2022年平面向量复习讲义.pdf

《2022年平面向量复习讲义.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年平面向量复习讲义.pdf（6页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、学习好资料欢迎下载平面向量复习一向量有关概念 ：1向量的概念 ：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意 不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移） 。2零向量 ：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0，注意 零向量的方向是任意的 ；3 单位向量 ： 长度为一个单位长度的向量叫做单位向量( 与AB共线的单位向量是|ABAB)；4相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5平行向量（也叫共线向量） ：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：ab，规定零向量和任何向量平行。注：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两

2、个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性 ！ （因为有0) ；三点 ABC、 、共线ABAC、共线；6相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是a。【练习】1、下列命题： （1）若ab，则ab。 （2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若ABDC，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则ABDC。 （5）若,ab bc，则ac。 （6）若/ , /ab bc，则/ac。其中正确的是 _ 2、基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。（2

3、）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。（4）若ABCD，则 A、B、C、D 四点构成平行四边形。（5）直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量。（6）相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；（7）若a与b共线，b与c共线，则a与c共线。（8）若mamb，则ab。（9）若mana，则mn。（10）若a与b不共线，则a与b都不是零向量。（11）若| |a bab，则/ /ab。（12）若a与b均为非零向量，| |abab，则ab。二向量的表示方法 ：1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；2符号表示法：用一个小写的英文

4、字母来表示，如a，b，c等；3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、 y轴方向相同的两个单位向量i，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载j 为基底，则平面内的任一向量a可表示为,axiy jx y ，称, x y 为向量a的坐标，a, x y 叫做向量a的坐标表示。 如果向量的起点在原点 ，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三平面向量的基本定理 ：如果 e1和 e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面

5、内的任一向量 a，有且只有一对实数1、2，使 a=1e12e2。【练习】1、若(1,1),ab(1, 1),( 1,2)c，如何用a，b表示c？2、下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. 12(0,0),(1, 2)eeB. 12( 1,2),(5,7)eeC. 12(3,5),(6,10)eeD.1213(2, 3),(,)24ee（答： B） ；3、已知,AD BE分别是ABC的边,BC AC上的中线 ,且,ADa BEb,则BC可用向量,a b表示为_ （答：2433ab） ；4、在平行四边形 ABCD 中，点 E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点，且ACmAEnAF，其

6、中 m，nR，则 mn. 5、在边长为 2 的菱形 ABCD 中，BAD60 ，E 为 CD 中点， AE 与 BD 相交于点 F，（1）用AB，AD表示AF。 （2）求出AEBD四实数与向量的积 ：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：1, 2aa当0时，a的方向与a的方向相同，当0时，a的方向与a的方向相反，当0 时，0a，注意：a0。五平面向量的数量积 ：1两个向量的夹角 ：对于非零向量a，b，作,OAa OBb，AOB0称为向量a，b的夹角，当0 时，a，b同向，当时，a，b反向，当2时，a，b垂直。2 平面向量的数量积 ： 如果两个非零向量a，b， 它们的夹角为

7、， 我们把数量|cosab叫做a与b的数量积（或内积或点积） ，记作：ab，即abcosa b。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如【练习】1、ABC 中，3|AB，4| AC，5| BC，则BCAB_ （答： 9） ；A B C D E F 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载2、已知11(1, ),(0,),22abcakb dab，c与d的夹角为4，则k等于_ （答：1）

8、 ；3、已知2,5,3aba b，则ab等于_ （答：23） ；4、已知,a b是两个非零向量，且abab，则与aab的夹角为 _ （答：30）3b在a上的投影 为| cosb，它是一个实数，但不一定大于0。练习：已知3|a，5| b，且12ba，则向量 a在向量 b 上的投影为 _ （答：512）4ab的几何意义 ：数量积ab等于a的模|a与b在a上的投影的积。5向量数量积的性质 ：设两个非零向量a，b，其夹角为，则：0aba b；当a，b同向时，aba b，特别地，222,aaaaaa ；当a与b反向时，aba b；当为锐角时，ab0，且a b、不同向，0a b是为锐角的必要非充分条件 ；

9、当为钝角时，ab0，且a b、不反向，0a b是为钝角的必要非充分条件 ；非零向量a，b夹角的计算公式：cosaba b；| |abab。【练习】1、已知)2,(a，)2,3(b，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则的取值范围是 _ （答：43或0且13） ；2、已知 A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则 ABC 为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不等边三角形3、已知OFQ的面积为 S，且1FQOF，若2321S，则FQOF ,夹角的取值范围是_ （答：(,)43） ；六向量的运算 ：1几何运算 ：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共

10、线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设,ABa BCb，那么向量AC叫做a与b的和，即abABBCAC；向量的减法：用“三角形法则” ：设,ABa ACbabABACCA那么，由减向精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。【练习】1、化简：ABBCCD_；ABADDC_；()()ABCDACBD_ （答：AD；CB；0） ；2、若正方形 A

11、BCD 的边长为 1，,ABa BCb ACc，则|abc_ （答：2 2） ；3、若 O 是ABC所在平面内一点，且满足2OBOCOBOCOA，则ABC 的形状为_ （答：直角三角形）；4、若 D 为ABC的边 BC的中点，ABC所在平面内有一点P，满足0APBPCP，设|APPD，则的值为 _ （答：2） ；5、若点O是ABC的外心，且0OAOBCO，则ABC的内角C为_ （答：120） ；2坐标运算 ：设1122(,),(,)axybxy，则：向量的加减法运算 ：12(abxx ，12)yy。实数与向量的积 ：1111,ax yxy。若1122(,),(,)A xyB xy，则2121,

12、ABxx yy，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。【练习】1、设(2,3),( 1,5)AB，且13ACAB，3ADAB，则 C、D 的坐标分别是 _ 2、已知点(2,3),(5,4)AB，(7,10)C，若()APABACR，则当_时，点 P在第一、三象限的角平分线上（答：12） ；3、已知1(2,3),(1,4),(sin ,cos )2ABABxy且，,(,)2 2x y，则xy（答：6或2） ；4、已知作用在点(1,1)A的三个力123(3,4),(2, 5),(3,1)FFF，则合力123FFFF的终点坐标是（答： （9,1） ）练习：平面向量数量积

13、：1212a bx xy y 。如1、已知向量a（sinx，cosx）, b（sinx，sinx）, c（1，0） 。 （1）若 x3，求向量a、c的夹角； （2）若 x4,83，函数baxf)(的最大值为21，求的值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（答：1(1)150 ;(2)2或21） ；向量的模 ：222222|,|axyaaxy 。如1、已知,a b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3 |ab_ （答

14、：13） ；2、（2009 年广东卷）一质点受到平面上的三个力1F，2F，3F（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知12,FF成60角，且1F，2F的大小分别为和，则3F的大小为3、已知共面向量11,23ab，c均为单位向量，它们的夹角两两相同，求abc的值。两点间的距离 ：若1122,A x yB xy，则222121|ABxxyy。七向量的运算律 ：1交换律：abba，aa，abba；2结合律：,abcabc abcabc，ababab；3分配律：,aaaabab，abcacbc。练习： 下列命题中：cabacba)(；cbacba)()(；2()ab2|a22 | |abb； 若0ba，

15、则0a或0b；若,a bc b则ac；22aa；2a bbaa；222()a bab；222()2abaa bb。其中正确的是 _ （答：）注： （1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量， 即两边不能约去一个向量， 切记两向量不能相除 ( 相约)； （2）向量的“乘法”不满足结合律 ，即cbacba)()(，为什么？八向量平行 (共线) 的充要条件 ：/abab22()(| |)a bab1212x yy x0。【练习】1、若向量( ,1),(4, )axbx，当x_时a与

16、b共线且方向相同（答：2） ；2、已知(1,1),(4, )abx，2uab，2vab，且/uv，则 x_ （答：4） ；3、设( ,12),(4,5),(10, )PAkPBPCk，则 k_时，A,B,C 共线（答： 2 或 11）九向量垂直的充要条件：0| |aba babab12120 x xy y.【练习】1、已知( 1,2),(3,)OAOBm，若OAOB，则m2、以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，90B，则点 B 的坐标是_ （答： (1,3)或（3，1） ） ；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归

17、纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载3、已知( , ),na b向量nm，且nm，则m的坐标是 _ （答：( ,)(, )bab a或）十（了解内容）平移公式 ：如果点( ,)P x y按向量,ah k 平移至(,)P x y，则xxhyyk；曲线( , )0f x y按向量,ah k 平移得曲线(,)0f xh yk.注意： （1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！【练习】1、按向量a把(2, 3)平移到(1, 2)，则按向量a把点( 7,2)平移到点 _

18、 （答： （，） ；2、函数xy2sin的图象按向量a 平移后，所得函数的解析式是12cos xy，则 a _ （答：)1 ,4(）十一、向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2）| | |ababab，特别地，当a b、同向或有0| |abab| |abab；当a b、反向或有0| |abab| |abab；当a b、不共线| | |ababab( 这些和实数比较类似 ). 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -