2022年平面直角坐标系与轴对称变换专题.pdf

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1、第三讲平面直角坐标系与轴对称变换专题第一节：直角坐标系与轴对称变换知识点回顾知识点一：轴对称、轴对称图形1、轴对称图形： 如果一个图形沿某条直线对折，对折的两部分是重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形。这条直线称为对称轴，对称轴一定为直线。2、轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形成轴对称，两个图形中的对应点叫对称点。知识点二：轴对称图形的性质1、轴对称图形的对应线段相等，对应角相等，对应点的连线被对称轴垂直平分。轴对称的两个图形，对应线段或延长线相交，交点在对称轴上。2、轴对称图形变换的特征是不改变图形的大小和 形状，只改变图形的位置，新旧图形具

2、有对称性。例 2： （2009 湖北荆门）如图，RtABC中，ACB=90，A=50，将其折叠，使点A落在边CB上A处，折痕为CD，则ADB =（）A40 B30 C20 D10解析：有关折叠问题是中考常考的题型，必须要辨别清楚折叠前后图形和数量关系。本题中， 将A折叠，出现了轴对称，CA D=A，因为A=50，所以CA D=50。在 RtABC中，ACB=90，B=90- A=40。CA D是 AB D的一个外角，等于A DB与B之和，所以ADB=ADB - B=50- 40=10。应选择D。2. （2009 湖南郴州）点(35)p， -关于x轴对称的点的坐标为（）A(3,5)- B(5,3

3、) C(3,5)- D(3,5)【答案】 D知识点三：中心对称、中心对称图形1、中心对称图形：一个图形绕着某点旋转一定角度后能与自身重合，这种图形叫中心对称图形，该点叫作旋转中心。2、中心对称： 把一个图形绕着某一点旋转一定角度后，如果它能与另一个图形ABDAC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 重合，那么，这两个图形成中心对称，该点叫作对称中心。知识点四：中心对称图形的性质在中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都经过对称中心且被对

4、称中心平分。1 、 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 中有 一 矩 形ABCD,其 中(0,0),B(8,0),C(0,4,) 若将ABC沿 AC所在直线翻折 , 点 B落在点E处, 则 E点的坐标是 _.2、如图，将正六边形放在直角坐标系中中心与坐标原点重合，若A点的坐标为（ -1,0) ，则点 C的坐标为 _.3、已知： 如图，O为坐标原点， 四边形 OABC 为矩形， A(10，0) ，C(0，4)，点 D是 OA的中点，点 P在 BC上运动，当 ODP是腰长为5 的等腰三角形时，则P点的坐标为4. 对任意实数x，点2(2 )P xxx，一定不在（）A第一象限B 第二象限C 第

5、三象限D第四象限（1）当 0 x2 时，x0，x2-2x=x* （x-2 ） 0，故点 P在第四象限；（2）当 x2 时， x0，x2-2x=x* （x-2 ）0，故点 P在第一象限；（3）当 x0 时， x2-2x 0，点 P在第二象限故对任意实数x，点 P可能在第一、二、四象限，一定不在第三象限，故选C5 如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE ，其中 C、D两点坐标分别为(1,0)、(2,0) 若在没有滑 动的情况下，将此正五边形沿着x 轴向右滚动，则滚动过程中，下列会经过(75 , 0)的点是（）A A B B C C D DC、 D两点坐标分别为（1，0）、（ 2，0）按题中滚动方法

6、点E经过点（ 3，0），点 A经过点（ 4， 0），点 B经过点（ 5，0），点（ 75，0）的横坐标是5 的倍数，而该正五边形滚动5 次正好一周，ABCDEy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 可知经过（ 5，0）的点经过（ 75，0），点 B经过点（ 75，0）故选B6、当 b=_时, 点 B(3,|b-1|)在第一 . 三象限角平分线上.点在角平分线上的特点：一、三象限的角平分线上的点：横纵坐标相等；二、四象限的角平分线上的点：

7、横纵坐标互为相反数7. （2013 浙江杭州）如图，在ABC中, CAB 70。. 在同一平面内, 将 ABC绕点 A旋转到AB C的位置, 使得AB30.B. 35.C. 40.D. 50.8、如图，已经四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点 E处，连接 DE ，若DE:AC=3:5, 求 AD/AB的值第二节：最短路径问题 (1) 求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CACB最短，这时点C是直线l与AB的交点(2) 求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小

8、的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CACB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B，则点C是直线l与AB的交点精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C，连接AC，BC，BC，证明ACCBACCB. 如下：证明：由作图可知，点B和B关于直线l对称，所以直线l是线段

9、BB的垂直平分线因为点C与C在直线l上，所以BCBC，BCBC.在ABC中，ABACBC，所以ACBCACBC，所以ACBCACCB.【例 1】 在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小分析： 先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即 为所求的点解： 如图所示： (1) 作点B关于直线l的对称点B；(2) 连接AB交直线l于点M.(3) 则点M即为所求的点点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.2. 运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和

10、转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问3利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推

11、理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题【例 2】 如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - -

12、 (1) 若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2) 若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？分析： (1) 到A，B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点(2) 要使厂部到A村、B村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A(或B)点关于EF的对称点，连接对称点与B点，与EF的交点即为所求解： (1) 如图 1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A，B的距离相等也可分别以A、B为圆心，以大于12AB为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，

13、与EF的交点P即为所求(2) 如图 2，画出点A关于河岸EF的对称点A，连接AB交EF于P，则P到A，B的距离和最短【例 3】 如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行 ) ，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？思路导引：从A到B要走的路线是AMNB，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AMBN最短即可此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC，从C到B应是余下的路程，连接BC的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即为所建的桥解： (1) 如图 2，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽(2 )连接BC与河岸的一边交于点N

14、.(3) 过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.则MN为所建的桥的位置4生活中的距离最短问题由两点之间线段最短( 或三角形两边之和大于第三边) 可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AOBOAC的长所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法【例 4】 ( 实际应用题 ) 茅坪民族中学八(2) 班举行文艺晚会，桌子摆成如图a 所示两直排 ( 图中的AO，BO) ，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然

15、后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 图 a 图 b解： 如图 b.(1) 作C点关于OA的 对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，(2) 连接C1D1，分别交OA，OB于P，Q，那么小明沿CPQD的路线行走，所走的总路程最短5. 运用轴对称解决距离之差最大问题利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另

16、一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法【例 5】 如图所示，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大分析： 此题的突破点是作点A( 或B) 关于直线l的对称点A(或B)，作直线AB(AB)与直线l交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决解： 如图所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A，AB的连线交l于点C，则点C即为所求理由：在直线l上任找一点C(异于点C)，连接CA，CA，

17、CA，CB.因为点A，A关于直线l对称，所以l为线段AA的垂直平分线，则有CACA，所以CACBCACBAB. 又因为点C在l上，所以CACA. 在ABC中，CACBCACBAB，所以CACBCACB.点拨：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法不等式补充：1.对于整数a，b，c，d， 定义bdaccdba， 已知3411db， 则bd的值为 _2.若m、n为有理数，解关于x的不等式 ( m21)xn精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 3.已知A2x2 3x2，B2x24x5，试比较A与B的大小4.|21| |3|xx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -