2022年希望杯七级试题答案.pdf

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1、第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初一第 1 试参考答案一、选择题：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A C A C A B D D B 二、A组填空题：11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 74950，8 154000 3.6251050 或1 1 3，94599 102 1.83 4.8 2，23 三、B组填空题：21 22 23 24 25 6888，28000 22.5 ，45 65，67 ，8， 9 第 2 试参考答案及评分标准一、选择题（每小题5 分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案A D C A A C B C D B 二、填空题

2、（每小题5 分，含两个空格的，前空3 分，后空 2 分）题号11 12 13 14 15 答案673 668 11；234 20 15 题号16 17 18 19 20 答案5 126；980 1 35 1；1 三、解答题：21 （1）小明的猜想显然是不正确的，易举出反例；如131+3 （4 分）（2）将第一组等式变形为：4212，4212得出如下猜想：“若 n 是正整数，则)1(1)1(1nnnnnn”（7 分）证法 1：左边nnnnn1) 1()1)(11(右边所以猜想是正确的（10 分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -

3、 - - - - - - - -第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 证法 2: 右边nnnnnnn2) 1()1(1左边所以猜想是正确的（10 分）22不能填，理由如下：设所填的互不相同的4 个数为 a, b, c, d；则有（4 分）得2222cddc22dc因为： c d ，只能是 c = -d （6 分）22bc因为 c b ,只能 c = -b 同理可得（8 分）比较， 得 b=d ,与已知 bd 矛盾，所以题设要求的填数法不存在。（10 分）23、因为， x 是正整数，所以表中各行或各列三数之和都是相等的正整数即：312387654321xx（2 分）不

4、妨设 a,b 与 x 在同一行， c，d 与 x 在同一列，则有abc+d123xx12x32（4 分）又 a b 和 cd 的最小值是524321所以221x, 53212即x（6 分） 又因为ba3x212是整数，且 x 是不同于1，2，3，4，5，6，7，8 的正整数，因此x9 （8 分）填数法如下：（不唯一）（10 分）c a b x d 2 4 9 6 8 1 7 3 5 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 参考答案 :

5、一.BACDA,DDCBA. 二.11.1.003;12.7;13.4;14.-7;15.4;16.74;17.16;18.22;19.425;20.196. 三.21. 答: 不能实现 . 理由 : 假设能够实现 , 不妨设中间小正方形的边长为x(x0),左下角的正方形的边长为 y(y0),则左上角的正方形的边长为(y-x),右上角的正方形的边长为(y-2x),于是有右下角的正方形的边长为(y-3x) 或(y+x). 所以 ,y-3x=y+x, 于是 4x=0, 得x=0. 与x0矛盾 , 所以该同学的想法不能实现. 22.(1) 一个正整数 n经达一次“ H运算”的结果是b, 记为:nHb

6、, 则257经过笫1次 “H运算”:257 H2573+13=784; 笫2次 “H运算”:784 H784412=49; 笫3次“ H运算” :49H493+13=160; 笫4次“H运算” :160 H160512=5; 笫5次“ H运算” :5H53+13=28; 笫6次“ H运算” :28 H28212=7; 笫7次“ H运算” :7H73+13=34; 笫8次“ H运算” :34 H3412=17; 笫9次“ H运算” :17H173+13=64; 笫10次“H运算” :64 H64612=1; 笫11次“ H运算” :1H13+13=16;笫12次“ H 运算” :16 H1641

7、2=1; 笫13次“ H运算” :1H13+13=16;笫14次“ H 运算” :16 H16412=1; 从笫 11步以后出现循环, 奇数步的结果为16, 偶数步的结果为1. 因此 , 笫257步后的结果为 16. (2) 若对一个正整数进行若干次“H操作”后出现循环, 此时“ H 运算”的运算结果总是 a, 则a一定是个奇数 , 那么, 对a进行“ H运算”的结果a3+13是偶数 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 再对 a

8、3+13进行“ H运算” , 即a3+13乘以12k的结果仍是 a, 于是3132ka=a, 也即 a3+13=a2k, 即a(2k- 3)=13=113.因为 a是正整数 , 所以 2k-3=1或 2k-3=13, 解得 k=2或k=4. 当k=2时,a=13; 当k=4时,a=1. 23. 为了用载重量 5吨的汽车将救灾物品一次运走, 我们应将不同规格的集装箱进行有效组合 , 即尽量使每一节汽车都能装满. 由题设可知 , 物资总重 63.5 吨, 而1263.5 513, 由此可知 , 要把救灾物品一次运走 ,需要的汽车不能少于13辆. 于是我们提出如下设计方案: A类: 每辆装 4吨集装

9、箱 1个和1吨集装箱 1个, 按排3辆汽车 ; B类: 每辆装 3吨集装箱 1个和1吨集装箱 2个, 按排4辆汽车 ; C类: 每辆装 2.5 吨集装箱 2个, 按排 2辆汽车 ; D类: 每辆装 2.5 吨、1.5 吨、1吨集装箱各 1个, 按排 1辆汽车 ; E类: 每辆装 1.5 吨集装箱 3个, 按排 3辆汽车 ; 而3+4+2+1+3=13( 辆), 因此 , 要把救灾物品一次运走,需要汽车至少 13辆. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 16 页 - - - - -

10、- - - - - 2002年度初一第二试“希望杯”全国数学邀请赛答案：一、 1.2002+(-2002)-2002(-2002) 2002 =0-2002 (-2002) 12002 =2002 选(C) 2. 、是正确命题. 选(B). 3. 选(B). 4.1-10 之间的质数有 2,3,5,7,但2是偶数 , 所以可用质数为3,5,7. 当x=3时,x2+2=11, x2+4=13, x2+6=15, x2+8=17, 其中 15不是质数当x=5时, x2+2=27, x2+4=29, x2+6=31, x2+8=33, 其中 15不是质数 . 当x=7时, x2+2=51, x2+4

11、=53, x2+6=55, x2+8=57, 其中 51、55、57不是质数 . 所以共有 6个符合条件 , 选(A) 5. 选(C) 6. 选(A). 7. 选(C) 8. 选(D). 9. 选(C). 10 选(A). 11. 设短直角边为 x, 则长直角边为 (x+1) (x+1)2+x2=2( 13)x1=2,x2=-3( 舍) 填35. 12. 设小组总人数为x, 男生为 y. 4050100100 xyx即2152xyx2512yxyx522xyxy把y取1、2、3整数 , 经验证 , 当 y=3时,1562x, 整数x为7, 所以数学小组成员至少为7人, 填7. 13. 设甲、乙

12、同学跑了x秒, 则小狗跑了 (x-6)秒. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 2(x-6)+3(x-6)=400-2 6-3 6 x=80 80-6=74(秒) 746=444( 米) 填444. 14.设小红妈妈存入奖金x元2.252011108100100 x x=6000 填6000. 15. 根据已知可得 , S ABC=S梯形BCDESABC-S梯形 BCFE= S梯形BCDE- S梯形 BCFE, 即Scdf= Sae

13、f 阴影部分面积 =2125318.7544R填18.75 16. 根据题意 , 轿车由北京到广州需要油8(2300 100-1)+6=182( 升) 18350=31625 (次). 所以需要加油4次. 填4. 17. 根据图形及题意,可得蜂巢一圈 :1+5=6=1 6 二圈 :12=2 6 三圈 :18=3 6 第27层增加 :(27-1)6个蜂巢 . 共有蜂巢 1+(1+2+3+26) 6=1+(27 13)6=2106+1=2107( 个) 填2107 18. 把x=2,y=-1,z=-3分别代入方程组, 得237436521 3mnnmR, 解得2710Rmn m2-7n+3R=72

14、-7 (-10)+3 (-2)=113 应填 113 19. 1612=25921, x=5 ,y=2. 3x+7y=15+14=29 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 20. 从题意可知 , 人服药后 , 血液中含药是每小时升2微克 . 在第 2小时升到 4 微克 , 人开始有困倦感, 第3小时升到 6微克 , 第5小时下降到 5微克 ,第7小时下降到 4微克 ,第9小时下降到 3微克; 所以从第 7小时以后人消除困倦感. 可知

15、人吃药后从第2小时到第 7小时之间有困倦感, 共有 7-2=5( 小时 ) 的时间 . 应填 5. 2000年度初一第一试“希望杯”全国数学邀请赛答案：一、选择题1.由-1 的偶次方为正 1,-1 的奇次方为负 1可得 (-1)2000=1, 所以应选 (B). 2.a是有理数 , 不论 a取任何有理数 ,112000a的值永远不会是0. 选(C). 但要注意当选(D) 时, 112000a这个式子本身无意义, 不能选 (D).故选 (C) 是正确的 . 3. ab,ad;bd,cd,由此可得 cabd, 故应选 (C). 9. 由ax+b=0可得 x=-ba, a2+b20, a、b不会同时

16、为 0, 当a=0时, 方程无解 ; 当a0时, 方程有惟一的解x=-ba, 所以应选 (D). 10. 因为当输入任一有理数, 显示屏的结果总等于所输入有理数的平方与1 之和 , 所以若输入 -1, 则显示屏的结果为(-1)2+1=2, 再将2输入 , 则显示屏的结果为22+1=5 , 故应选择 (D). 二、 A组填空题11. 2150000=2.16 106 用科学计数法表示2150000=2.15 106 . 12. 设这个角的度数为x, 则它的余为 90-x, 它的补角为13(180 -x). 由题意知 , 13(180 -x)=90 -x 解之得 x=45 这个角等于 45度. 1

17、3. 由图示可知 ,ba0, a+b=-(a+b),b-1=1-b, a-c =c-a, 1-c =1-c, 1000n=1000 (-a-b-1+b-c+a-1+c) =1000 (-2) =-2000 14. 如图所示 . 设这个长方形 ABCD 的长为 a厘米 , 宽为b厘米 .即 BC=a,AB=b,则其面积为ab平方厘米 . E为AD 的中点 ,F 为CE 的中点 , 过 F作FG CD,FQ BC 且分别交精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 16 页 - - - - -

18、 - - - - - CD 于G、BC 于Q,则FQ=12CD=12b,FG=14a. 因 BFC 的面积 =12BCFQ=12a12b, 同理 FCD 的面积 =12 b14a, BDF 的面积 =BCD 的面积 -( BFC 的面积 +CDF 的面积 ), 即 6=12ab-(14ab+18ab)=18ab ab=48. 长方形 ABCD 的面积是 48平方厘米 . 15. a 的相反数是 2b+1,b的相反数是 3a+1, 由此可得 : 2131abba解之得 a=-15,b=-25. a2+b2=15. 16. 设A、B一起工作需要 x天完成这件工作. 由题意知 ,A的工作效率为113

19、26,B的工作效率为114312, 根据题意可列方程为111612x解之得 x=4. A and B work together,it will take 4 days for them to finish it. 17. 设每台超级 VCD 的进价为 x元, 则按进价提高 35%,然后打出 “九折” 的出售价每台为x(1+35%)90% 元, 由题意可列方程为: x (1+35%) 90%-50=x+208 1.35 0.9x=x+258 0.215x=258 x=1200 每台超级 VCD 的进价是 1200元. 18. 由图知 , 图中共有六条线段, 即AC、AD 、AB 、CD 、CB

20、 、DB.又因 D是CB 的中点 , 所以 CD=DB,CB=2CD,AB=AC+2CD,AD=AC+CD,由题意可得 AC+AD+AB+CD+CB+DB=23, 即 AC+AC+CD+AC+2CD+CD+2CD+CD=23,也即 3AC+7CD=23 AC=2373CD, AC是正整数 , 23-7CD 3的条件是 CD=2,也即 23-7CD=9时 ,能被 3整除 , 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - - AC=3. 19. 设该

21、国库券的年利率为x, 则由题意可列方程: 1000 5 x=390 解之得 x=7.8% 所以 , 该国库券的年利率为7.8%. 20. 设甲每小时行 v1千米 ,乙每小时行 v2千米 , 则甲乙两地的距离就是2(v1+v2)千米 . 由题意可得 : 3.6(v1+v2+2)=4(v1+v2),0.4(v1+v2)=7.2, v1+v2=18. 2(v1+v2)=218=36, 即A、B两地的距离为 36千米 . 三、 B组填空题21. 绝对值小于 1的数共有 5个. 所有正数的平方和等于89109900. 22. -4xm-2y3与23x3y7-2n是同类项 , 72323nm, 解之 ,

22、得 m=5, n=2 m2+2n=29,n2+2m=36. 23. m、n为大于 0的整数 , 且3m+2n=225,若(m,n)=15, 则3m=3 15=45,2n= 2 90=180, m=15,n=90 (1)m+n=15+90=105. (2)若m,n=45,则m+n=45+45=90. 24. 若,ab bc都是 7的倍数 , 则可组成abc的三位数共有 15个, 其中最大的是 984, 最小的是 142, 它们的和是 1126. 25. 每张的成本价小于5角. 但又能被 31元9角3分整除 . 所以可设每张成本价为x角y分, 则3193xy, 显然xy=31(分). 即每张成本价

23、为0. 31 元. 这种画片共有319331=103( 张). 2001年度初一第二试“希望杯”全国数学邀请赛答案：一、 1. 根据题意 , 对任意正奇数 n,an=-a , 如果 a0, 而an0, 则-a0, 因此a不能是正数 . 由于 0的相反数是 0, 所以a=0时, an=0n=0=-a 成立 . 选(A) 2. 由图可知 AF=11-(-5)=16, 又AB=BC=CD=DE=EF=a 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - -

24、- a=165=3.2 C点坐标 -5+3.2+3.2=1.4 与C表示的数最接近的整数是1, 选(C). 3. 经计算333355223.14151061137, 选(C). 4. 2x+3y=5 x=4 时,y=-1. 3x2+12xy+y2=1, 选(D). 5. 设两个正整数为a与b, 则 a+b=60=22 3 5 a,b=273=3 7 13. 显然 a,b 的最大公约数是1或3. 如果 (a,b)=1,则a,b=ab. a、b只能取 (21,13),(7,39),(1,273),(3,91),其和均不为 60. 因此 (a,b)=3,于是 a=3 7,b=3 13 a b=(3

25、7)(3 13)=819. 选(B). 6. 如图 , 用一根长为 a米的线围成一个等边三角形ABC,则其边长为3a米, zyxPCBA即AB=BC=CA=3a米. 设P点到三边的距离分别为x,y,z,且SABC=b, 又 SPBC+SPCA+SPAB=SABC111232323aaaxyzb即6a(x+y+z)=b x+y+z=6ba. 选(C). 7. 表示不大于 a的最大质数精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - - =3,=23,

26、=29 =32329=2001 又=1999. 选(B). 8. “甲”在第一行出现的位置是10m+1,m=0,1,2 , “子”在第二行出现的位置是12n+1,n=0,1,2. “甲”和“子”在同一列时应有 10m+1=12n+1 即 10m=12n 当m=n=0 时第一次“甲”、“子”同列, 第二次“甲”、“子”同列时应是使得10m=12n 成立的最小正整数m 和n，即 m=6,n=5. 应是第 61号位置 . 选(B) 9. 设a和b, 满足题目条件 , 首先一定有 ab, 如若不然 , 当ab时, 0ab=(a-b)2+(b-a)(a-b)=(a-b)2-(a-b)=0,矛盾. 一定有

27、 a0, 即(A) 一定不成立 . 选(A). 10.按降序字典排列法,10 个整式的次序如下: 9x4zy,8x3y,7x3z2,12x2yz,-3xy2z,xz2y,-15xyz,9y3z,zy2,0.3z3 易知 9y3z 在第 8个位置 . 选(D). 二、11. 设所求锐角为 a, 它的一半为2, 这个锐角的余角为90-a, 这个锐角的补角为180-a, 依题意得2+(90 -a)+(180 -a)=180 解得 a=6012. a2+a=0 a1999(a+a)=a1999 0=0 即a2001+a2000=0 a2001+a2000+12=12 13. 如题图所示的所有三角形均以

28、A为一个顶点 ,一个底边在 BC 上, 因此所有三角形都具有相等的高, 于是可将计算所有三角形面积之和的问题转化为计算BC 上所有线段长度之和的问题. 因为所有线段长之和是BC的n倍, 则图中所有三角形面积之和就是 SABC的n倍. 设DE=FG=x,则BD=CG=2x,EF=3x,BC=9x. 图中共有 1+2+3+4+5=15个三角形 , 则它们在线段 BC 上的底边之和为 BC+(BD+DC)+(BE+EC)+(BF+FC)+(BG+GC)+DG+(DE+EG)+(DF+FG)+EF 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -

29、- - - - - - - -第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - - =9x 5+5x 3+3x =63x 由此可知 BC 上所有线段之和63x是BC=9x 的7倍, 所以图中所有三角形面积之和等于 SABC的7倍. 已知SABC=1, 故图中所有三角形的面积之和为7. 14. 若x为方程的正根 , 则 x=ax+1 即(1-a)x=1. 10,x0, 1-a0 即a1 若x为方程的负根 , 则 -x=ax+1,即(1+a)x=-1. -10,x0 即a-1 要使原方程同时有正根和负根, 则必须同时满足和, 即-a1, 这样的整数 a只有 a=0, 即为所求 . 1

30、5. 设小明妈妈为这件生日礼物在银行存储了x元, 年利率为 3%,则三年后共得3000元, 于是 x(1+3%)3=3000 又 1.033=1.092727 x=3000 1.092727 2746( 元)( 精确到个位 ). 16. 由方程组210 320 mxyxy得(m+3)x=10 方程有整数解 x=10 (3)3mm代入式得 y=153m . 为使103m为整数且 m 为正整数 , 只能取 m=2 或m=7,为使153m为整数 , 只能m=2 或m=12. 要使103m, 153m均为整数的正整数只能为2, 即m=2. m2=4. 17. 如图 , 设AB=a,BC=b,则SABC

31、D=ab=300(平方米 ) SABH=133248abab?, SABH=1212236abab?精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - - S阴影=ab-311111300137.5862424ababab (m2) 18. 图像的点数为 mn 个 m、n均是奇数 mn也是奇数由于一个字节可以存放两个点的颜色, 又mn 除以 2余1, 这一个点也需一个字节存放其颜色 . 存放 mn 个点的颜色至少需要12(mn+1) 个字节 . 19

32、. 正整数中合数序列自小到大依次排列是: 4,6,8,9,10,12,14,15,16,而大于 19的任何一个奇数比19大一个偶数 , 将这个偶数加在6上, 则任何一个大于 19的奇数都可表示为三个不同的合数之和. 容易看出 4+6+9=19, 所以三个不相等合数之和的最小奇数为19. 因而不能写出三个不相等的合数之和的最大奇数是17. 20. 在0到25的整数中 , 只有14满足 3 14=42=26+16( 被26除余数为 16) x2 =14, x1 +2 14除以26的余数为 9, 而28除以 26的余数为 2. x1 =7. 类似地 , 在0到25的整数中 , 只有 4满足34=12

33、, x4 =4. x3+2 4除以26余数为 23, 而8除以26的余数为 8, x3 =15. 对应 7,14,15,4的字母分别是 h,0,p,e. 密码单词为 hope. 三、 21. 一个依次排列的n个数组成一个数串: a1, a2, a3, ,an, 依题设操作方法可得新增的数为: a2-a1, a3-a2,a4-a3, ,an-an-1 新增数之和为 : (a2-a1)+ (a3-a2)+ (a4-a3)+ + (an-an-1)=an-a1 原数串为 3个数 :3,9,8. 第1次操作后所得数串为:3,6,9,-1,8. 根据可知 , 新增 4项之和为 : 6+(-1)=5=8-

34、3. 第2次操作后所得数串为: 3,3,6,3,9,-10,-1,9,8. 根据可知 , 新增 4项之和为 : 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 3+3+(-10)+9=5=8-3 按这个规律下去, 第100次操作后所得新数串所有数的和为: (3+9+8)+100 (8-3)=520. 22. 证法 1: 因为 AB ED,所以 =A+E=180. (两直线平行 , 同旁内角互补 ) 过C作CFAB.( 如图 ) ABED, C

35、FED. ( 平行于同一条直线的两条直线平行) CFAB,有B=1, (两直线平行 , 内错角相等 ) 又 CFED,有2=D,( 两直线平行 , 内错角相等 ) =B+C+ D= 1+BCD+ 2=360.( 周角定义 ) =2.( 等量代换 ) 21FDECBA21FDECBA证法 2: ABED, =A+E=180. (两直线平行 , 同旁内角互补 ) 过C作CFAB.( 如图 ) ABED, CFED, (平行于同一条直线的两条直线平行) CFAB,有B+1=180, (两直线平行 , 同旁内角互补 ) 又 CFED,有2+D=180 , (两直线平行 , 同旁内角互补 ) =B+C+

36、 D =B+(1+2)+D =(B+1)+( 2+D) =180 +180 =360 . =2a.( 等量代换 ) 23. 设小熊和小猫的个数分别为x和y, 总售价为 z, 则 z=80 x+45y=5(16x+9y) (*) 根据劳力和原材料的限制,x 和y应满足 15x+10y450,20 x+5y 400. 化简为 3x+2y90 及4x+y80 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 当总售价 z=2200时, 由(*) 得

37、16x+9y=440 9得 36x+9y 720 - 得 20 x720-440=280, 即x14 (A) 92得272x+9y405 - 得52x440-405=35, 即x14 (B) 综合 (A) 、(B) 可得x=14, 代入求得 y=24. 当x=14,y=24 时,有3x+2y=90,4x+y=80 满足工时和原料的约束条件, 此时恰有总售价 z=8014+4524=2200( 元). 答: 安排生产小熊 14个、小猫 24个可达到总售价2200元. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - - -