确定一个平面. 公理 3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（二）空间图形的位置关系1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线异面直线；异面直线

2、所成的角： （1）范围：0 ,90； （ 2）作异面直线所成的角：平移法.2.直线与平面的位置关系：包含，相交，平行3.平面与平面的位置关系：平行，相交（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）1.线面平行： 定义：直线与平面无公共点.判定定理：/abaab性质定理：/aaabbI2.线面斜交：直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。范围：0 ,903.面面平行： 定义：/I；判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；符号表述：,/,/a babO abI判定 2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表

3、述：,/aa.面面平行的性质： （1）/aa； （2）/aabbII（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1.线面垂直 定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。符号表述：若任意,a都有la，且l，则l.判定：,a babOlllalbI性质：（1）,lala；（2）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - ,/abab；面面斜交 二面角：（1）定义：【如图】,OBl OAlAOBl是二面角的平面角范围：0 ,1

4、80 AOB作二面角的平面角的方法：（1）定义法；（2）三垂线法（常用） ； （ 3）垂面法 .面面垂直（ 1）定义：若二面角l的平面角为90，则；（2）判定定理：aa（3）性质：若，二面角的一个平面角为MON，则90MON；aABaaaABI热点例析【例 1】热点一有关线面位置关系的组合判断若 a， b 是两条异面直线， ， 是两个不同平面，a? ，b? ， l，则 ()Al 与 a，b 分别相交Bl 与 a，b 都不相交Cl 至多与 a，b 中一条相交Dl 至少与 a，b 中的一条相交解析： 假设 l 与 a，b 均不相交，则l a，l b，从而 a b 与 a，b 是异面直线矛盾，故l

5、至少与 a，b 中的一条相交选D.热点二线线、线面平行与垂直的证明【例 2】如图， 在四棱台ABCD A1B1C1D1中，D1D平面 ABCD ，底面 ABCD是平行四边形， AB2AD，ADA1B1，BAD60 .(1)证明： AA1BD；(2)证明： CC1平面 A1BD(1)方法一：因为D1D平面 ABCD ，且 BD? 平面 ABCD，所以 D1DBD.又因为 AB 2AD，BAD60 ，在 ABD中，由余弦定理得BD2AD2AB22AD ABcos 60 3AD2，所以 AD2BD2AB2.所以 ADBD.又 AD D1DD，所以 BD 平面 ADD1A1. 又 AA1? 平面 AD

6、D1A1，故 AA1BD.方法二：因为D1D平面 ABCD ，且 BD? 平面 ABCD(如图 )，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 所以 BDD1D.取 AB 的中点 G，连接 DG(如图 )在 ABD中，由 AB2AD 得 AGAD.又 BAD60 ，所以 ADG为等边三角形，因此GDGB，故 DBGGDB.又 AGD60 ，所以 GDB30 ，故 ADBADGGDB60 30 90 ，所以 BDAD.又 ADD1DD，所以

7、BD平面 ADD1A1.又 AA1? 平面 ADD1A1，故 AA1BD.(2)如图，连接AC，A1C1.设 ACBDE，连接 EA1.因为四边形ABCD为平行四边形，所以EC 12AC.由棱台定义及AB2AD2A1B1知 A1C1EC且 A1C1EC ，所以四边形A1ECC1为平行四边形因此 CC1EA1.又因为 EA1? 平面 A1BD，CC1平面 A1BD，所以 CC1平面 A1BD.热点三面面平行与垂直的证明【例 3】在直角梯形ABCD中， ADBC ，ABBC，AD2，BC4，P 为平面 ABCD外一点，且PA 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - -

8、- 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - PB，PDPC ，N 为 CD的中点(1)求证：平面PCD 平面 ABCD；(2)在线段 PC上是否存在一点E使得 NE平面 ABP若存在， 说明理由并确定E点的位置； 若不存在，请说明理由(1)证明：取 AB 中点 M，连接 PM，PN，MN，则 PMAB，PNCD.又 ABCD为直角梯形， ABBC， MNAB.PMMNM， AB平面 PMN.又 PN? 平面 PMN， ABPN.AB与 CD相交， PN平面 ABCD.又 PN? 平面PCD ，平面 PCD 平面

9、 ABCD .(2)解： 假设存在在PC ，PB上分别取点E，F，使 BF 14BP，CE 14CP，连接 EF ，MF，NE，则 EF BC且可求得 EF 34BC3.MN3 且 MNBC ， EF MN 且 EF MN.四边形MNEF为平行四边形，ENFM.又 FM? 平面 PAB ，在线段PC上存在一点E使得 NE平面 ABP，此时 CE 14PC.热点四折叠问题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下

10、载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - CAPGEFBDO例4如图所示，在直角梯形ABCP中，AP221APPCD PDDEFGEFCD21GO12CDEF GOEOEOEFCD21GE12PBCDEFAB21,BABPBEEFEG/PADPDCDA,xyzD0,0,2 ,0,2,0 ,1,2,0 ,0,1,1 ,0,0,1 ,2,00 .PCGEFA1, 1 , 1,0, 1, 0,2, 0,2EGEFAPzyxn,.00000yzxzyxyEGnEFn1 ,

11、0, 1nAPnAPn, 0210021APDCADPDPDADDCDPDADDADA0 ,0 ,21 ,0 , 1n.22222,cosnDAnDAnDADEFG.450ABCDPPA ABCD26PAD ABCD PADBDAC,O PA ABCD2623PFO PAD ABCDPFO3tanFOPOPFO3PFOPAD ABCD3EO /PD21EODPDO2522POODPD45EOBDAOPOAOAOPBDEOAOAOE5102tanEOAOAEO5102FO BC G PG H PGGHEH ,ABCDPF AD G BCPGBCFGBCPFGBC面PBCPFG面PGPF3PFOP

12、FGPGFHPBCFH面FKHE /FKHEHEKFFHKE /PBCKE面,m n,mn / /nm/ / /mmm/ /n / /mn/ /, ,a b c222abc22212abc22222abc22232abcABCDAC0,30BCD BDDC BDDC ACaABCCABD55a155a35a153a1111ABCDA B C DE11A CCE AC BD1A D11A DPABC PHHABC ABCD AC21ABCDOPEFGHKADPCBGEFPDABGCEF精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - -

13、- - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - ACDB12133323SABCa,E FSC AB EF SA090060045030,A B4cm 6cm AB M060122 6PABC4,8ABPAA,PB PCDEADE1C(1)求证： BEB1E；(2)若 AA1A1B1，求平面 A1EC与平面 A1B1C1所成二面角的大小3 如图，在四棱锥PABCD中， PD平面 ABCD ，底面 ABCD为矩形， PDDC4，AD2，E 为 PC的中点(1)求证： ADPC ；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢

14、迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - (2)求三棱锥 APDE的体积；(3)在 AC上是否存在一点M，使得 PA 平面 EDM 若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由答案一、选择题1 A 若m/ /，n / /，则mn/ /，而同平行同一个平面的两条直线有三种位置关系若，则/，而同垂直于同一个平面的两个平面也可以相交2C 设同一顶点的三条棱分别为, ,x y z，则222222222,xyayzbxzc得2222221()2xyzabc，则对角线长为22222212()22abcabc3B 作等积变换A

15、BCDCABDVV4B BD垂直于CE在平面ABCD上的射影5C BCPABCAH6C 取AC的中点E，取CD的中点F，123,222EFBEBF3cos3EFBF7C 取SB的中点G，则2aGEGF，在SFC中，22EFa，045EFG二、填空题1.5cm或1cm分,A B在平面的同侧和异侧两种情况2.48每个表面有4个，共64个；每个对角面有4个，共64个3.090垂直时最大4. 60 度5. 11 沿着PA将正三棱锥PABC侧面展开，则,A D E A共线，且/AABC三、解答题：略1证明： (1)连接 BD，MO.在平行四边形ABCD中，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - -

16、- - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 因为 O 为 AC的中点，所以O 为 BD的中点又 M 为 PD的中点，所以PBMO.因为 PB平面 ACM，MO? 平面 ACM，所以 PB平面 ACM.(2)因为 ADC45 ，且 ADAC1，所以 DAC 90 ，即 ADAC.又 PO平面 ABCD ，AD? 平面 ABCD ，所以 POAD.而 ACPOO，所以 AD平面 PAC .2解析 (1)取 A1C1中点 F，作 EG 面 AC1于 G，B1FEGB1E面AC1? BE FG?

17、 B1EGF为平行四边形 ? FG A1C1? G 为 A1C之中点从而 E为 BB1之中点 BEB1E.(2)由(1)知 G 为矩形 ACC1A1的中心， 过 G 作直线平行于A1C1，交 AA1于点 P，交 CC1于 Q 点，连结 EP ，EQ，则平面 A1B1C1平面 PEQ ，即求平面AEC与平面 PEQ所成的角， 交线为 EG，其平面角为 A1GP，因 AA1A1B1，则 ACC1A1为正方形，则A1GP45 .3(1)证明：因为PD平面 ABCD ，所以 PDAD又因为四边形ABCD是矩形，所以ADCD因为 PD CDD，所以 AD平面 PCD又因为 PC ? 平面 PCD ，所以

18、 ADPC(2)解： 由(1)知 AD平面 PCD ，所以 AD 是三棱锥 APDE的高因为 E为 PC的中点，且PDDC4，所以 SPDE12S PDC121244 4.又 AD2，所以 VAPDE13AD SPDE132483.(3)解： 取 AC的中点 M，连接 EM，DM，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 因为 E为 PC的中点， M 是 AC的中点，所以 EMPA又因为 EM? 平面 DEM，PA ?平面 EDM，所以 PA平面 DEM.此时 AM12AC12AD2DC21222425，即在 AC上存在一点M，使得 PA平面 EDM，且 AM 的长为5.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -