2022年平面向量数量积运算的策略.pdf

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1、平面向量数量积运算的解题方法与策略平面向量数量积运算一直是高考热点内容，它在处理线段长度、垂直等问题的方式方法上尤为有突出的表现,而正确理解数量积的定义和几何意义是求解的关键，同时平面向量数量积的运算结果是实数而不是向量,因此要注意数量积运算和实数运算律的差异,本文仅举数例谈谈求解向量数量积运算的方法和策略。1. 利用数量积运算公式求解在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差 ) 公式在解题中的应用较为广泛,即(ab)aabb， （ab）aabb上述两公式以及(ab)( ab) ab这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用 . 例 1 已知a，b，ab，求ab，ab. 解析：

2、ab（ab）aabb（）ab23，（ab）（ab）a2abb22（ 3）35，ab35例 2 已知a 8，b 10，ab 16，求a与b的夹角( 精确到 ). 解析：（ab）（ab）a2abba2abb，4023，例 3 已知a（3，4） ，b（ 4，3） ，求x,y的值使 (xa+yb) a，且xa+yb=1. 分析：这里 两个条件互相制约，注意体现方程组思想.解：由a（ 3，4） ，b（4，3） ，有xa+yb=(3x+4y,4x+3y) 又（xa+yb）a(xa+yb)a3(3x+4y)+4(4x+3y)=0 即 25x+24y又xa+yb=1xa+yb（x+4y）（x+3y）整理得：

3、25x48xy+25y即x(25x+24y)+24xy+25y由有 24xy+25y将变形代入可得：y=75再代回得：753524753524yxyx和2. 利用定义直接求解. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 例 4 若向量,a br r满足ab2，,a br r的夹角为 45 ，则 a aa brrr r=_. 解析：根据数量积的定义得a aa br rr r22445cos22220，例 5设向量2172eet与向量21ete

4、的夹角为钝角，求实数t 的取值范围 . 解析：0)(72(2121eteeet，故071522tt，解之217t另有tt7,2，解之14,214t，)21,214()214,7(t例 6 如图 , 已知正六边形123456PP P P P P，下列向量的数量积中最大的是（）（A）1213PPPPuuu u r uuu u r（B）1214PPPPuu u u r u uu u r（C）1215PPPPuuu u r uuu u r（D）1216PPPPuu u u r u uu u r解 析 ： 选 项 中 均 有 向 量12PPu uu u r， 根 据 数 量 积 的 几 何 意 义 ，

5、要 找121(3,4,5,6)iPPPP iuu uu r uuu r的最大值 ,只需求1(3,4,5,6)iPP iuuu r在12PPuuu u r方向上的投影最大即可，画图可知只有13PPu uu u r在12PPuu uu r方向上的投影最大，故最大选 A. 3. 利用数量积的定义、性质、运算律求解例 7 判断正误，并简要说明理由. 00； 0； 0ABBA；若0，则对任一非零有；，则与中至少有一个为0；对任意向量，都有（）（） ；与是两个单位向量，则. 分析：根据数量积的定义、性质、运算律，逐一判断. 解：上述 8 个命题中只有正确；对于：两个向量的数量积是一个实数，应有0；对于：应

6、有0；对于： 由数量积定义有，这里是与的夹角，只有或时，才有；对于：若非零向量、垂直，有；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 对于：由可知可以都非零；对于：若与共线，记. 则（） （）（） ，（） （）（）（）若与不共线，则 ()（）. 评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律. 4. 借助零向量 . 即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理使用向量的移项以及平方等变形，求解数量积. 例 8

7、 已知 ABC 中，cABbCAaBC,，若accbba，求证： ABC 为正三角形 . 证明：accb，0)(abc，又0cba，)(bac，故0)(abba， 知 a=b，同理可知 b=c ，故 a=b=c ， 得证例 9 已知平面上三点A、 B、C 满足3,4,5ABBCCAu uu ru u u ru u u r则AB BC BC CA CA ABuu u r u u u ru u u r u u u ru u u r u uu r的值等于。解析：注意到0ABBCCAuuu ruuu ruu u rr，两边平方得2222220ABBCCAABBCBCCACAABuuuruuuruu u

