15模型实例饮酒驾车matlab.pptx
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1、模型实例模型实例二、微分方程模型二、微分方程模型三、微分方程案例分析三、微分方程案例分析一、微分方程建模简介一、微分方程建模简介四、微分方程的四、微分方程的MATLABMATLAB求解求解五、微分方程综合案例分析五、微分方程综合案例分析微分方程是研究变化规律的有力工具,在科微分方程是研究变化规律的有力工具,在科技、工程、经济管理、生态、环境、人口和技、工程、经济管理、生态、环境、人口和交通各个领域中有广泛的应用。交通各个领域中有广泛的应用。不少实际问题当我们采用微观眼光观察时都不少实际问题当我们采用微观眼光观察时都遵循着下面的模式:遵循着下面的模式:净变化率输入率输出率(守恒原理)净变化率输入
2、率输出率(守恒原理)一、微分方程模型简介一、微分方程模型简介引例一引例一在凌晨在凌晨1时警察发现一具尸体,测得尸体温度是时警察发现一具尸体,测得尸体温度是29oC,当时环境的温度是,当时环境的温度是21oC。1h后尸体温度下后尸体温度下降到降到27oC,若人体的正常温度是,若人体的正常温度是37oC,估计死者,估计死者的死亡时间。的死亡时间。解:设解:设T(t)为死者在被杀害后为死者在被杀害后t时刻尸体的温度;时刻尸体的温度;k为比例系数。由牛顿冷却定律,得为比例系数。由牛顿冷却定律,得)(0TTkdtdT则通解为则通解为21ktCeT由已知,由已知,由由4094. 2t因此死者大约是在前一天
3、的夜晚因此死者大约是在前一天的夜晚10:35被害的。被害的。27) 1(,29)(,37)0(tTtTT可得微分方程的特解:可得微分方程的特解:213416)(ttT29)(tT,代入解得,代入解得图图 1尸体的温度尸体的温度下降曲线下降曲线建立微分方程的常用方法建立微分方程的常用方法1、按变化规律直接列方程,如:、按变化规律直接列方程,如: 利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律,利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律,如牛顿第二定律,放射性物质的放射规律等。对某些实际问题如牛顿第二定律,放射性物质的放射规律等。对某些实际问题直接列出微分方程直接列出微分方程2、利用微
4、元分析方法建模、利用微元分析方法建模 根据已知的规律或定理,通过寻求微元之间的关系式得出根据已知的规律或定理,通过寻求微元之间的关系式得出微分方程。微分方程。3、模拟近似法,如:、模拟近似法,如: 在生物、经济等学科中,许多现象所满足的规律并不很清在生物、经济等学科中,许多现象所满足的规律并不很清楚,而且现象也相当复杂,因而需根据实际资料或大量的实验楚,而且现象也相当复杂,因而需根据实际资料或大量的实验数据,提出各种假设,在一定的假设下,给出实际现象所满足数据,提出各种假设,在一定的假设下,给出实际现象所满足的规律,然后利用适当的数学方法得出微分方程。的规律,然后利用适当的数学方法得出微分方程
5、。微分方程的建模步骤微分方程的建模步骤1、翻译或转化:、翻译或转化: 在实际问题中许多表示导数的常用词,如在实际问题中许多表示导数的常用词,如“速率速率”、增长增长”(在生物学以及人口问题研究中在生物学以及人口问题研究中),“衰变衰变”(在放射性问题中在放射性问题中),以及,以及“边际的边际的”(在经在经济学中济学中)等等 2、建立瞬时表达式:、建立瞬时表达式: 根据自变量有微小改变根据自变量有微小改变t时,因变量的增时,因变量的增量量W,建立起在时段建立起在时段t上的增量表达式,令上的增量表达式,令t 0,即得到即得到 的表达式的表达式dtdW二、微分方程模型二、微分方程模型3、配备物理单位
6、:、配备物理单位: 在建模中应注意每一项采用同样的物理单位在建模中应注意每一项采用同样的物理单位 4、确定条件:、确定条件: 这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界上的信息,它们独立于微分方程而成立,用以确上的信息,它们独立于微分方程而成立,用以确定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学陈述,应将这些给定的条件和微分方程一起列出。陈述,应将这些给定的条件和微分方程一起列出。 求微分方程(组)解析解的命令求微分方程(组)解析解的命令:dsolve(方程方程1,方程方程2,方程方程n,初始条件初始条件,自自变量变量)
7、 结结 果:果:u = tan(t-c)三、微分方程的三、微分方程的MATLAB求解求解 解解 输入命令输入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x)结结 果果 为为 : y =3e-2xsin(5x)解解 输入命令输入命令 : x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t); x=simple(x) % 将将x化简化简 y=simple(y) z=simple(z)结结 果果 为:为:x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e
8、-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t 案例案例1:以为女士每天摄入:以为女士每天摄入2500cal食物,食物,1200cal用于基本新陈代谢用于基本新陈代谢(即自动消耗即自动消耗),并以每千克体,并以每千克体重消耗重消耗16cal用于日常锻炼,其他的热量转变为身用于日常锻炼,其他的热量转变为身体的脂肪(设体的脂肪(设10000cal可转换成可转换成1kg脂肪)。星期脂肪)。星期天晚上,该女士的体重是天晚上,该女士的体重是57.1526kg,星期四那天,星期四那天她饱餐了一顿,共摄入了她饱餐了
9、一顿,共摄入了3500cal的食物,要求建的食物,要求建立一个通过时间预测体重函数立一个通过时间预测体重函数W(t)的数学模型,的数学模型,并用它估计:并用它估计:(1)星期六该女士的体重?)星期六该女士的体重?(2)为了不增重,每天她最多的摄入量是多少?)为了不增重,每天她最多的摄入量是多少?(3)若不进食,)若不进食,N周后她的体重是多少?周后她的体重是多少?四、微分方程案例分析四、微分方程案例分析解解1、翻译或转化:、翻译或转化:2、配备物理单位:、配备物理单位:3、建立表达式:、建立表达式:4、确定条件:、确定条件:1、“每天每天”:体重的变化输入一输出:体重的变化输入一输出 其中输入
10、指扣除了基本新陈代谢之后的净重量其中输入指扣除了基本新陈代谢之后的净重量 吸收;输出是进行健身训练时的消耗吸收;输出是进行健身训练时的消耗2、上述陈述更好的表示结构式:上述陈述更好的表示结构式: 取天为计时单位,记取天为计时单位,记W(t)为为t天时体重天时体重(kg),则:,则: 每天的净吸收量每天的净吸收量2500 1200 1300(cal) 每天的净输出量每天的净输出量16(cal)W16W(cal) 转换成脂肪量转换成脂肪量1300 16W(cal)3、体重的变化天、体重的变化天 (千克天千克天)tWdtdWt01、翻译或转化:、翻译或转化:2、配备物理单位:、配备物理单位:3、建立
11、表达式:、建立表达式:4、确定条件:、确定条件: 有些量是用能量有些量是用能量(cal)的形式给出的,而另外的形式给出的,而另外一些量是用重量的形式一些量是用重量的形式(cal)给出,考虑单位给出,考虑单位的匹配,利用的匹配,利用单位匹配单位匹配100001calkg 1、翻译或转化:、翻译或转化:2、配备物理单位:、配备物理单位:3、建立表达式:、建立表达式:4、确定条件:、确定条件:建立表达式建立表达式1000016)12002500(WdtdW积分后可求得其通解为:积分后可求得其通解为:(1)当)当 时,每天体重的变化:时,每天体重的变化:03t 0.00161( )81.25tW tC
12、 e初始条件为:初始条件为:,代入解出,代入解出124.0974C 则则0.0016( )81.2524.0974tW te(3)57.26799Wkg1526.570W(3500 1200) 1610000dWWdt(3)57.26799W积分后可求得其通解为:积分后可求得其通解为:(2)当)当 时,每天体重的变化:时,每天体重的变化:34t 0.00162( )143.75tW tC e初始条件为:初始条件为:,代入解出,代入解出286.89812C 则则0.0016( )81.2586.89812tW te(4)57.40625Wkg(2500 1200) 1610000dWWdt(4)
13、57.40625W积分后可求得其通解为:积分后可求得其通解为:(2)当)当 时,食物的摄入量恢复正常时,食物的摄入量恢复正常4t 0.00163( )81.25tW tC e初始条件为:初始条件为:,代入解出,代入解出323.9968C 则则0.0016( )81.2523.9968tW te0.00160.00160.001681.2524.0974,03( )143.7586.8981,3481.2523.9968,4tttetW tetet 最后得到不同阶段的微分方程是:最后得到不同阶段的微分方程是:6t (16)/100000dWbWdt(1) 代入对应方程,求得代入对应方程,求得现回
14、答上述问题现回答上述问题(6)57.48247Wkg(2)要满足体重不增,即)要满足体重不增,即所以所以1616 57.1256914bW因此每天总卡路里摄取量是因此每天总卡路里摄取量是1200+9142114cal0.0016dWWdt 0.00160.0016( )(0)57.1526ttW tWee(cal)(3)由于每天不摄取能量,所以)由于每天不摄取能量,所以解得解得因此,因此,n周后的体重为周后的体重为0.0016 7(7 )57.1526nWne案例案例2 在一个巴基斯坦洞穴里,发现了具有古代在一个巴基斯坦洞穴里,发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片,科学家们把它们带尼安德特人
15、特征的人骨碎片,科学家们把它们带到实验室,作碳到实验室,作碳14年代测定。分析表明年代测定。分析表明C14与与C12的的比例仅仅是活组织内的比例仅仅是活组织内的6.24,此人生活在多少年,此人生活在多少年前?前?(碳(碳14年代测定:活体中的碳有一小部分是放射性同位素年代测定:活体中的碳有一小部分是放射性同位素C14。这种放射性碳是由于宇宙射线在高层大气中的撞击引。这种放射性碳是由于宇宙射线在高层大气中的撞击引起的,经过一系列交换过程进入活组织中,直到在生物体起的,经过一系列交换过程进入活组织中,直到在生物体中达到平衡浓度。这意味着在活体中,中达到平衡浓度。这意味着在活体中,C14的数量与稳定
16、的的数量与稳定的C12的数量成定比。生物体死亡后,交换过程就停止了,放的数量成定比。生物体死亡后,交换过程就停止了,放射性碳便以每年八千分之一的速度减少)射性碳便以每年八千分之一的速度减少)(1 1)问题分析与模型的建立)问题分析与模型的建立1、放射性衰变的这种性质还可描述为、放射性衰变的这种性质还可描述为“放射性物放射性物质在任意时刻的衰变速度都与该物质现存的数量质在任意时刻的衰变速度都与该物质现存的数量成比例成比例”。而。而C14的比例数为每年八千分之一。的比例数为每年八千分之一。2、碳、碳14年代测定可计算出生物体的死亡时间;所年代测定可计算出生物体的死亡时间;所以,我们问题实际上就是:
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