2022年特殊的四边形.pdf

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1、特殊的四边形压轴题题一解答题（共30 小题）1已知，正方形ABCD中， MAN=45 ，MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC（或它们的延长线）于点M、N，AHMN 于点 H（1）如图，当 MAN 绕点 A 旋转到 BM=DN时，请你直接写出AH与 AB的数量关系：；（2）如图，当 MAN 绕点 A 旋转到 BMDN 时， （1）中发现的 AH 与 AB的数量关系还成立吗如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图，已知 MAN=45 ，AHMN 于点 H，且 MH=2，NH=3，求 AH 的长 （可利用（ 2）得到的结论）2如图，在 ABCD中，BC=2AB=4 ，点

2、E、F分别是 BC、AD的中点（1）求证： ABE CDF ；（2）当四边形 AECF为菱形时，求出该菱形的面积3如图，在 ABC中，D 是 BC边上的一点， E 是 AD 的中点，过 A 点作 BC的平行线交 CE的延长线于 F，且 AF=BD ，连接 BF（1）求证： D 是 BC的中点（2）如果 AB=AC ，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论4已知在 RtABC中， ACB=90 ，现按如下步骤作图：分别以 A，C为圆心， a 为半径（ aAC ）作弧，两弧分别交于M，N 两点；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 -

3、- - - - - - - - -第 1 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 过 M，N 两点作直线 MN 交 AB于点 D，交 AC于点 E；将 ADE绕点 E顺时针旋转 180 ，设点 D 的像为点 F（1）请在图中直线标出点F并连接 CF ；（2）求证：四边形 BCFD是平行四边形；（3）当 B为多少度时，四边形BCFD是菱形5如图，在矩形 ABCD中，AB=5，AD=3，点 P 是 AB边上一点（不与A，B 重合） ，连接 CP ，过点 P作 PQCP交 AD边于点 Q，连接 CQ （1）当 CDQ CPQ时，求 AQ的长；（2）取 CQ的中点 M，连接 MD，M

4、P，若 MDMP，求 AQ的长6正方形 ABCD和正方形 AEFG有公共顶点 A，将正方形 AEFG绕点 A 按顺时针方向旋转，记旋转角DAG= ，其中 0 180 ，连结 DF，BF ，如图（1）若 =0，则 DF=BF ，请加以证明；（2）试画一个图形（即反例） ，说明（ 1）中命题的逆命题是假命题；（3）对于（ 1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由7如图正方形 ABCD中，E为 AD 边上的中点，过 A 作 AF BE ，交 CD边于 F，M 是 AD 边上一点，且有 BM=DM+CD （1）求证：点 F是 CD边

5、的中点；（2）求证： MBC=2 ABE 8如图，在正方形ABCD中，E、F 分别为 BC 、AB上两点，且 BE=BF ，过点 B 作 AE的垂线交 AC于点 G，过点 G作 CF的垂线交 BC于点 H 延长线段 AE 、GH交于点 M（1）求证： BFC= BEA ；（2）求证： AM=BG+GM 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 9如图，已知矩形 ABCD ，AD=4，CD=10 ，P是 AB上一动点， M、N、E分别是 P

6、D 、PC 、CD的中点（1）求证：四边形 PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当 AP为何值时，四边形 PMEN是菱形；（3）四边形 PMEN有可能是矩形吗若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由10如图，已知正方形ABCD ，把边 DC绕 D 点顺时针旋转 30 到 DC 处，连接 AC ，BC ，CC ，写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程11如图，在正方形ABCD中，点 E、点 F 分别在边 BC 、DC上，BE=DF ，EAF=60 （1）若 AE=2，求 EC的长；（2）若点 G在 DC上，且 AGC=120 ，求证： AG=EG+FG 12如图，正方形 ABCD的对角线

7、相交于点 O点 E是线段 DO上一点，连接 CE 点 F是OCE的平分线上一点，且 BF CF与 CO相交于点 M点 G 是线段 CE上一点，且 CO=CG （1）若 OF=4，求 FG的长；（2）求证： BF=OG+CF 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 13 （1）如图，两个正方形的边长均为3，求三角形 DBF的面积（2）如图，正方形ABCD的边长为 3，正方形 CEFG 的边长为 1，求三角形 DBF的面积（3）如图，正方形

8、ABCD的边长为 a，正方形 CEFG 的边长为 b，求三角形 DBF的面积14如图，正方形 ABCD中，E是 BD上一点， AE的延长线交 CD于 F，交 BC的延长线于 G，M 是 FG的中点（1）求证： 1=2；EC MC（2）试问当 1 等于多少度时， ECG为等腰三角形请说明理由15如图，正方形 ABCD中，M 为 BC上除点 B、C 外的任意一点， AMN 是等腰直角三角形，斜边AN与 CD交于点 F，延长 AN 与 BC的延长线交于点 E，连接 MF、CN （1）求证： BM+DF=MF ；（2）求 NCE的度数精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - -

9、- - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 16如图，在菱形 ABCD中，AB=2，DAB=60 ，点 E 是 AD 边的中点，点 M 是 AB边上的一个动点（不与点 A 重合） ，延长 ME 交 CD的延长线于点 N，连接 MD，AN（1）求证：四边形 AMDN 是平行四边形（2）当 AM 的值为何值时，四边形AMDN 是矩形请说明理由17如图， ABC中，AB=AC ，AD是ABC外角的平分线，已知 BAC= ACD （1）求证： ABC CDA ；（2）若 B=60 ，求证：四边形 ABCD是菱形18

10、如图，在 ABC中，AB=AC ，B=60 ，FAC 、ECA是ABC的两个外角， AD 平分 FAC ，CD平分 ECA 求证：四边形 ABCD是菱形19如图，在四边形ABCD中，AB=AD ，CB=CD ，E是 CD上一点，BE交AC于 F，连接 DF（1）证明： BAC= DAC ，AFD= CFE （2）若 ABCD，试证明四边形 ABCD是菱形；（3）在（ 2）的条件下，试确定E点的位置，使得 EFD= BCD ，并说明理由精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 26 页 -

11、 - - - - - - - - - 20如图， ABC中，AB=AC ，AD 是BAC的角平分线，点 O为 AB的中点，连接 DO并延长到点 E，使 OE=OD ，连接 AE，BE （1）求证：四边形 AEBD是矩形；（2）当 ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由21如图， ABC中，点 O 是边 AC上一个动点，过 O 作直线 MNBC 设 MN 交ACB的平分线于点 E，交 ACB的外角平分线于点F（1）求证： OE=OF ；（2）若 CE=12 ，CF=5 ，求 OC的长；（3）当点 O 在边 AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形并说明理由22如图，过正方形A

12、BCD的顶点 D 作 DE AC交 BC的延长线于点 E（1）判断四边形 ACED的形状，并说明理由；（2）若 BD=8cm，求线段 BE的长23如图，菱形 ABCD中，E是 AD中点， EF AC交 CB的延长线于点 F（1）DE和 BF相等吗请说明理由（2）连接 AF、BE ，四边形 AFBE是平行四边形吗说明理由精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 24如图 1，菱形 ABCD中，点 E、F分别为 AB、AD 的中点，连接 CE

13、 、CF （1）求证： CE=CF ；（2）如图 2，若 H 为 AB上一点，连接 CH ，使CHB=2 ECB ，求证： CH=AH+AB 25如图，四边形 ABCD是菱形，E是 BD延长线上一点， F是 DB延长线上一点，且 DE=BF ，连接 AF 、CF （1）请你猜想图中与点F有关的一个正确结论；（2）证明你的猜想26如图，菱形 ABCD中，点 E、M 在 AD上，且 CD=CM ，点 F为 AB上的点，且 ECF= B（1）若菱形 ABCD的周长为 8，且 D= ，求 MCD的面积；（2）求证： BF=EF EM27如图，在菱形 ABCD中，B=60 ，点 E、F分别在边 BC 、

14、CD上（1）若 AB=4，试求菱形 ABCD的面积；（2）若 AEF=60 ，求证： AB=CE+CF28 （1）人教版八年级数学下册92 页第 14 题是这样叙述的：如图1，ABCD中，过对角线 BD上一点P作 EF BC ，HGAB，图中哪两个平行四边形的面积相等为什么根据习题背景，写出面积相等的一对平行四边形的名称为和；（2）如图 2，点 P为 ABCD内一点，过点 P分别作 AD、AB的平行线分别交ABCD的四边于点 E、F、G、H已知 SBHPE=3，SPFDG=5，则 SPAC=；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -

15、 - - - - - - - -第 7 页，共 26 页 - - - - - - - - - - （3）如图 3，若五个平行四边形拼成一个含30 内角的菱形 EFGH （不重复、无缝隙）已知四个平行四边形面积的和为14， 四边形 ABCD的面积为 11， 则菱形 EFGH 的周长为29将矩形纸片 ABCD折叠，使点 C与点 A 重合，然后展开，折痕为EF ，连接 AE 、CF ，求证：四边形 AECF是菱形30如图， ABC中， BAC=90 ，点 D是 BC的中点， AE DC ，EC AD，连接 DE交 AC于点 O，（1）求证：四边形 ADCE是菱形；（2）若 AB=AO ，求 tanO

16、CE的值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 2017 年 11 月 04 日数学 1 的初中数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共 30 小题）1已知，正方形ABCD中， MAN=45 ，MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC（或它们的延长线）于点M、N，AHMN 于点 H（1）如图，当MAN 绕点 A 旋转到 BM=DN时，请你直接写出 AH与 AB的数量关系：AH=AB；（2）如图，当 MAN 绕点 A 旋转到

17、 BMDN 时， （1）中发现的 AH 与 AB的数量关系还成立吗如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图，已知 MAN=45 ，AHMN 于点 H，且 MH=2，NH=3，求 AH 的长 （可利用（2）得到的结论）【分析】 （1）由三角形全等可以证明AH=AB ，（2）延长 CB至 E，使 BE=DN ，证明 AEMANM，能得到 AH=AB ，（3）分别沿 AM、AN 翻折 AMH 和ANH，得到 ABM 和AND，然后分别延长 BM 和 DN 交于点C，得正方形 ABCE ，设 AH=x，则 MC=x 2，NC=x 3，在 RtMCN中，由勾股定理，解得x【解答】 解： （1）如

18、图 AH=AB （2）数量关系成立如图，延长CB至 E，使 BE=DN ABCD是正方形， AB=AD ，D=ABE=90 ，在 RtAEB和 RtAND中，RtAEB RtAND，AE=AN ，EAB= NAD， EAM=NAM=45 ，在 AEM和ANM 中，AEMANM SAEM=SANM， EM=MN，AB、 AH 是AEM和ANM 对应边上的高， AB=AH （3）如图分别沿 AM、AN 翻折 AMH 和ANH，得到 ABM 和AND，BM=2，DN=3，B=D=BAD=90 分别延长 BM 和 DN交于点 C， 得正方形 ABCD ， 由 （2） 可知， AH=AB=BC=CD=A

19、D设 AH=x， 则 MC=x2， NC=x 3， 在 RtMCN中， 由勾股定理，得 MN2=MC2+NC252=（x2）2+（x3）2（6 分）解得 x1=6，x2=1 （不符合题意，舍去）AH=6 【点评】 主要考查正方形的性质和三角形全等的判断，难度中等2如图，在 ABCD中，BC=2AB=4 ，点 E、F分别是 BC 、AD的中点（1）求证： ABE CDF ；（2）当四边形 AECF为菱形时，求出该菱形的面积【分析】 第（1）问要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很容易用SAS证全等第（2）要求菱形的面积，在第（1）问的基础上很快知道ABE 为等精品资料 - - - 欢迎下载 -

20、 - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 边三角形这样菱形的高就可求了，用面积公式可求得【解答】 （1）证明：在 ABCD中，AB=CD ，BC=AD ，ABC= CDA 又BE=EC= BC ，AF=DF= AD，BE=DF ABE CDF （2）解：四边形 AECF为菱形， AE=EC 又点 E是边 BC的中点， BE=EC ，即 BE=AE 又 BC=2AB=4 ，AB= BC=BE ，AB=BE=AE ，即 ABE为等边三角形，ABCD的 BC边上的高为 2sin

21、60 =，菱形 AECF的面积为 2【点评】 考查了全等三角形，四边形的知识以及逻辑推理能力（1）用 SAS证全等； （2）若四边形 AECF为菱形，则 AE=EC=BE=AB，所以 ABE为等边三角形3如图，在 ABC中，D 是 BC边上的一点， E是 AD 的中点，过 A 点作 BC的平行线交 CE的延长线于 F，且 AF=BD ，连接 BF （1）求证： D 是 BC的中点（2）如果 AB=AC ，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论【分析】 （1）因为 AFBC ，E为 AD 的中点，即可根据AAS证明 AEF DEC ，故有 BD=DC ； （2）可根据有一个角是直角的平行四边

22、形是矩形进行判定【解答】 （1）证明： AF BC， AFE= DCE （1 分） E是 AD的中点， AE=DE （2 分）AEF= DEC ， AEF DEC （3 分） AF=DC ，AF=BD BD=CD ，D 是 BC的中点； （4 分）（2）四边形 AFBD是矩形， （5 分）证明： AB=AC ，D 是 BC的中点， ADBC ， ADB=90 ， （6分） AF=BD ，AFBC ，四边形 AFBD是平行四边形，（7 分）四边形 AFBD是矩形【点评】本题考查矩形的判定和全等三角形的判定与性质要熟知这些判定定理才会灵活运用，根据性质才能得到需要的相等关系4已知在 RtABC中，

23、 ACB=90 ，现按如下步骤作图：分别以 A，C为圆心， a 为半径（ aAC ）作弧，两弧分别交于M，N 两点；过 M，N 两点作直线 MN 交 AB于点 D，交 AC于点 E；将 ADE绕点 E顺时针旋转 180 ，设点 D 的像为点 F（1）请在图中直线标出点F并连接 CF ；（2）求证：四边形 BCFD是平行四边形；（3）当 B为多少度时，四边形BCFD是菱形【分析】 （1）根据题意作出图形即可；（2）首先根据作图得到MN 是 AC的垂直平分线，然后得到DE等于 BC的一半，从而得到DE=EF ，即 DF=BC ，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可；精品资料

24、- - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 26 页 - - - - - - - - - - （3）得到 BD=CB后利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判定即可【解答】 解： （1）如图所示：（2）根据作图可知： MN 垂直平分线段 AC ，D、E为线段 AB和 AC的中点， DE是ABC的中位线， DE= BC ，将 ADE绕点 E顺时针旋转 180 ，点 D 的像为点 F，EF=ED ，DF=BC ，DEBC ，四边形 BCFD是平行四边形；（3）当 B=60 时，四边形 BCFD是菱形； B

25、=60 ，BC= AB，DB= AB，DB=CB ，四边形 BCFD是平行四边形，四边形BCFD是菱形【点评】本题考查了菱形的判定、 平行四边形的判定及基本作图的知识，解题的关键是能够了解各种特殊四边形的判定定理，难度不大5如图，在矩形 ABCD中，AB=5，AD=3，点 P是 AB边上一点（不与 A，B 重合） ，连接 CP ，过点P作 PQCP交 AD边于点 Q，连接 CQ （1）当 CDQ CPQ时，求 AQ的长；（2）取 CQ的中点 M，连接 MD，MP，若 MDMP，求 AQ的长【分析】 （1）根据全等三角形的性质求得DQ=PQ ，PC=DC=5 ，然后利用勾股定理即可求得；（2）方

26、法 1、过 M 作 EF CD于 F，则 EF AB，先证得 MDFPME，求得 ME=DF= ，然后根据梯形的中位线的性质定理即可求得方法 2、利用三角形的外角和 DMP=90 ，得出 DCP=90 ，得出 BP=BC=3 ，再判断出 AQ=AP=2即可【解答】 解： （1） CDQ CPQ ，DQ=PQ ，PC=DC ，AB=DC=5 ，AD=BC=3 ，PC=5 ，在 RtPBC中，PB=4，PA=AB PB=5 4=1，设 AQ=x，则 DQ=PQ=3 x，在 RtPAQ中， （3x）2=x2+12，解得 x=，AQ= （2）方法 1，如图 2，过 M 作 EF CD于 F，则 EF

27、AB，MDMP，PMD=90 ， PME+ DMF=90 ， FDM+DMF=90 ，MDF=PME，M 是 QC的中点， DM=QC ，PM=QC ，DM=PM，在 MDF和PME中， MDFPME （AAS ） ，ME=DF ，PE=MF ，EF CD ，ADCD ，EF AD，QM=MC，DF=CF= DC= ，ME= ，ME 是梯形 ABCQ的中位线，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 2ME=AQ+BC ，即 5=AQ+

28、3，AQ=2方法 2、点 M 是 RtCDQ的斜边 CQ中点， DM=CM， DMQ=2DCQ ，点 M 是 RtCPQ的斜边的中点， MP=CM， PMQ=2PCQ ，DMP=90 ，2DCQ+2 PCQ=90 ， PCD=45 ， BCP=90 45 =45 ，BPC=45 =BCP ，BP=BC=3 ， CPQ=90 ， APQ=180 90 45 =45 ，AQP=90 45 =45 =APQ，AQ=AP=2 【点评】 本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边中线的性质，梯形的中位线的性质等， （2）求得 MDFPME是本题的关键6正方形 ABCD和

29、正方形 AEFG有公共顶点 A，将正方形 AEFG绕点 A 按顺时针方向旋转，记旋转角DAG= ，其中 0 180 ，连结 DF，BF ，如图（1）若 =0，则 DF=BF ，请加以证明；（2）试画一个图形（即反例） ，说明（ 1）中命题的逆命题是假命题；（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由【分析】 （1）利用正方形的性质证明DGF BEF即可；（2）当 =180时，DF=BF （3）利用正方形的性质和DGF BEF的性质即可证得是真命题【解答】 （1）证明：如图 1，四边形 ABCD和四边形 AEFG为正方

30、形，AG=AE ，AD=AB ，GF=EF ，DGF= BEF=90 ，DG=BE ，在DGF和BEF中， DGF BEF （SAS ） ，DF=BF ；（2）解：图形（即反例）如图2，（3）解：补充一个条件为：点F在正方形 ABCD内；即：若点 F在正方形 ABCD内，DF=BF ，则旋转角 =0【点评】 本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，旋转的性质，命题和定理，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键，注意利用正方形的性质找三角形全等的条件7如图正方形 ABCD中，E为 AD 边上的中点，过 A 作 AF BE ，交 CD边于 F，M 是 AD 边上一点，且有 BM=DM+C

31、D （1）求证：点 F是 CD边的中点；（2）求证： MBC=2 ABE 【分析】 （1）由正方形得到 AD=DC=AB=BC，C=D=BAD=90 ，ABCD，根据 AFBE ，求出 AEB=精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 26 页 - - - - - - - - - - AFD ，推出 BAE ADF ，即可证出点 F是 CD边的中点；（2）延长 AD到 G使 BM=MG，得到 DG=BC=DC ，证FDG FCB ，求出 B，F，G 共线，再证 ABECBF ，得到 A

32、BE= CBF ，根据三角形的外角性质即可求出结论（1）证明：正方形ABCD ，AD=DC=AB=BC，C=D=BAD=90 ，ABCD ，AF BE， AOE=90 ， EAF+ AEB=90 ，EAF+ BAF=90 ，AEB= BAF ，ABCD ， BAF= AFD ， AEB= AFD ，BAD= D，AB=AD ， BAE ADF ，AE=DF ，E为 AD边上的中点，点F是 CD边的中点；（2）证明：延长 AD到 G使 MG=MB连接 FG ，FB，BM=DM+CD ，DG=DC=BC ， GDF= C=90 ，DF=CF ，FDG FCB （SAS ） ， DFG= CFB ，

33、B，F，G 共线，E为 AD边上的中点，点 F是 CD边的中点， AD=CD AE=CF ，AB=BC ，C= BAD=90 ，AE=CF ， ABE CBF ， ABE= CBF ，AGBC ，AGB= CBF= ABE ， MBC= AMB=2AGB=2 GBC=2 ABE ， MBC=2ABE 【点评】 本题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质，正方形的性质等知识点，综合运用性质进行证明是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度8如图，在正方形ABCD中，E、F 分别为 BC 、AB 上两点，且 BE=BF ，过点 B 作 AE的垂线交 AC于点 G，过点 G 作

34、CF的垂线交 BC于点 H 延长线段 AE 、GH交于点 M（1）求证： BFC= BEA ；（2）求证： AM=BG+GM 【分析】 （1）根据正方形的四条边都相等，AB=BC ，又 BE=BF ，所以ABE和CBF全等，再根据全等三角形对应角相等即可证出；（2）连接 DG，根据正方形的性质， AB=AD ，DAC= BAC=45 ，AG是公共边，所以 ABG和ADG全等，根据全等三角形对应边相等，BG=DG ，对应角相等 2=3，因为 BG AE ，所以 BAE+ 2=90 ，而BAE+ 4=90 ，所以2=4，因此3=4，根据 GMCF和（1）中全等三角形的对应角相等可以得到1=BFC=

35、 2，在ADG中， DGC= 3+45 ，所以 DGM 三点共线，因此 ADM 是等腰三角形， AM=DM=DG+GM ，所以 AM=BG+GM 证明： （1）在正方形 ABCD中，AB=BC ，ABC=90 ，在 ABE和CBF中，ABE CBF （SAS ） ， BFC= BEA ； （2）连接 DG ，在 ABG和ADG中，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 26 页 - - - - - - - - - - ， ABG ADG （SAS ） ，BG=DG ，2=3，BGAE

36、， BAE+ 2=90 ， BAD= BAE+ 4=90 ， 2=3=4，GMCF ， BCF+ 1=90 ，又 BCF+ BFC=90 ， 1=BFC= 2， 1=3，在ADG中， DGC= 3+45 ， DGC也是 CGH的外角， D、G、M 三点共线，3=4（已证） ，AM=DM，DM=DG+GM=BG+GM ，AM=BG+GM 【点评】 本题综合性较强，主要考查正方形的性质，三角形全等的判定，三角形全等的性质，第二问中，证明三点共线是解题的关键9如图，已知矩形 ABCD ，AD=4，CD=10 ，P是 AB上一动点， M、N、E分别是 PD 、PC 、CD的中点（1）求证：四边形 PM

37、EN是平行四边形；（2）请直接写出当 AP为何值时，四边形 PMEN是菱形；（3）四边形 PMEN有可能是矩形吗若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由【分析】 （1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明（2）当 DP=CP时，四边形 PMEN是菱形， P是 AB的中点，所以可求出AP的值（3）四边形 PMEN是矩形的话， DPC必需为 90 ，判断一下 DPC是不是直角三角形就行解： （1）M、N、E分别是 PD 、PC 、CD的中点，ME 是 PC的中位线， NE是 PD的中位线， MEPC ，ENPD，四边形 PMEN是平行四边形；（2）当 AP=5时，在 RtPAD

38、和 RtPBC中，PAD PBC ，PD=PC ，M、N、E分别是 PD、PC 、CD的中点，NE=PM= PD，ME=PN= PC ，PM=ME=EN=PN ，四边形 PMEN是菱形；（3）四边形 PMEN可能是矩形若四边形PMEN是矩形，则 DPC=90 设 PA=x ，PB=10 x，DP=，CP= DP2+CP2=DC2 16+x2+16+（10 x）2=102x210 x+16=0 x=2或 x=8故当 AP=2或 AP=8时，四边形 PMEN是矩形【点评】 本题考查平行四边形的判定，菱形的判定定理，以及矩形的判定定理和性质，知道矩形的四个角都是直角，对边相等等性质10如图，已知正方

39、形ABCD ，把边 DC绕 D 点顺时针旋转 30 到 DC 处，连接 AC ，BC ，CC ，写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程【分析】利用旋转的性质以及正方形的性质进而得出等腰三角形，再利用全等三角形的判定与性质判断得出【解答】 解；图中的等腰三角形有：DCC ，DC A ，C AB，CBC，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 理由：四边形 ABCD是正方形， AB=AD=DC ，BAD= ADC=90 ，DC=DC=D

40、A ， DCC ，DC A为等腰三角形， C DC=30 ，ADC=90 ， ADC =60，AC D为等边三角形， AC =AD=AB， C AB 为等腰三角形， C AB=90 60 =30 ，CDC = C AB，在 DCC 和ABC 中， DCC ABC （SAS ） ，CC =C B， BCC 为等腰三角形【点评】 此题主要考查了等腰三角形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，得出AC D为等边三角形是解题关键11如图，在正方形ABCD中，点 E、点 F分别在边 BC 、DC上，BE=DF ，EAF=60 （1）若 AE=2，求 EC的长；（2）若点 G在 DC上，且 AGC=12

41、0 ，求证： AG=EG+FG 【分析】 （1）连接 EF ，根据正方形的性质求出AB=AD ，B=D，然后利用 “ 边角边 ” 证明ABE和ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF ，从而得到 AEF是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得EF ，再判断出 CEF是等腰直角三角形， 根据等腰直角三角形的直角边与斜边的关系求解即可；（2）方法一：根据邻补角的定义求出AGF=60 ，然后判断出点 A、E、G、F四点共圆，从而得到AGE= AFE=60 ，再求出 CGE=60 ，延长 GE交 AB 的延长线于 H，根据两直线平行，内错角相等可得H=CGE=60 ，再求出 GAF=

42、HAE ，然后利用 “ 角角边 ” 证明 AFG 和AEH 全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=AH ，FG=EH ，从而得证；方法二：在 AG上截取 GH=FG ，可得 FGH是等边三角形，根据等边三角形的性质可得FH=FG ，FHG=60 ，再求出 AFH= EFG ，然后利用 “ 边角边 ” 证明 AFH和EFG全等，根据全等三角形对应边相等 AH=GE ，然后证明即可【解答】 （1）解：如图，连接EF ，在正方形 ABCD中，AB=AD ，B=D，在 ABE和ADF中，ABE ADF （SAS ） ，AE=AF ， EAF=60 ，AEF是等边三角形， EF=AE=2 ，BE=DF

43、 ，BC=CD ，BC BE=CD DF，即 CE=CF ， CEF是等腰直角三角形， EC=EF=2=；（2）方法一：证明： AGC=120 ， AGF=180 AGC=180 120 =60 ，又 AEF是等边三角形，（已证） AEF=60 ，点 A、E 、G、F四点共圆， AGE= AFE=60 ，CGE= AGC AGE=120 60 =60 ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 如图（ 2）延长 GE交 AB的延长线于

44、H，ABCD ，H=CGE=60 ， H=AGF ，又 GAF+ EAG= EAF=60 ， HAE+ EAG= GAB=60 ，GAF= HAE ，在 AFG和AEH中，AFG AEH （AAS ） ，AG=AH ，FG=EH ， AGE=60 ，AGH是等边三角形， AH=GH=EG+EH=EG+FG，即 AG=EG+FG 方法二：如图（ 2）在 AG上截取 GH=FG ， AGC=120 ，AGF=60 ， FGH是等边三角形， FH=FG ，FHG=60 ，AEF是等边三角形， AFE=60 ， AFE= GFH=60 ，AFE EFH= GFH EFH ，即AFH= EFG ，在AF

45、H和BFG中，AFH EFG （SAS ） ，AH=GE ，AG=AH+GH=EG+FG，即 AG=EG+FG 【点评】本题考查了正方形的性质， 全等三角形的判定与性质，（2） 先求出四点共圆， 然后求出 AGE=AFE=60 ，然后作辅助线构造出全等三角形是解题的关键12如图，正方形 ABCD的对角线相交于点 O点 E是线段 DO上一点，连接 CE 点 F是OCE的平分线上一点，且 BF CF与 CO相交于点 M点 G 是线段 CE上一点，且 CO=CG （1）若 OF=4，求 FG的长；（2）求证： BF=OG+CF 【分析】 （1）根据条件证明 OCF GCF ，由全等的性质就可以得出O

46、F=GF而得出结论；（2）在 BF上截取 BH=CF ，连接 OH通过条件可以得出 OBHOCF 可以得出 OH=OF ，从而得出OG FH，OHFG ，进而可以得出四边形OHFG是平行四边形，就可以得出结论【解答】 （1）解： CF平分 OCE ， OCF= ECF OC=CG ，CF=CF ，在 OCF和GCF中， OCF GCF （SAS ） FG=OF=4 ，即 FG的长为 4（2）证明：在 BF上截取 BH=CF ，连接 OH四边形 ABCD为正方形， AC BD，DBC=45 ， BOC=90 ，OCB=180 BOC DBC=45 OCB= DBC OB=OC BF CF ， B

47、FC=90 OBH=180 BOC OMB=90OMB，OCF=180 BFC FMC=90 FMC ，且 OMB=FMC ， OBH= OCF 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 在 OBH和OCF中， OBH OCF （SAS ） OH=OF ，BOH= COF BOH+ HOM=BOC=90 ， COF+ HOM=90，即 HOF=90 OHF= OFH= （180 HOF ）=45 OFC= OFH+ BFC=135 OC

48、F GCF ，GFC= OFC=135 ， OFG=360 GFC OFC=90 FGO= FOG= （180 OFG ） =45 GOF= OFH ，HOF= OFG OGFH，OHFG ，四边形 OHFG是平行四边形 OG=FH BF=FH+BH ，BF=OG+CF 【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，解答时采用截取法作辅助线是关键13 （1）如图，两个正方形的边长均为3，求三角形 DBF的面积（2）如图，正方形ABCD的边长为 3，正方形 CEFG 的边长为 1，求三角形 DBF的面积（3）如图，正方形ABCD的边长为 a，正

49、方形 CEFG 的边长为 b，求三角形 DBF的面积【分析】 （1）三角形的面积为底高，可看出三角形DBF的底和高都是 3，可求出解（2）正方形 ABCD的面积加上以 CD为长 CE为宽的长方形的面积减去ABD ，BEF ，DGF的面积即可求出解（3）两个正方形的面积减去ABD ，BEF ，GDF的面积可求出解【解答】 解： （1）三角形 DBF的面积：33= （2 分）（2）三角形 DBF的面积： 32+3133（3+1）121=（3）三角形 DBF的面积： a2+b2aa（a+b）b（ba）b= （2 分）结论是：三角形 DBF的面积的大小只与a 有关，与 b 无关【点评】 本题考查读图的

50、能力，关键是从图中看出三角形DBF的面积由哪些图形相加减得到14如图，正方形 ABCD中，E是 BD上一点， AE的延长线交 CD于 F，交 BC的延长线于 G，M 是 FG的中点（1）求证： 1=2；EC MC（2）试问当 1 等于多少度时， ECG为等腰三角形请说明理由【分析】 （1） 根据正方形的对角线平分一组对角可得ADE= CDE ， 然后利用边角边定理证明ADE精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 与CDE全等，再根据全