8、 ruuur uuu ruuu r uu u ruu u r uuurggg所以AB BC BC CA CA ABu uu r u u u ru u u r u u u ru u u r u u u r=- 25 5. 借助平行向量与垂直向量. 即借助向量的拆分， 将待求的数量积转化为有垂直条件关系或平行向量关系的向量数量积，借助abrr，则0a br r等解决问题 . 例 10 已知向量a（ 3， 4） ，b（ 2，x） ， c（ 2，y）且ab，ac求 |bc|的值解析：ab，3x80 x38 b（ 2，38） ac， 64y0 y23c（ 2，23） 而 bc （ 2，38）（ 2，23

9、）（ 0，256） ， |bc|256例 11 如图，在 RtABC 中，已知 BC=a，若长为2a 的线段 PQ 以点A 为中心， 问PQuuu r与BCuuu r的夹角取何值时BPuuu rCQuuu r的值最大？， 并求出这个最大值 . 解析：ABuuu rACu uu rABuuu rACuuu r=0 又APuu u r=AQuuu r，BPuuu r=APu uu rABuuu r,CQuuu r=AQuuu rACuuu r, ABC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共

10、 5 页 - - - - - - - - - - BPuuu rCQuuu r=(APuu u rABuuu r)(AQuuu rACuuu r)=APuuu rAQuuu rAPuuu rACuuu rABuuu rAQuuu r+ABuuu rACu uu r=a2APuuu rACuuu r+ABuuu rAPuuu r=a2+APuuu r(ABuuu rACuu u r)=a2+21PQuuu rBCuuu r. 当 cos =1,，即 =0（PQuuu r与BCuuu r方向相同）时，BPuuu rCQuuu r最大，最大值为0. 例 12 四边形ABCD中，)3,2(),(),1

11、 , 6(CDyxBCAB（1）若DABC /，试求x与y满足的关系式；（2）满足（ 1）的同时又有BDAC，求yx,的值及四边形ABCD的面积。解析：),(yxBC)2, 4()2, 4()(yxyxCDBCABADDA（1）DABC/则有0)4()2(xyyx化简得：02yx（2）)1,6(yxBCABAC, ) 3, 2(yxCDBCBD又BDAC则0)3()1()2()6(yyxx化简有：0152422yxyx联立015240222yxyxyx解得36yx或12yxDABC /BDAC则四边形ABCD为对角线互相垂直的梯形当36yx时,)0, 8()4, 0(BDAC此时1621BDA

12、CSABCD当12yx时, )4,0()0, 8(BDAC此时1621BDACSABCD6. 借助向量的拆分将待求向量的数量积转化为题目中能求解的数量积. 例 13 如图，在ABC中，12021BACABAC，D是边BC上一点，2DCBD，则AD BCuuu r uuu r_ .精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 解析：直接利用定义求AD BCuu u r uuu r较困难，题目中给出了12021BACABAC，可以利用定义直接求出A

13、B ACu uu r uu u r，这样问题就转化为能否将向量AD BCuu u r uu u r,都用AB ACuuu r uuu r,形式表示 .由2DCBDuuu ruu u r得2()ACADADABuu u ru uu ru uu ruuu r即1233ADACABu uu ruuu ruuu r，BCACABuu u ruuu ruu u rAD BCu uu r uuu rg2211283333ACAC ABABuu u ru uu r u uu ruuu r. 7. 建立坐标系，利用坐标运算求解数量积例 14 已知 O 为 RtABC 的内切圆的圆心， AB=5,BC=4,CA

14、=3下列结论正确的是 （）A. OA OBOB OCOC OAuu u r uu u ru uu r uuu ruuu r u u u rB. OA OBOB OCOC OAuu u r uu u ru uu r uuu ruuu r u uu rC. OA OBOB OCOC OAuuu r uu u ruu u r u uu ruu u r uu u rD. OA OBOB OCOC OAuu u r uu u ruuu r uuu ruuu r u u u r解析：建立如图直角坐标系：设A(0,3) ，B(4,0)，C(0,0)，O 为 RtABC 的内切圆的圆心O(1,1)，( 1,2

15、)OAuuu r，(3, 1)OBuuu r，( 1, 1)OCuuu r5OA OBuuu r uuu r，1OA OCuuu r u uu r，2OB OCuuu ru uu r故选A 例 15 如图，在ABC中，12021BACABAC，D是边BC上一点，2DCBD，则AD BCuuu r uuu r_. 解析：建立以AB 为 x 轴，过点A 作 AB 的垂线为y 轴的直角坐标系，如图所示，则A(0,0) ，B(2,0)，C(13,22)，由定比分点坐标公式得D(73,66)，所以53(,)22BCuu u r，ADuuu r=(73,66), 即AD BCu uu r uuu r5733826263. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -