2022年平面向量知识点与考点精.pdf

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1、平面向量知识点与考点精( 经典 ) 平面向量知识点与2013 考点精讲知识网络向量的概念向量的运算向量的运用向量的加、减法实数与向量的积向量的数量积平面向量的基本定理及坐标表示向量的坐标运算物理学中的运用几何中的运用两向量平行的充要条件两向量垂直的充要条件向量的夹角向量的模两点间的距离精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 平面向量知识点与考点精( 经典 ) 第 1 讲 向量的概念与线性运算 知 识 梳理 1. 平面向量的有关概念: (

2、1) 向量的定义 : 既有 _大小又有方向 _的量叫做向量、(2) 表示方法 : 用有向线段来表示向量、有向线段的_长度 _表示向量的大小, 用_箭头所指的方向 _表示向量的方向、用字母a,b, 或用 AB , BC , 表示、特别提醒 : 1)模: 向量的长度叫向量的模, 记作 |a| 或| AB | 、2)零向量 : 长度为零的向量叫做零向量, 记作 0; 零向量的方向不确定、3)单位向量 : 长度为 1 个长度单位的向量叫做单位向量、4)共线向量 : 方向相同或相反的向量叫共线向量, 规定零向量与任何向量共线、5)相等的向量 : 长度相等且方向相同的向量叫相等的向量、2. 向量的线性运算

3、1、向量的加法 : (1) 定义 : 求两个向量与的运算, 叫做向量的加法、如图 , 已知向量a,b, 在平面内任取一点A, 作ABu uu ra,BCuuu rb, 则向量AC叫做a与b的与 , 记作a+b,即a+bABBCACu uu ru uu ruuu r特殊情况 :ababa+bbaa+b(1)平行四边形法则三角形法则CBDCBAAaabbbabaAABBCC)2()3(对于零向量与任一向量a, 有a00 a a(2) 法则 :_ 三角形法则 _,_ 平行四边形法则_ (3) 运算律 :_ a+b=b+a;_,_(a+b)+c=a+(b+c) 、_ 2、向量的减法 : (1) 定义

4、: 求两个向量差的运算, 叫做向量的减法、减法的三角形法则作法:在平面内取一点O, 作OA= a, OB= b, 则BA= ab即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 平面向量知识点与考点精( 经典 ) 注意 : 1)AB表示ab强调 : 差向量“箭头”指向被减数2)用“相反向量”定义法作差向量,ab = a +(-b) 显然 , 此法作图较繁 , 但最后作图可统一abc a b =

5、a + ( b) a b3、实数与向量的积: (1) 定义 : 实数与向量a的积就是一个向量, 记作a, 规定 :|a|=|a| 、当0 时,a的方向与a的方向相同 ; 当0 时,a的方向与a的方向相反 ; 当=0 时,a=0、(2) 运算律 :(a)=()a, (+)a=a+a, (a+b)=a+b、特别提醒 : 1)向量的加、减及其与实数的积的结果仍就是向量。2)重要定理 : 向量共线定理:向量b与非零向量a共线的充要条件就是有且仅有一个实数, 使得b=a, 即bab=a(a0) 、向量重 难 点 突 破 1、重点 : 理解向量及与向量相关的概念, 掌握向量的几何表示, 掌握向量的加法与减

6、法, 会正确运用三角形法则、平行四边形法则. 2、难点 : 掌握向量加法的交换律、结合律, 并会用它们进行向量化简与计算. 3、重难点 :、问题 1: 相等向量与平行向量的区别答案 : 向量平行就是向量相等的必要条件。问题 2:向量平行 ( 共线 ) 与直线平行 (共线 ) 有区别答案 : 直线平行不包括共线(即重合 ), 而向量平行则包括共线( 重合 ) 的情况。问题 3:对于两个向量平行的充要条件: aba=b,只有b0 才就是正确的、而当b=0时,ab就是a=b的必要不充分条件、问题 4;向量与有向线段的区别: (1) 向量就是自由向量, 只有大小与方向两个要素; 与起点无关 : 只要大

7、小与方向相同, 则这两个向量就就是相同的向量; (2) 有向线段有起点、大小与方向三个要素,起点不同 , 尽管大小与方向相同, 也就是不同的有向线段精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 平面向量知识点与考点精( 经典 ) 【新题导练】题型 1、 概念判析 例 1判断下列各命题就是否正确(1) 零向量没有方向 (2)若baba则,(3) 单位向量都相等 (4) 向量就就是有向线段(5) 两相等向量若共起点, 则终点也相同 (6)若ba,

8、cb, 则ca; (7) 若barr/,cb /, 则ca /(8) 若 四 边 形ABCD 就 是 平 行 四 边 形 , 则DABCCDB,A(9) ba的充要条件就是|ba且ba /; 解题思路 :正确理解向量的有关概念, 以概念为判断依据, 或通过举反例说明。解析 :解:(1) 不正确 , 零向量方向任意, (2) 不正确 , 说明模相等 , 还有方向 (3) 不正确 , 单位向量的模为1, 方向很多 (4) 不正确 , 有向线段就是向量的一种表示形式 (5)正确 , (6)正确 , 向量相等有传递性 (7)不正确 , 因若0b, 则不共线的向量ca,也有0/a,c/0。 (8) 不正

9、确 , 如图DABCCDB,A (9)不正确 , 当ba /, 且方向相反时, 即使|ba, 也不能得到ba; 【名师指引】对于有关向量基本概念的考查, 可以从概念的特征入手, 也可以从通过举出反例而排除或否定相关命题。考点一 : 向量及与向量相关的基本概念1、 【2012 高考浙江文7】设 a,b 就是两个非零向量。A、若 |a+b|=|a|-|b|,则 ab B、若 ab, 则|a+b|=|a|-|b| C、若 |a+b|=|a|-|b|,则存在实数 ,使得 b=a D、若存在实数, 使得 b=a, 则|a+b|=|a|-|b| 【答案】 C 【命题意图】本题考查的就是平面向量, 主要考查

10、向量加法运算, 向量的共线含义, 向量的垂直关系。【解析】利用排除法可得选项C 就是正确的 ,| ab| | a| | b|, 则 a,b 共线 ,即存在实数 ,使得 a b.如选项 A:|ab| | a| | b| 时,a,b 可为异向的共线向量;选项 B:若 ab,由正方形得 | ab| a| | b| 不成立 ;选项 D:若存在实数 ,使得 a b,a,b 可为同向的共线向量,此时显然 | ab| | a| | b| 不成立 .2、 【2012 高考四川文7】设ar、br都就是非零向量,下列四个条件中,使|ababrrrr成立的充分条件就是( ) A、| |abrr且/abrrB、abr

11、rC、/abrrD、2abrr精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 平面向量知识点与考点精( 经典 ) 【答案】解析 若使|ababrrrr成立,则方向相同，与ba选项中只有D 能保证 ,故选 D、点评 本题考查的就是向量相等条件模相等且方向相同、学习向量知识时需注意易考易错零向量,其模为 0 且方向任意、考点二 : 向量的加、减法【指引】掌握向量加减的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识. 在求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理

12、 , 必要时也可化减为加, 减低出错律 . 题型 2: 结合图型考查向量加、减法3、 (2009) 在ABC所在的平面上有一点P, 满足PAPBPCABu uu ruu u ruu u ruuu r, 则PBC与ABC的面积之比就是( ) A.13B.12C.23D.34 解题思路 :本题中的已知向量都集中体现在三角形中. 为此 , 可充分利用向量加减法的三角形法则实施求解. 【解析】由PAPBPCABuu u ruu u ruuu ruuu r, 得PAPBBAPC0uu u ruu u ruu u ru uu r, 即2PCAPuuu ruu u r, 所以点P就是CA边上的第二个三等分点

13、, 如图所示、故23PBCABCSBC PCSBC AC. 【名师指引】三角形中两边对应向量已知, 可求第三边所对应的向量. 值得注意的就是, 向量的方向不能搞错.当向量运算转化成代数式运算时, 其运算过程可仿照多项式的加减运算进行. 4. 如图 , 在 ABC中,D、E为边 AB的两个三等分点,CA =3a,CB =2b, 求CD ,CE . 解析 : AB =AC +CB = 3a+2b, 因 D、E为AB的两个三等分点, 故AD =31AB = a32b =DE , CD =CAAD =3aa32b =2a32b, CE =CDDE =2a32ba32b=a34b. 考点三 : 向量数乘

14、运算及其几何意义题型 1: 三点共线问题 例 4设21,ee就是不共线的向量, 已知向量2121212,3,2eeCDeeCBekeAB, 若 A,B,D 三点共线 , 求 k 的值 解题思路 :证明存在实数, 使得BDABA B C D E 5-1-2 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 平面向量知识点与考点精( 经典 ) 解析 :214eeCBCDBD, 使BDAB)4(22121eeeke得84,2kk【指引】1、逆向应用向量

15、加法运算法则, 使得本题的这种证法比其她证法更简便, 值得一提的就是, 一个向量拆成两个向量的与 , 一定要强化目标意识. 2、这就是一个重要结论, 要牢记。题型 2: 用向量法解决几何问题基础巩固训练1、 判断下列命题就是否正确,并说明理由 : (1) 共线向量一定在同一条直线上。( ) (2) 所有的单位向量都相等。( ) (3) 向量ba 与共线 ,cb 与共线 , 则ca与共线。( ) (4) 向量ba 与共线 , 则b/a( ) (5) 向量CD/AB, 则CD/AB。( ) (6) 平行四边形两对边所在的向量一定就是相等向量。 ( ) 2、 在四边形ABCD 中 , “AB2DC”

16、就是“四边形ABCD 为梯形”的A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件3. 已知向量12112b,a,0lllRl, 若向量ba和共线 , 则下列关系一定成立的就是( ) A、0 B、02l C、12 / llrr D、02l或04.D 、E、F 分别就是 ABC的 BC 、CA 、AB上的中点 , 且aBC, bCA, 给出下列命题 , 其中正确命题的个数就是 ( ) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 18 页 - - - - - - - -

17、- - 平面向量知识点与考点精( 经典 ) A B C D baAD21baBE21baCF21210CFBEADA、1 B、2 C、3 D、4 5. 已知 :2121212CD,BC),(3eeeeeeAB, 则下列关系一定成立的就是( ) A、A,B,C 三点共线 B、 A,B,D 三点共线C、C,A,D 三点共线 D、 B,C,D 三点共线6. 若| |OAOBOAOBuuu ruuu ruuu ruuu r则向量,OAOBuuu ruuu r的关系就是 ( ) A.平行B.重合 C. 垂直 D.不确定综合拔高训练7. 如图 , 已知,3ABa ACb BDDCuu u rr uu u

18、rr u uu ruuu r,用,a br r表示ADuuu r, 则ADuuu r( ) A.34abrrB.1344abrr C.1144abrrD.3144abrr答案 :B 解析 :33()44ADABBDABBCABACABuuu ruuu ruu u ruuu ruuu ru uu ruu u ruu u r1344abrr8. 已知a+b=213ee,a-b=212ee, 用1e、2e表示a= 。答案 :2121ee9. 已知212213) 12(,)1(eetbeketa, 且ba /, 试求 t 关于 k 的函数。答案 : 22211kkt10. 如图 , 在 OAB 中,O

19、AOC41,OBOD21,AD 与 BC交于 M点,设aOA,bOB,(1)试用a与b表示向量OM(2) 在线段 AC上取一点E,线段 BD上取一点 F, 使 EF过 M点, 设OAOE,OBOF。求证 :17371。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 平面向量知识点与考点精( 经典 ) 第 2 讲 平面向量的基本定理与坐标表示 知 识 梳理 1. 平面向量基本定理: 如果1e,2e就是同一平面内的两个_不共线 _不共线向量, 那么

20、对于这一平面内的 _任一 _向量a, 有且只有 _一对实数1, 2使a=11e+22e特别提醒 : (1) 我们把不共线向量1eu r、2eu u r叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2) 基底不惟一 , 关键就是不共线; (3) 由定理可将任一向量ar在给出基底1eu r、2eu u r的条件下进行分解; (4) 基底给定时 , 分解形式惟一1,2就是被a,1e,2e唯一确定的数量2. 平面向量的坐标表示如图 , 在直角坐标系内, 我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个_单位向量 _ ir、jr作为基底 任作一个向量ar, 由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y, 使得axiyj

21、r1, 我们把),(yx叫做向量ar的( 直角 ) 坐标 , 记作( ,)ax yr2其中x叫做ar在x轴上的坐标 ,y叫做ar在y轴上的坐标 , 2式叫做向量的坐标表示与ar相等的向量的坐标也为),(yx特别地 ,(1,0)ir,(0,1)jr,0(0,0)r特别提醒 :设yjxiOA, 则向量OA的坐标),(yx就就是点A的坐标 ; 反过来 , 点A的坐标),(yx也就就是向量OA的坐标 因此, 在平面直角坐标系内, 每一个平面向量都就是可以用一对实数唯一表示3.平面向量的坐标运算(1) 若11(,)ax yr,22(,)bxyr, 则abrr=1212(,)xxyy, abrr= 121

22、2(,)xxyy两个向量与与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的与与差(2) 若),(11yxA,),(22yxB,则ABuuu r2121,xx yy一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标(3) 若( , )ax yr与实数, 则ar(,)xy实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 平面向量知识点与考点精( 经典 ) 4. 向量平行的充要条件的坐标表示: 设

23、a=(x1, y1) ,b=(x2, y2) 其中baab (b0) 的充要条件就是12210 x yx y 重 难 点 突 破 1、重点 : (1) 了解平面向量基本定理及其意义, 了解基底与两个非零向量夹角的概念, 会进行向量的分解及正交分解 ; (2) 理解平面向量的坐标的概念, 掌握平面向量的坐标运算, 会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算 ; 2、难点 : 用坐标表示的平面向量共线的条件, 能用向量的坐标形式判断两向量以及三点就是否共线、3、重难点 : (1) 平行的情况有方向相同与方向相反两种问题 1: 与ar= (3, 4)平行的单位向量就是_; 错解 : 因为ar的模等于 5

24、, 所以与ar平行的单位向量就就是51ar, 即 (35 , 45 ) 错因 : 在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。正解 : 因为ar的模等于 5, 所以与ar平行的单位向量就是51ar, 即 (35 , 45 ) 或(35 ,45 ) 热 点 考 点 题 型 探 析考点一 : 平面向量的坐标表示与运算1、 【2012 高考广东文3】若向量(1,2)ABu uu r,(3,4)BCuuu r,则ACuuu rA、(4,6)B、( 4,6)C、( 2, 2)D、(2, 2)【答案】 A 【解析】选A(4,6)ACABBCuu u ruu u ruu u r精品资料 - - - 欢迎下载

25、- - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 平面向量知识点与考点精( 经典 ) 第 3 讲平面向量的数量积 知 识 梳理 1. 两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b, 作OAa,OBb, 则_AB( ) 叫a与b的夹角、特别提醒 :向量a与向量b要共起点 。2. 平面向量数量积( 内积 ) 的定义 : 已知两个非零向量a与b, 它们的夹角就是, 则数量 |a|b|cos_叫a与b的数量积 , 记作ab, 即有ab = |a|b|cos特别提醒 : （1）( ) 、并规

26、定0与任何向量的数量积为0（2）两个向量的数量积的性质: 设a、b为两个非零向量,e就是与b同向的单位向量1)e a = a e =|a|cos; 2)abab = 0 3)当a与b同向时 ,ab = |a|b|; 当a与b反向时 ,ab = |a|b|特别的a a = |a|2或aaa |4)cos =|baba ; 5)|ab| |a|b| 3. “投影”的概念:如图定义 : _|b|cos_叫做向量b在a方向上的投影特别提醒 : 投影也就是一个数量, 不就是向量 ; 当 为锐角时投影为正值; 当 为钝角时投影为负值; 当 为直角时投影为 0; 当 = 0时投影为 |b|; 当 = 180

27、时投影为|b|4. 平面向量数量积的运算律交换律 : ab = ba数乘结合律 : (a)b =(ab) = a(b) 分配律 : (a + b)c = a c + bc精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 平面向量知识点与考点精( 经典 ) 5. 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11yxa,),(22yxb, 设i就是x轴上的单位向量,j就是y轴上的单位向量,那么ar11x iy jvv, br22x iy jrr

28、所以ba1212x xy y6、平面内两点间的距离公式如果表示向量a的有向线段的起点与终点的坐标分别为),(11yx、),(22yx, 那么 :221221)()(|yyxxa7、向量垂直的判定: 设),(11yxa,),(22yxb, 则ba02121yyxx8、两向量夹角的余弦(0) cos = |baba222221212121yxyxyyxx 重 难 点 突 破 1、重点 : 掌握平面向量数量积运算规律; 能利用数量积的5 个重要性质及数量积运算规律解决有关问题; 2、难点 : 掌握两个向量共线、垂直的几何判断, 会证明两向量垂直, 以及能解决一些简单问题3、重难点 :、(1) 向量数

29、量积与向量加、减、数乘运算的区别问题 1: 两个向量的数量积就是一个实数,向量加、减、数乘运算的运算结果就是向量。例: 规定 ,a0=0a=0(不就是零向量0, 注意与0=0( R)区别 ) (2) 向量数量积与实数相关概念的区别问题 2: 表示方法的区别数量积的记号就是ba, 不能写成ba, 也不能写成ba( 所以有时把数量积称为“点乘”, 记号ba另外有定义 , 称为“叉乘” ). 问题 3: 相关概念及运算的区别 若 a、b 为实数 , 且 ab=0, 则有 a=0 或 b=0, 但ab=0 却不能得出a=0或b=0. 因为只要ab就有ab=0, 而不必a=0或b=0. 若 a、 b、

30、cR,且 a0, 则由 ab=ac 可得 b=c, 但由ab=ac及a0 却不能推出b=c. 因若a、b夹角为1,a、c夹角为2, 则由ab=ac得 |a| |b|cos 1=|a| |c|cos 2及|a| 0, 只能得到|b|cos 1=|c|cos 2, 即b、c在a方向上投影相等, 而不能得出b=c( 见图 ). 若 a、b、 cR,则 a(bc)=(ab)c(结合律 ) 成立 , 但对于向量a、b、c, 则(ab) c与a(bc)都就是无意义的, 这就是因为ab与bc就是数量 , 已不再就是向量了, 而数量与向量就是没有点乘定12bca精品资料 - - - 欢迎下载 - - - -

31、- - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 平面向量知识点与考点精( 经典 ) 义的 . 同时 ,(ab)ca(bc), 这就是因为数量ab与向量c相乘就是与c共线的向量, 而数量bc与向量a相乘则就是与a共线的向量 , 所以一般二者就是不等的. 这就就是说, 向量的数量积就是不满足结合律的 . 若 a、bR,则|a b|=|a| |b|, 但对于向量a、b, 却有 |ab| |a| |b|, 等号当且仅当ab时成立 . 这就是因为 |ab|=|a| |b| |cos | 而|cos

32、| 1. 热 点 考 点 题 型 探 析考点一 : 平面向量数量积的运算【名师指引】0baba就是一个常用的结论。例 1、 【2012 高考全国文9】ABC中 ,AB边的高为CD,若CBauu u rr,CAbuu u rr,0a br r,| 1ar,| 2br,则ADu uu r(A)1133abrr(B)2233abrr(C)3355abrr(D)4455abrr【答案】 D 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 平面向量知识

33、点与考点精( 经典 ) 考点二利用数量积处理夹角的范围题型 1: 求夹角及其范围例 2【2012 高考湖北文13】已知向量a=(1,0),b=(1,1),则()与 2a+b 同向的单位向量的坐标表示为_; ( )向量 b-3a 与向量 a 夹角的余弦值为_。【答案】 ( )3 1010,1010;( )2 55【解析】( ) 由1,0 ,1,1a =b =, 得23,1ab =、设与2ab同向的单位向量为, x yc =, 则221,30,xyyx且,0 x y,解得3 10,1010.10 xy故3 1010,1010c =、即与2ab同向的单位向量的坐标为3 1010,1010、( ) 由

34、1,0 ,1,1a =b =, 得32,1ba =、 设 向 量3ba与 向 量a的 夹 角 为, 则32,11,02 5cos355 1ggba aba a、【点评】本题考查单位向量的概念, 平面向量的坐标运算, 向量的数量积等、与某向量同向的单位向量一般只有 1 个,但与某向量共线的单位向量一般有2 个,它包含同向与反向两种、不要把两个概念弄混淆了、今年需注意平面向量基本定理,基本概念以及创新性问题的考查、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 18 页 - - - - - -

35、- - - - 平面向量知识点与考点精( 经典 ) 第 4 讲 平面向量的应用 知 识 梳理 1 利用向量处理几何问题的步骤为: （1）建立平面直角坐标系; （2）设点的坐标 ; （3）求出有关向量的坐标; （4）利用向量的运算计算结果; （5）得到结论、2、平面向量在物理中的应用如图 5-4-3 所示, 一物体在力F的作用下产生位移S, （6）那么力 F 所做的功 : W= |F| |S| cos、3 重要不等式 :|a ba ba brrr rrrg特别提醒 : 常用于求参数的范围 重 难 点 突 破 1、重点 : 会用向量方法解决简单的力学问题与其她一些实际问题, 如确定力或速度的大小以

36、及方向、2、难点 : 加强数学应用意识, 提高分析问题 , 解决问题的能力3、重难点 :、1 熟悉向量的性质及运算律;2 能根据向量性质特点构造向量; 3 熟练平面几何性质在解题中应用;4 熟练向量求解的坐标化思路5 认识事物之间的内在联系;6 认识向量的工具性作用, 加强数学在实际生活中的应用意识 热 点 考 点 题 型 探 析考点一 : 平面向量在平面几何题型 1、 用向量证明几何题 例 1 已知: 如图所示 ,ABCD就是菱形 ,AC与BD就是它的两条对角线求证ACBD 解题思路 :对于线段的垂直, 可以联想到两个向量垂直的充要条件, 而对于这一条件的应用 , 可以考虑向量式的形式, 也

37、可以考虑坐标形式的充要条件解析 :证法一 :ACABAD,BDADAB,ACBD(ABAD) (ADAB) AD2AB2OACBD证法二 : 以OC所在直线为x轴, 以B为原点建立直角坐标系, 设B(O,O),A(a,b),C(c,O) 则由ABBC得a2b2c2ACBCBA(c,O) (a,b) (ca, b),S F 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 平面向量知识点与考点精( 经典 ) BDBABC(a,b) (c,O) (

38、ca,b)ACBDc2a2b2O ACBD即ACBD【名师指引】如能熟练应用向量的坐标表示及运算, 则将给解题带来一定的方便通过向量的坐标表示, 可以把几何问题的证明转化成代数式的运算, 体现了向量的数与形的桥梁作用。【新题导练】1.证明 :三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍、 解析 设AC= b,CB= a, 则AD=AC+CD= b+21a, CBECEB=21b+aA, G, D共线 ,B, G, E共线可设AG=AD,EG= EB, 则AG=AD=(b+21 a)=b+21a, EG= EB= (21b+ a)=21b+a, AGEGAE即:21b + (21b+a)

39、=b+21a(21) a + (21 +21)b= 0 a, b不平行 , 21023211130223AGADuu u ruu u r2.已知)0, 1(),0,4(NM, 若动点( , )P x y满足6|MN MPNPuuu u r uu uruuu r, 求动点P的轨迹方程、 解析 ),1 (),0, 3(),4(yxPNMNyxMP由已知得22)()1(6)4( 3yxx, 化简得134,12432222yxyx即, 这就就是动点P的轨迹方程、考点二 : 平面向量与三角函数、函数等知识的综合应有用题型 1: 与函数综合题例 3【2012 高考陕西文7】设向量ar=(1、cos)与br

40、=(-1, 2cos)垂直 ,则cos2等于( ) A22B12C 、0 D、-1 【答案】 C、A B C E F D G 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 平面向量知识点与考点精( 经典 ) 【解析】向量ar与br垂直 ,0a br r,即11cos2cos0,22cos1. 2cos22cos10.故选 C. 考点三 : 平面向量在物理中的应用题型 1: 用向量解决物理问题 例 4设炮弹被以初速v0与仰角抛出 ( 空气阻力

41、忽略不计) 、当初速度v0的大小一定时, 发射角多大时 , 炮弹飞行的距离最远、 解题思路 :上述问题中涉及速度等物理量, 可根据平面向量的基本定理与物理问题的需要, 把v0分解为水平方向与竖直方向两个不共线的向量, 再利用运动学知识建立数学模型, 最后利用向量的知识求解、解析 : 将v0分解为水平方向与竖直方向两个分速度v1与v2, 则| v1|=| v0|cos, | v2|=| v0|sin , 由物理学知识可知, 炮弹在水平方向飞行的距离S =| v1| t=| v0|cost(t就是飞行时间 )炮弹在垂直方向的位移就是0=| v2| t-21gt2(g就是重力加速度 ) 由得t=gv

42、sin|02, 代入得S=gvgv222020sincossin|由于 | v0| 一定 , 所以当=45时 ,S有最大值、故发射角=45时 , 炮弹飞行的距离最远、 例 5某人骑车以每小时a公里的速度向东行驶, 感到风从正东方向吹来, 而当速度为2a时, 感到风从东北方向吹来 , 试求实际风速与方向、 解题思路 :利用向量知识解决物理中有关“速度的合成与分解”解析 : 设a表示此人以每小时a公里的速度向东行驶的向量, 无风时此人感到风速为a,设实际风速为v, 那么此时人感到的风速为va, 设OA= a,OB= 2aPO+OA=PAPA= v a, 这就就是感到由正北方向吹来的风速, PO+O

43、B=PBPB= v 2a, 于就是当此人的速度就是原来的2 倍时所感受到由东北方向吹来的风速就就是PB, 由题意 :PBO = 45, PA BO, BA = AO从而, POB为等腰直角三角形 , PO = PB =2 a即:|v | =2 a实际风速就是2 a的西北风【名师指引】加强数学应用意识,提高分析问题 , 解决问题的能力P B A O v v 2a 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 平面向量知识点与考点精( 经典 )

44、 第八章综合运用用解题思路1、 【2102 高考福建文3】已知向量 a=(x-1,2),b=(2,1),则 ab 的充要条件就是A、x=-12B、x-1 C、x=5 D、x=0 【答案】 D 考点 :平面向量的垂直。难度 :易。分析 :本题考查的知识点为平面向量的垂直,若非零向量),(11yxa,),(22yxb, 则002121yyxxbaba。解答 :非零向量0baba。002)1(2xx、 【2012 高考北京理13】已知正方形ABCD 的边长为1,点 E 就是AB 边上的动点,则CBDE的值为_,DCDE的最大值为 _。【答案】 1,1 【解析】 1、DAAEDADADAAEDACBD

45、E)(2|DA+01 ABAEABAEABAEABDAABAEDADCDE0)(当ABAE时有最大值1 2 根据平面向量的数量积公式DADECBDEcos|DADE,由图可知 ,|cos|DADE,因此1|2DACBDE,cos|DCDEDCDEcos| DE,而cos|DE就就是向量DE在DC边上的射影,要想让DCDE最大 ,即让射影最大 ,此时 E点与 B 点重合 ,射影为DC,所以长度为1. 17、 【2012 高考安徽理14】若平面向量,a br r满足 :23abrr,则a br rg的最小值就是_。【答案】98【命题立意】本题考查平面向量的模与数量积的运算。精品资料 - - - 欢

46、迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 平面向量知识点与考点精( 经典 ) 【解析】22222349494449448ababa baba ba ba ba ba brrrrr rgrrr rr rr rr rr rgggg练习 : 1、 【2012 高考江苏 9】(5 分) 如图 , 在矩形ABCD中,22ABBC，点E为BC的中点 , 点F在边CD上, 若2ABAFuuu ruuu rg, 则AEBFuuu ruuu rg的值就是 . 2、 【2012

47、高考天津文科8】在 ABC 中,A=90,AB=1,设点 P ,Q 满足APr=ABr,AQr=(1-)ACr,R。若BQr? CPr=-2,则= (A)13(B)23C)43(D)2 3、 【2012 高考湖南文15】如图 4,在平行四边形ABCD中 ,APBD,垂足为P,3AP且AP ACu uu v uuu vg= 、4、 【2012 高考上海文12】在矩形ABCD中,边AB、AD的长分别为2、1,若M、N分别就是边BC、CD上的点 ,且满足BMCNBCCDuu uu ruu u ru uu ruuu r,则AMANuuuu r uuu r的取值范围就是精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 18 页 - - - - - - - - - -