2022年幂函数及其性质专题教案.pdf

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1、幂函数及其性质专题一、幂函数的定义一 般 地 ， 形 如yx（xR） 的 函 数 称 为 幂 函数 ， 其 中x是自 变 量 ，是常 数 . 如11234,yxyxyx等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.二、函数的图像和性质（1） yx（2）12yx（3）2yx（4）1yx（5）3yx用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出：yx2yx3yx12yx1yx定义域奇偶性在第象 限 单 调增减性定点（公共点）3幂函数性质（1）所有的幂函数在（ 0，+）都有定义，并且图象都过点（ 1，1） ；（2）x0 时，幂函数的图象都通过原点，并且在0 ，+

2、 上，是增函数（3）0时，幂函数的图象在区间（ 0，+）上是减函数 .三两类基本函数的归纳比较： 定义对数函数的定义 ：一般地，我们把函数logayx（a0 且a1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+） 幂函数的定义： 一般地，形如yx（xR）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，是常数. 性质对数函数的性质 ：定义域：（0，+） ；值域： R；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 过点（ 1，0） ，即当x=1， y

3、=0；在（0，+）上是增函数；在（ 0，+）是上减函数幂函数的性质： 所有的幂函数在（ 0，+）都有定义，图象都过点（ 1，1）x0 时，幂函数的图象都通过原点，在0 ，+ 上， yx、2yx、3yx、12yx是增函数，在（0，+）上，1yx是减函数。【例题选讲】例 1已知函数2531mfxmmx，当m为何值时，fx：（1）是幂函数； （2）是幂函数，且是0,上的增函数；（3）是正比例函数； （ 4）是反比例函数； （5）是二次函数；简解：（1）2m或1m（2）1m（3）45m（4）25m（ 5）1m变式训练：已知函数2223mmfxmm x，当m为何值时，fx在第一象限内它的图像是上升曲线。

4、简解：220230mmmm解得：, 13,m小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。例 2比较大小：（1）11221.5 ,1.7（2）33( 1.2) ,(1.25)（3）1125.25,5.26,5.26（4）30.530.5 ,3,log0.5解： （1）12yx在0,)上是增函数，1.51.7，11221.51.7（2）3yx在R上是增函数，1.21.25，33( 1.2)( 1.25)（3）1yx在(0,)上是减函数，5.255.26，115.255.26；5.26xy是增函数，12，125.265.26；综上，1125.255.265.26（4）300.51，0.53

5、1，3log 0.50，30.53log 0.50.53例 3已知幂函数223mmyx（mZ）的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，求m的值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 解： 幂函数223mmyx（mZ）的图象与x轴、y轴都无交点，2230mm，13m；mZ，2(23)mmZ，又函数图象关于原点对称，223mm是奇数，0m或2m例 4、设函数f（x）x3，（1）求它的反函数；（2）分别求出f1（x）f（x） ，f1（x）f

6、（x） ，f1（x）f（x）的实数x的范围解析：（1）由yx3两边同时开三次方得x3y，f1（x）x31（2）函数f（x）x3和f1（x）x31的图象都经过点（0，0）和（ 1，1） f1（x）f（x）时，x1 及 0；在同一个坐标系中画出两个函数图象，由图可知f1（x）f（x）时，x 1 或 0 x1；f1（x）f（x）时，x1或 1x0点评： 本题在确定x的范围时，采用了数形结合的方法，若采用解不等式或方程则较为麻烦例 5、求函数y52x2x514（x 32）值域解析： 设tx51，x32，t 2，则yt22t4（t1）23当t1 时，ymin3函数y52x2x514（x 32）的值域为3

7、，） 点评： 这是复合函数求值域的问题，应用换元法【同步练习】1.下列函数中不是幂函数的是（）yx3yx2yx1yx答案：2.下列函数在,0上为减函数的是（）13yx2yx3yx2yx答案：3.下列幂函数中定义域为0 x x的是（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 23yx32yx23yx32yx答案：4函数y（x22x）21的定义域是（）Ax|x0 或x2B （， 0）（2，）C （， 0） 2，D （0，2）解析： 函数可化为根

8、式形式，即可得定义域答案： B 5函数y（1x2）21的值域是（）A 0，B （0，1）C （0，1）D 0，1解析： 这是复合函数求值域问题，利用换元法，令t1x2，则yt 1x1， 0t1， 0y1答案： D 6函数y52x的单调递减区间为（）A （， 1）B （， 0）C 0，D （，）解析： 函数y52x是偶函数，且在0，）上单调递增，由对称性可知选B答案： B 7若a21a21，则a的取值范围是（）Aa1Ba0 C1a0D 1a0 解析： 运用指数函数的性质，选C答案： C 8函数y32)215(xx的定义域是。解析： 由（ 152xx2）30 152xx20 3x5答案： A9函数

9、y221mmx在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是_解析：m的取值应该使函数为偶函数故m1答案：m1 10、讨论 函数y52x的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 思路： 函数y52x是幂函数（1）要使y52x52x有意义，x可以取任意实数，故函数定义域为R（2）xR，x20y0（3）f（x）52)(x52xf（x） ，函数y52x是偶函数；（4）n520，幂函数y52x在 0，上单

10、调递增由于幂函数y52x是偶函数，幂函数y52x在（，0）上单调递减（5）其图象如下图所示11、比较下列各组中两个数的大小：（1）535.1，537.1； （2）0.71.5，0.61.5； （3）32)2.1(，32)25.1(解析：（1）考查幂函数y53x的单调性，在第一象限内函数单调递增，1.51.7，535.1537.1，（2）考查幂函数y23x的单调性，同理0.71.50.61.5（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，32)2.1(322 .1，32)25.1(3225.1，又322.13225.1，32)2.1(3225.1点评： 比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（

11、1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小12已知函数y42215xx（1）求函数的定义域、值域；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - （2）判断函数的奇偶性；（3）求函数的单调区间解析： 这是复合函数问题，利用换元法令t152xx2，则y4t，（1）由 152xx20 得函数的定义域为5，3 ，t16（x1）20

12、，16 函数的值域为0， 2 （2）函数的定义域为5，3且关于原点不对称，函数既不是奇函数也不是偶函数（3）函数的定义域为5，3 ，对称轴为x1，x5，1时，t随x的增大而增大；x（1，3）时，t随x的增大而减小又函数y4t在t0，16时，y随t的增大而增大，函数y42215xx的单调增区间为5，1 ，单调减区间为（1，3 答案：（1）定义域为5，3 ，值域为 0，2 ；（2）函数即不是奇函数，也不是偶函数；（3） （1，3 规律总结1在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；2对于幂函数yx，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限， 其次确定曲线的类型，即0，01 和1 三种情况下曲线的基本形状，还要注意0， 1 三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即0（1）时图象是抛物线型；0 时图象是双曲线型；1 时图象是竖直抛物线型；01 时图象是横卧抛物线型精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -