2022年山东省高考文科数学真题及答案.pdf

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1、2011 年山东省高考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5 分，满分 60 分）1 （5 分）设集合 M= x|（x+3） （x2）0 ，N=x| 1x3 ，则 MN= （）A 1，2） B 1，2C （2，3D 2，32 （5 分）复数 z=（i 是虚数单位） 在复平面内对应的点位于象限为（）A第一象限B第二象限C 第三象限D第四象限3 （5 分）若点（ a，9）在函数 y=3x的图象上，则 tan的值为（）A0 BC 1 D4 （5 分）曲线 y=x3+11 在点 P （1，12）处的切线与 y 轴交点的纵坐标是（）A9 B3 C 9 D155 （5 分）已知 a，b，cR，命

2、题“ 若 a+b+c=3，则 a2+b2+c23” 的否命题是（）A若 a+b+c3，则 a2+b2+c23 B若 a+b+c=3，则 a2+b2+c23C若 a+b+c3，则 a2+b2+c23 D若 a2+b2+c23，则 a+b+c=36 （5 分）若函数f（x）=sin x（ 0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则 =（）ABC 2 D37 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数 z=2x+3y+1 的最大值为（）A11 B10 C 9 D8.58 （5 分）某产品的广告费用x 与销售额 y 的统计数据如下表广告费用 x（万元）4235销售额 y（万元）49263954

3、根据上表可得回归方程= x+ 的 为 9.4，据此模型预报广告费用为6 万元时销售额为（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 23 页 - - - - - - - - - - A63.6 万元B65.5 万元C 67.7万元D72.0 万元9 （5 分）设 M（x0，y0）为抛物线 C：x2=8y 上一点， F为抛物线 C的焦点，以F为圆心、 | FM| 为半径的圆和抛物线C的准线相交，则 y0的取值范围是（）A （0，2） B 0，2C （2，+）D 2，+）10 （5 分）函数

4、 y=2sinx 的图象大致是（）A B CD11 （5 分）如图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如图；存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如图；存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如图其中真命题的个数是（）A3 B2 C 1 D012（5 分） 设 A1， A2， A3， A4是平面直角坐标系中两两不同的四点， 若（ R） ，（ R） ，且，则称 A3，A4调和分割 A1，A2，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 23 页 - - - -

5、- - - - - - 已知点 C （c，0） ，D（d，O） （c，dR）调和分割点 A（0，0） ，B（1，0） ，则下面说法正确的是（）AC可能是线段 AB的中点BD 可能是线段 AB的中点CC，D可能同时在线段AB上DC，D 不可能同时在线段 AB的延长线上二、填空题（共4 小题，每小题 4 分，满分 16分）13 （4 分）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300 名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40 名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为14（4 分） 执行如图所示的程序框图， 输入 l=2， m=3， n=5， 则输

6、出的 y 的值是15 （4 分）已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为16 （4 分）已知函数 f（x）=logax+xb（a0，且 a1） 当 2a3b4 时，函数 f（x）的零点 x0（n，n+1） ，nN*，则 n=精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 23 页 - - - - - - - - - - 三、解答题（共6 小题，满分 74分）17 （12 分）在 ABC 中，内角A，B， C 的对边分别为a， b， c已知（1）求的值；

7、（2）若 cosB= ，ABC的周长为 5，求 b 的长18 （12 分）甲、乙两校各有3 名教师报名支教，期中甲校2 男 1 女，乙校 1 男2 女（）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1 名，写出所有可能的结果， 并求选出的 2 名教师性别相同的概率；（）若从报名的6 名教师中任选2 名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率19 （12分）如图，在四棱台ABCD A1B1C1D1中，D1D平面 ABCD ，底面 ABCD是平行四边形， AB=2AD ，AD=A1B1，BAD=60 （）证明： AA1BD；（）证明： CC1平面 A1BD20 （12 分）等比数列 an 中

8、，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（）求数列 an 的通项公式；（）若数列 bn 满足： bn=an+（1）nlnan，求数列 bn 的前 2n 项和 S2n21 （12 分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形， 左右两端均为半球形， 按照设计要求容器的体积为立精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 23 页 - - - - -

9、- - - - - 方米，且l2r假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为3 千元，半球形部分每平方米建造费用为c（c3）千元设该容器的建造费用为y 千元（）写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域；（）求该容器的建造费用最小时的r22 （14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆如图所示，斜率为 k（k0）且不过原点的直线l 交椭圆 C于 A，B两点，线段 AB的中点为 E，射线 OE交椭圆 C于点 G，交直线 x=3 于点 D（3，m） （）求 m2+k2的最小值；（）若| OG |2=| OD| ? | OE | ，（i）求证：直线 l 过定点；（

10、ii）试问点 B，G能否关于 x 轴对称？若能，求出此时 ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 23 页 - - - - - - - - - - 2011 年山东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5 分，满分 60 分）1 （5 分） （2011?山东）设集合M= x| （x+3） （x2）0，N= x| 1x3，则 MN=（）A 1，2） B 1，2C （2，3D 2，3【分析】 根据已知条件我们分别计算出集

11、合M，N，并写出其区间表示的形式，然后根据交集运算的定义易得到AB的值【解答】 解： M= x| （x+3） （x2）0 =（3，2）N=x| 1x3 = 1，3 ，MN= 1，2）故选 A2 （5 分） （2011?山东）复数 z=（i 是虚数单位）在复平面内对应的点位于象限为（）A第一象限B第二象限C 第三象限D第四象限【分析】把所给的复数先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到最简形式， 写出复数在复平面上对应的点的坐标，根据坐标的正负得到所在的象限【解答】 解： z=i，复数在复平面对应的点的坐标是（）它对应的点在第四象限，故选 D3 （5 分） （2011?山

12、东）若点（ a，9）在函数 y=3x的图象上，则tan的值为（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 23 页 - - - - - - - - - - A0 BC 1 D【分析】先将点代入到解析式中， 解出 a 的值，再根据特殊三角函数值进行解答【解答】 解：将（ a，9）代入到 y=3x中，得 3a=9，解得 a=2=故选 D4 （5 分） （2011?山东）曲线 y=x3+11 在点 P（1，12）处的切线与 y 轴交点的纵坐标是（）A9 B3 C 9 D15【分析】根据导数的几

13、何意义求出函数f（x）在 x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，最后令x=0 解得的 y 即为曲线y=x3+11 在点 P（1，12）处的切线与 y 轴交点的纵坐标【解答】 解： y=x3+11y=3x2则 y|x=1=3x2|x=1=3曲线 y=x3+11 在点 P（1，12）处的切线方程为y12=3（x1）即 3xy+9=0令 x=0解得 y=9曲线 y=x3+11 在点 P（1，12）处的切线与 y 轴交点的纵坐标是9故选 C5 （5 分） （2011?山东）已知 a，b，cR，命题 “ 若 a+b+c=3，则 a2+b2+c23” 的否命题是（）A若

14、a+b+c3，则 a2+b2+c23 B若 a+b+c=3，则 a2+b2+c23C若 a+b+c3，则 a2+b2+c23 D若 a2+b2+c23，则 a+b+c=3【分析】若原命题是 “ 若 p，则 q” 的形式，则其否命题是 “ 若非 p，则非 q” 的形式，由原命题 “ 若 a+b+c=3，则 a2+b2+c23” ，我们易根据否命题的定义给出答案【解答】 解：根据四种命题的定义，命题“ 若 a+b+c=3，则 a2+b2+c23” 的否命题是“ 若 a+b+c3，则 a2+b2+c23”精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳

15、- - - - - - - - - -第 7 页，共 23 页 - - - - - - - - - - 故选 A6 （5 分） （2011?山东）若函数 f（x）=sin x（ 0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则 =（）ABC 2 D3【分析】 由题意可知函数在x=时确定最大值，就是，求出 的值即可【解答】 解：由题意可知函数在x=时确定最大值，就是，kZ，所以 =6k +；只有 k=0时，= 满足选项故选 B7 （5 分） （2011?山东）设变量x，y 满足约束条件，则目标函数z=2x+3y+1 的最大值为（）A11 B10 C 9 D8.5【分析】 首先做出可行域，将目标函数转化

16、为，求 z 的最大值，只需求直线 l：在 y 轴上截距最大即可【解答】 解：做出可行域如图所示：将目标函数转化为，欲求 z 的最大值，只需求直线 l：在 y 轴上的截距的最大值即可作出直线 l0：，将直线 l0平行移动，得到一系列的平行直线当直线经过点 A 时在 y 轴上的截距最大，此时z最大由可求得 A（3，1） ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 23 页 - - - - - - - - - - 将 A 点坐标代入 z=2x+3y+1 解得 z 的最大值为 23+31+1=1

17、0故选 B8 （5 分） （2011?山东）某产品的广告费用x 与销售额 y 的统计数据如下表广告费用 x（万元）4235销售额 y（万元）49263954根据上表可得回归方程= x+ 的 为 9.4，据此模型预报广告费用为6 万元时销售额为（）A63.6 万元B65.5 万元C 67.7万元D72.0 万元【分析】首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点， 根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为6 代入，预报出结果【解答】 解：=3.5，=42，数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为 9.4，42=9.43.5+a， =9.1，线性回归方程

18、是y=9.4x+9.1，广告费用为 6 万元时销售额为 9.46+9.1=65.5，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 23 页 - - - - - - - - - - 故选： B9 （5 分） （2011?山东）设 M（x0，y0）为抛物线 C：x2=8y上一点， F 为抛物线C的焦点，以 F 为圆心、 | FM| 为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是（）A （0，2） B 0，2C （2，+）D 2，+）【分析】 由条件 | FM| 4，由抛物线的定义 | FM|

19、 可由 y0表达，由此可求y0的取值范围【解答】 解：由条件 | FM| 4，由抛物线的定义 | FM| =y0+24，所以 y02故选 C10 （5 分） （2011?山东）函数 y=2sinx 的图象大致是（）A B CD【分析】 根据函数的解析式，我们根据定义在R上的奇函数图象必要原点可以排除 A，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个答案，即可找到满足条件的结论【解答】 解：当 x=0时，y=02sin0=0故函数图象过原点，可排除 A精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -

20、第 10 页，共 23 页 - - - - - - - - - - 又y=故函数的单调区间呈周期性变化分析四个答案，只有C满足要求故选 C11 （5 分） （2011?山东）如图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如图；存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如图；存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如图其中真命题的个数是（）A3 B2 C 1 D0【分析】由三棱柱的三视图中，两个矩形，一个三角形可判断的对错，由四棱柱的三视图中，三个均矩形，可判断的对错，由圆柱的三视图中，两个矩形，一个圆可以判断的真假 本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，其中熟练掌握各种几

21、何体的几何特征进而判断出各种几何体中三视图对应的平面图形的形状是解答本题的关键【解答】解：存在正三棱柱，其三视图中有两个为矩形，一个为正三角形满足条件，故为真命题；存在正四棱柱，其三视图均为矩形，满足条件，故为真命题；对于任意的圆柱， 其三视图中有两个为矩形， 一个是以底面半径为半径的圆，也满足条件，故为真命题；故选： A精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 23 页 - - - - - - - - - - 12 （5 分） （2011?山东）设 A1，A2，A3，A4是平面直角坐

22、标系中两两不同的四点，若（ R） ，（ R） ，且，则称 A3，A4调和分割 A1，A2，已知点 C（c，0） ，D（d，O） （c，dR）调和分割点 A（0，0） ，B（1，0） ，则下面说法正确的是（）AC可能是线段 AB的中点BD 可能是线段 AB的中点CC，D可能同时在线段AB上DC，D 不可能同时在线段 AB的延长线上【分析】 由题意可得到 c 和 d 的关系，只需结合答案考查方程的解的问题即可A和 B中方程无解， C中由 c 和 d 的范围可推出 C和 D 点重合，由排除法选择答案即可【解答】 解：由已知可得（ c，0）= （1，0） ， （d，0）= （1，0） ，所以 =c ，

23、=d ，代入得（1）若 C是线段 AB的中点，则 c= ，代入（ 1）d 不存在，故 C不可能是线段 AB的中点， A错误；同理 B错误；若 C，D 同时在线段 AB上，则 0c1，0d1，代入（ 1）得 c=d=1，此时 C和 D 点重合，与条件矛盾，故C错误故选 D二、填空题（共4 小题，每小题 4 分，满分 16分）13 （4 分） （2011?山东）某高校甲、 乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300 名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取 40 名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为16【分析】根据四个专业各有的人数，得到本校的总人数，

24、根据要抽取的人数，得到每个个体被抽到的概率， 利用丙专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到丙专业要抽取的人数【解答】 解：高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300 名学精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 23 页 - - - - - - - - - - 生本校共有学生 150+150+400+300=1000，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40 名学生进行调查每个个体被抽到的概率是=，丙专业有 400 人，要抽取 400=16故答案为： 1614

25、（4 分） （2011?山东）执行如图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的 y 的值是68【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出y 值模拟程序的运行过程， 用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果【解答】 解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：Lmny是否继续循环循环前235精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 23 页 - - - - - - - - - - 第一圈2352

26、78是第二圈235173是第三圈23568否此时 y 值为 68故答案为： 6815 （4 分） （2011?山东）已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为【分析】先利用双曲线和椭圆有相同的焦点求出c=，再利用双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，求出a=2，即可求双曲线的方程【解答】 解：由题得，双曲线的焦点坐标为（，0） ，（，0） ，c=：且双曲线的离心率为2=? a=2? b2=c2a2=3，双曲线的方程为=1故答案为：=116 （4 分） （2011?山东）已知函数 f（x）=logax+xb（a0，且 a1） 当 2a3b4 时，函数 f（x）

27、的零点 x0（n，n+1） ，nN*，则 n=2【分析】 把要求零点的函数，变成两个基本初等函数，根据所给的a，b 的值，可以判断两个函数的交点的所在的位置，同所给的区间进行比较，得到n 的值【解答】 解：设函数 y=logax，m=x+b根据 2a3b4，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 23 页 - - - - - - - - - - 对于函数 y=logax 在 x=2时，一定得到一个值小于1，在同一坐标系中划出两个函数的图象，判断两个函数的图形的交点在（2，3）之间，函

28、数 f（x）的零点 x0（n，n+1）时， n=2，故答案为： 2三、解答题（共6 小题，满分 74分）17 （12 分） （2011?山东）在 ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c已知（1）求的值；（2）若 cosB= ，ABC的周长为 5，求 b 的长【分析】 （1）利用正弦定理化简等式的右边，然后整理，利用两角和的正弦函数求出的值（2）利用（ 1）可知 c=2a，结合余弦定理，三角形的周长，即可求出b 的值【解答】 解： （1）因为所以即：cosAsinB 2sinBcosC=2sinCcosBcosBsinA所以 sin（A+B）=2sin（B+C） ，即 sinC=2s

29、inA所以=2（2）由（ 1）可知 c=2a a+b+c=5 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 23 页 - - - - - - - - - - b2=a2+c22accosB cosB= 解可得 a=1，b=c=2；所以 b=218 （12 分） （2011?山东）甲、乙两校各有3 名教师报名支教，期中甲校2 男 1女，乙校 1 男 2 女（）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1 名，写出所有可能的结果， 并求选出的 2 名教师性别相同的概率；（）若从报名的6 名教师中任选2

30、名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率【分析】 首先根据题意，将甲校的男教师用A、B表示，女教师用 C表示，乙校的男教师用 D 表示，女教师用 E、F表示，（）依题意，列举可得 “ 从甲校和乙校报名的教师中各任选1 名” 以及“ 选出的 2名教师性别相同 ” 的情况数目，由古典概型的概率公式计算可得答案；（）依题意，列举可得 “ 从报名的 6 名教师中任选 2 名” 以及“ 选出的 2 名教师同一个学校的有 6 种” 的情况数目，由古典概型的概率公式计算可得答案【解答】 解：甲校的男教师用A、B表示，女教师用 C表示，乙校的男教师用D表示，女教师用 E、F表示，（）根据题

31、意，从甲校和乙校报名的教师中各任选1 名，有（AD） ， （AE ） ， （AF） ， （BD） ， （BE ） ， （BF ） ， （CD ） ， （CE ） ， （CF ） ，共 9 种；其中性别相同的有（ AD） （BD） （CE ） （CF ）四种；则选出的 2 名教师性别相同的概率为P= ；（）若从报名的 6 名教师中任选 2 名，有（AB） （AC） （AD） （AE） （AF ） （BC ） （BD） （BE ） （BF ） （CD） （CE ） （CF ） （DE）（DF ） （EF ）共 15 种；其中选出的教师来自同一个学校的有6 种；则选出的 2 名教师来自同一学校的概率

32、为P=精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 23 页 - - - - - - - - - - 19 （12 分） （2011?山东）如图，在四棱台 ABCD A1B1C1D1中，D1D平面 ABCD ，底面 ABCD是平行四边形， AB=2AD ，AD=A1B1，BAD=60 （）证明： AA1BD；（）证明： CC1平面 A1BD【分析】 （）由 D1D平面 ABCD ，可证 D1DBDABD 中，由余弦定理得 BD2，勾股定理可得ADBD，由线面垂直的判定定理可证BD面 ADD

33、1A1，再由线面垂直的性质定理可证BD AA1（）连接 AC和 A1C1，设 ACBD=E ，先证明四边形ECC1A1为平行四边形，可得 CC1A1E，再由线面平行的判定定理可证CC1平面 A1BD【解答】 证明： （）D1D平面 ABCD ，D1DBD又 AB=2AD ，AD=A1B1，BAD=60 ，ABD中，由余弦定理得BD2=AD2+AB22AB?ADc os60 =3AD2，AD2+BD2=AB2，ADBD，又 ADDD1=D，BD面 ADD1A1由 AA1? 面 ADD1A1，BD AA1（）证明：连接 AC和 A1C1，设 ACBD=E ，由于底面 ABCD是平行四边形，故 E为

34、平行四边形 ABCD的中心，由棱台的定义及AB=2AD=2A1B1，可得 EC A1C1，且 EC=A1C1，故 ECC1A1为平行四边形， CC1A1E，而 A1 E? 平面 A1BD，CC1平面 A1BD精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 23 页 - - - - - - - - - - 20 （12 分） （2011?山东）等比数列 an 中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行3210第二行641

35、4第三行9818（）求数列 an 的通项公式；（）若数列 bn 满足： bn=an+（1）nlnan，求数列 bn 的前 2n 项和 S2n【分析】 本题考查的是数列求和问题在解答时：（）此问首先要结合所给列表充分讨论符合要求的所有情况，根据符合的情况进一步分析公比进而求得数列 an 的通项公式；（）首先要利用第（ ）问的结果对数列数列 bn 的通项进行化简，然后结合通项的特点，利用分组法进行数列 bn的前 2n 项和的求解【解答】 解： （）当 a1=3 时，不符合题意；当 a1=2时，当且仅当 a2=6，a3=18时符合题意；当 a1=10时，不符合题意；所以 a1=2，a2=6，a3=1

36、8，公比为 q=3，故：an=2?3n1，nN*（）bn=an+（1）nlnan=2?3n1+（1）nln（2?3n1）=2?3n1+（1）n ln2+（n1）ln3=2?3n1+（1）n（ln2ln3）+（1）nnln3S2n=b1+b2+ +b2n=2（1+3+ +32n1）+1+11+ +（1）2n ?（ln2ln3）+1+23+ +（1）2n2n ln3=32n+nln31精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 23 页 - - - - - - - - - - 数列 bn 的

37、前 2n 项和 S2n=32n+nln3121 （12 分） （2011?山东）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度， 长度单位：米） ，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且 l2r假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为3 千元，半球形部分每平方米建造费用为c （c3）千元设该容器的建造费用为y 千元（）写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域；（）求该容器的建造费用最小时的r【分析】 （1）由圆柱和球的体积的表达式，得到l 和 r 的关系再由圆柱和球的表面积公式建立关系式，将表达式中的l 用 r 表示并注意到

38、写定义域时，利用l2r，求出自变量 r 的范围（2）用导数的知识解决，注意到定义域的限制，在区间（0，2 中，极值未必存在，将极值点在区间内和在区间外进行分类讨论【解答】 解： （1）由体积 V=，解得 l=，y=2rl 3+4r2c=6r+4cr2=2?，又 l2r，即2r，解得 0r2其定义域为（ 0，2 （2）由（ 1）得， y=8（c2）r，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 23 页 - - - - - - - - - - =，0r2由于 c3，所以 c20当 r3=0

39、 时，则 r=令=m， （m0）所以 y=当 0m2 即 c时，当 r=m 时，y=0当 r（0，m）时， y 0当 r（m，2）时， y 0所以 r=m 是函数 y 的极小值点，也是最小值点当 m2 即 3c时，当 r（0，2）时， y0，函数单调递减所以 r=2 是函数 y 的最小值点综上所述，当 3c时，建造费用最小时r=2；当 c时，建造费用最小时r=22 （14 分） （2011?山东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆如图所示，斜率为 k（k0）且不过原点的直线l 交椭圆 C于 A，B两点，线段 AB的中点为 E，射线 OE交椭圆 C于点 G，交直线 x=3 于点 D（3，m） （

40、）求 m2+k2的最小值；（）若| OG |2=| OD| ? | OE | ，（i）求证：直线 l 过定点；（ii）试问点 B，G能否关于 x 轴对称？若能，求出此时 ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 23 页 - - - - - - - - - - 【分析】 （）设 y=kx+t（k0） ，联立直线和椭圆方程，消去y，得到关于 x 的一元二次方程，利用韦达定理，求出点E的坐标和 OE所在直线方程，求点D 的坐标，利用基本不等式即可求得m

41、2+k2的最小值；（） （i）由（ ）知 OD所在直线方程，和椭圆方程联立，求得点G的坐标，并代入若 | OG |2=| OD| ? | OE | ，得到 t=k，因此得证直线过定点；（ii）若点 B，G关于 x 轴对称，写出点 B的坐标，求出 ABG的外接圆的圆心坐标和半径，从而求出ABG的外接圆方程【解答】 解： （）设 y=kx+t（k0） ，由题意， t0，由方程组，得（ 3k2+1）x2+6ktx+3t23=0，由题意 0，所以 3k2+1t2，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，x1+x2=，所以 y1+y2=，线段 AB的中点为 E，xE=，yE=，此时 kOE=所以 O

42、E所在直线方程为y=x，又由题设知 D（3，m） 令 x=3，得 m=，即 mk=1，所以 m2+k22mk=2，（） （i）证明：由（ ）知 OD所在直线方程为 y=x，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 23 页 - - - - - - - - - - 将其代入椭圆 C的方程，并由 k0，解得 G（，） ，又 E（，） ，D（3，） ，由距离公式和 t0，得| OG |2=（）2+（）2=，| OD| =，| OE | =由| OG |2=| OD| ? | OE | ，得

43、t=k，因此直线 l 的方程为 y=k（x+1） ，所以直线 l 恒过定点（ 1，0） ；（ii）由（ i）得 G（，） ，若点 B，G关于 x 轴对称，则 B（，） ，将点 B坐标代入 y=k（x+1） ，整理得，即 6k47k2+1=0，解得 k2= 或 k2=1，验证知 k2=时，不成立，故舍去所以 k2=1，又 k0，故 k=1，此时 B（，） ，G（，）关于 x 轴对称，又由（ I）得 x1=0，y1=1，所以点 A（0，1） ，由于 ABG的外接圆的圆心在x 轴上，可设 ABG的外接圆的圆心为（ d，0） ，因此 d2+1=（d+）2+，解得 d=，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 23 页 - - - - - - - - - - 故ABG的外接圆的半径为 r=，所以 ABG的外接圆方程为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 23 页 - - - - - - - - - -