2022年工程力学上电子教案第六章.pdf

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1、第六章点的运动学第一、二节矢量法 直角坐标法教学时数： 2 学时教学目标：1、 能用矢量法建立点的运动方程，求速度和加速度2、 能熟练的应用直角坐标法建立点的运动方程，求轨迹、速度和加速度教学重点：点的曲线运动的直角坐标法，点的运动方程、 点的速度和加速度在直角坐标轴上的投影教学难点：点的曲线运动的直角坐标法教学方法：板书 PowerPoint教学步骤：一、运动学引言运动学是研究物体运动的几何性质的科学。也就是从几何学方面来研究物体的机械运动。运动学的内容包括：运动方程、轨迹、速度和加速度。学习运动学的意义： 首先是为学习动力学打下必要的基础。其次运动学本身也有独立的应用。由于物体运动的描述是

2、相对的。将观察者所在的物体称为参考体，固结于参考体上的坐标系称为参考坐标系。只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。时间概念要明确：瞬时和时间间隔。运动学所研究的力学模型为：点和刚体。二、点的运动学本章将介绍研究点的运动的三种方法，即：矢径法、直角坐标法和自然法。点运动时， 在空间所占的位置随时间连续变化而形成的曲线，称为点的运动轨迹。点的运动可按轨迹形状分为直线运动和曲线运动。当轨迹为圆时称为圆周运动。表示点的位置随时间变化的规律的数学方程称为点的运动方程。本章研究的内容为点的运动方程、轨迹、速度和加速度，以及它们之间的关系。三矢量法1、点的运动方程如图，动点M沿其轨迹运动，在瞬时t，M点在

3、图示位置。由参考点O向动点M作一矢量r=OM，则称r为矢径。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 于是动点矢径形式的运动方程为显然，矢径的矢端曲线就是点运动的轨迹。用矢径法描述点的运动有简洁、直观的优点。2、点的速度如图，动点M在时间间隔t 内的位移为则表示动点在时间间隔t 内运动的平均快慢和方向，称为点的平均速度。当 t 0 时，平均速度的极限矢量称为动点在t 瞬时的 速度 。即即： 点的速度等于它的矢径对时间的一阶导数。方向沿轨迹

4、的切线方向。3、点的加速度如图，动点M在时间间隔 t 内速度矢量的改变量为vvvMMvvvvaaABOMM)(tr)(ttrrvv参考体OMr)(trr)()(trttrrMMtrvrdtrdtrvvtt00limlim精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 则tva表示动点的速度在时间间隔t 内的平均变化率，称为平均加速度。当 t 0 时，平均加速度的极限矢量称为动点在t 瞬时的加速度。即rvdtvdtvaatt00limlim即：点

5、的加速度等于它的速度对时间的一阶导数，也等于它的矢径对时间的二阶导数。四、直角坐标法1、点的运动方程如图，在参考体上建立直角坐标系。则)(1tfx)(2tfy)(3tfz这就是直角坐标形式的点的运动方程。由运动方程消去时间t可得两个柱面方程：0),(1yxF0),(2zyF这两个柱面方程的交线就是点的运动轨迹，上式称为动点的轨迹方程。2、点的速度在直角坐标轴上的投影由图可知，动点的矢径为将上式两边对时间求导，可得将动点的速度表示为解析形式，则有OxyzijkrMxyzOxyzijkrMxyzkzj yi xrkdtdzjdtdyidtdxdtrdvkvjvivvzyx精品资料 - - - 欢迎

6、下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 比较上述两式，可得速度在各坐标轴上的投影xdtdxvxydtdyvyzdtdzvz这就是用直角坐标法表示的点的速度。即：点的速度在直角坐标轴上的投影，等于点的对应坐标对时间的一阶导数。3、点的速度在直角坐标轴上的投影若已知速度的投影，则速度的大小为222zyxv其方向余弦为vzkvvyjvvxiv),cos(),cos(),cos(4、点的加速度在直角坐标轴上的投影由于加速度是速度对时间的一阶导数，则kdtdvjdtdvi

7、dtdvkdtzdjdtydidtxdazyx222222将动点的加速度表示为解析形式，则有kajaiaazyx比较上述两式，可得加速度在各坐标轴上的投影xdtxddtdvaxx22ydtyddtdvayy22zdtzddtdvazz22这就是用直角坐标法表示的点的加速度。即：点的加速度在直角坐标轴上的投影等于该点速度在对应坐标轴上的投影对时间的一阶导数，也等于该点对应的坐标对时间的二阶导数。若已知加速度的投影，则加速度的大小为222222zyxaaaazyx其方向余弦为azkaayjaaxia),cos(),cos(),cos(例 1、杆AB绕A点转动时， 带动套在半径为R的固定大圆环上的小

8、护环M运动，已知t（为常数）。求小环M的运动方程、速度和加速度。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 解：建立如图所示的直角坐标。则2cos2sinRyRx即tRytRx2cos2sin即为小环M 的运动方程。tRxvx2cos2tRyvy2sin2故M点的速度大小为Rvvvyx222其方向余弦为2cos),cos(vvivx2sin),cos(vvjvyxtRvaxx2242sin4ytRvayy2242cos4故M点的加速度大小为

9、2224Raaayx且有rj yi xj yi xa22224)(444加速度的方向如图。例 2、半径为R的圆轮在地上沿直线匀速滚动，已知轮心的速度为Cv试求轮缘上一点M的运动方程轨迹速度和加速度（演示图轮在地面上纯滚动）ABMROABMOxy2ABMOxy2vxvyv精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - - yxr2P解：建立直角坐标如图，0t时M点位于O点M点的运动方程：sinROPx其中vtOP，tRvc即tRvRRytRvRtvx

10、CCCcossin轨迹为摆线（可演示轮子运动时，M点的轨迹画出来）速度：tRvvvxvCCCxcostRvvyvCCysin2sin22sin222CCCyxvtRvvvvv2cos,cosvvyvy可知PMv（如图）当n2,2, 1 ,0n时，即M点接触地时0v加速度：tRvRvxaCCxsintRvRvyaCCycos2RvaaaCyx222coscos,costRvyaC即M点的加速度大小为常量，方向恒指向轮心C课堂小结：本章介绍研究动点运动的三种方法，即矢径法、直角坐标法和自然法。点运动时， 在空间所占的位置随时间连续变化而形成一条曲线，这条曲线成为点的运动轨迹。点的运动可按轨迹形状分

11、为直线运动和曲线运动。当轨迹为圆时称为圆周运动。点作运动就是点的位置随MMRo精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 时间变化。 表示点的位置随时间变化规律的数学方程称为点的运动方程，本章研究的内容为点的运动方程、轨迹、速度和加速度，以及它们之间的关系。作业布置：1、 课本思考题6-2 2、 课本习题6-2、6-3。教学后记：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - -

12、- - - - - -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 第三节 自然法教学时数： 2 学时教学目标：1、 能熟练地应用自然法求点在平面上作曲线运动时的运动方程、速度和加速度，2、 正确理解切向加速度和法向加速度的物理意义。教学重点：点的曲线运动的自然法，点沿已知轨迹的运动方程，点的切向加速度和法向加速度。教学难点：矢量求导及自然轴系的概念。教学方法：板书 PowerPoint教学步骤：自然坐标法1、运动方程前提：点的轨迹已知显示火车沿轨迹行驶的一段动画弧坐标的建立：在轨迹上确定O 点，规定“ +” ， “-”M点位置确定：弧坐标S 设动点M的运动轨迹如图。当动点

13、运动时，弧坐标随时间t连续变化，且为时间t的单值连续函数，即)(tfs这就是自然坐标形式的点的运动方程。2、曲率和曲率半径图示空间曲线，表明曲线在弧长MMs内弯曲的程度。OMs)()(精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - - sk称为MMs的平均曲率。当 M 点趋近于M点时，平均曲率的极限值就是曲线在M点的曲率，即sks0limM点曲率的倒数称为曲线在M点的曲率半径，即sk0lim13、自然轴系如图。由三个方向的单位矢量构成的坐标系称为自

14、然轴系。且三个单位矢量满足右手法则，即nb自然轴系不是固定的坐标系。4、用自然法表示点的速度由点的速度的矢径法dsrddtdsdsdsdtrddtrdv由于dsrdvtsdtdst0lim，所以dtdsvv即：动点沿已知轨迹的速度的代数值等于弧坐标s 对时间的一阶导数，速度的方向沿着轨迹的切线方向，当dtds为正时指向与相同，反之，与相反。5、用自然法表示点的加速度M)()(Ms密切面法面切线主法线副法线MnbM)()(Ms精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 13 页 - - -

15、- - - - - - - 由点的加速度的矢径法dtdvdtdvvdtddtvda)(由于nvdtd， 所以nvdtdva2上式表明加速度矢量a是由两个分矢量组成： 分矢量dtdva的方向永远沿轨迹的切线方向，称为切向加速度，它表明速度代数值随时间的变化率；分矢量nvan2的方向永远沿主法线的方向，称为法向加速度，它表明速度方向随时间的变化率。加速度在三个自然轴上的投影为sdtsddtdva222van0ba全加速度位于密切面内，其大小为22222)()(vdtdvaaan方向余弦为aaa),cos(aanan),cos(例1 、 在 曲 柄 摇 杆 机 构 中 ， 曲 柄OA与 水 平 线

16、夹 角 的 变 化 规 律 为24t， 设cmOOOA101，cmBO241，求M点的运动方程和st1时M点的速度和加速度（演示图中机构的运动可将B点的轨迹画出来）Booo1B1OOv45naa解法 1 自然坐标法B点的运动方程s2324tBBD速度tsv6加速度6sa23243622222ttsan精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 4时st16v6a232na解法 2 直角坐标法（坐标建立如图）1OOjyxiBB点的运动方程：

17、218cos242cos24costBOxB218sin24sintBOyB速度：ttxvBBx28sin6ttyvBBy28cos6加速度：22228cos238sin6tttxaBBx22228sin238cos6tttyaBByst1时8sin6Bxv8cos6Byvjiv8cos68sin68cos238sin62Bxa8sin238cos62ByajaiaaBxBx例 2、杆AB绕A点转动时， 带动套在半径为R的固定大圆环上的小护环M运动，已知t（为常数）。求小环M的运动方程、速度和加速度。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳

18、 - - - - - - - - - -第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 解：建立如图所示的自然坐标。则点的自然坐标形式的运动方程为tRRs2)2(速度为Rdtdsv2加速度为0dtdva2224)2(RRRvan例 3、一点作平面曲线运动，其速度在x轴上的投影始终为一常数C。试证明在此情形下，点的加速度的大小为Cva3。其中v为点的速度的大小，为轨迹的曲率半径。证明：设点沿图示曲线运动，速度和加速度如图。由已知条件得Cvcos（1）由于速度在x轴上的投影始终为一常数，所以0 xa由于0sincosnxaaa所以tgaan于是可得cos1222nnnatgaa

19、aaxvanaMABMROABM2Os精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 由于2van，所以cos2va将（ 1）式代入上式得Cva3证毕。课堂小结：本章介绍了描述点的运动的矢量法、直角坐标法和自然法。矢量法在理论上概括性强，分析方法直接明了，但在求解具体的力学问题时，需把矢量运算变换为标量运算的形式，因而将速度和加速度表示为投影的形式。在运动轨迹不知的情况下，采用直角坐标法比较方便。但其缺点是对运动规律的分析不太直观。当轨迹已知时， 可采用自然坐标法。自然法比较直观，而且运算时速度的大小变化率与方向变化率是分开来计算的。直角坐标法与自然法在求解力学问题时用得较多。但矢量法是这两种方法的理论基础。作业布置：1、 点作曲线运动时，下述说法正确吗？若切向加速度为正，则点作加速运动若切向加速度与速度符号相同，则点作加速运动若切向加速度为零，则速度为常矢量。2、课本习题6-7、6-10。教学后记：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - - -