2022年平面解析几何高考复习知识点.pdf

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1、学习资料收集于网络，仅供参考学习资料平面解析几何高考复习知识点一、直线的倾斜角、斜率1、直线的倾斜角：（1）定义 ：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，如果把x轴绕着交点按逆时针方向转 到和 直线l重合 时所转的 最小正角 记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线l与x轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围, 0。2、直线的斜率（1）定义 ：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即ktan(90) ；倾斜角为90的直线没有斜率；（2）斜率公式 ：经过两点111(,)P xy、222(,)P xy的直线的斜率为212121xxxxyyk；（3）直线的方向

2、向量(1, )ak ，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用 ：证明三点共线：ABBCkk。例题：例 1已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；思路点拨： 已知角的范围，通过正切函数的图像，可以求得斜率的范围，反之，已知斜率的范围，通过正切函数的图像，可以求得角的范围解析：，总结升华：在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，可利用在和上是增函数分别求解.当时，；当时，；当时，；当不存在时，.反之，亦成立. 类型二：斜率定义例 2已知 ABC 为正三角形，顶点A 在 x 轴上， A 在边 BC 的右侧，BAC 的平分线在x 轴上，求

3、边AB 与 AC 所在直线的斜率. 思路点拨：本题关键点是求出边AB 与 AC 所在直线的倾斜角， 利用斜率的定义求出斜率. 解析：如右图，由题意知BAO= OAC=30 直线 AB 的倾斜角为180-30=150，直线AC 的倾斜角为30，kAB=tan150=kAC=tan30=精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料总结升华：在做题的过程中， 要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件直线向上方向轴正向

4、小于的角，只有这样才能正确的求出倾斜角. 类型三：斜率公式的应用例 3 求经过点，直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角思路点拨：已知两点坐标求斜率，直接利用斜率公式即可. 解析：且，经过两点的直线的斜率，即即当时，为锐角，当时，为钝角例 4、过两点，的直线的倾斜角为，求的值【答案】由题意得：直线的斜率，故由斜率公式，解得或经检验不适合，舍去.故例 5已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a 的值思路点拨：如果过点 AB ，BC 的斜率相等，那么A，B，C 三点共线 . 解析：A、B、C 三点在一条直线上，kAB=kAC即二、直线方程的几种形式1、点斜式 ：已

5、知直线过点00(,)xy斜率为k，则直线方程为00()yyk xx,它不包括垂直于x轴的直线。2、斜截式 ：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k，则直线方程为ykxb,它不包括垂直于x轴的直线。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料3 、 两 点 式 ： 已 知 直 线 经 过111(,)P xy、222(,)P xy两 点 ， 则 直 线 方 程 为121121xxxxyyyy，它不包括垂直于坐标轴

6、的直线。4、截距式 ：已知直线在x轴和y轴上的截距为,a b,则直线方程为1byax，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。5、一般式 ：任何直线均可写成0AxByC(A,B 不同时为0)的形式。提醒 ：(1) 直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？） ；(2) 直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为 -1 或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1 或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点。如过点(1,4)A，且纵横截距的绝对值相等的直线共有_条（答： 3）注：设直线方程的一些常用技巧：（1

7、）知直线纵截距b，常设其方程为ykxb；（2）知直线横截距0 x，常设其方程为0 xmyx(它不适用于斜率为0 的直线 )；（3）知直线过点00(,)xy，当斜率k存在时，常设其方程为00()yk xxy，当斜率k不存在时，则其方程为0 xx；（4）与直线:0lAxByC平行的直线可表示为10AxByC；（5）与直线:0lAxByC垂直的直线可表示为10BxAyC. 提醒 ：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。三、两直线之间的位置关系1、距离公式（1）平面上的两点间的距离。特别地，原点O（0，0）与任意一点的P(x,y)的距离（2）点00(,)P xy到直线0A

8、xByC的距离0022AxByCdAB；（3）两平行线1122:0,:0lAxByClAxByC间的距离为1222CCdAB。2、直线1111:0lA xB yC与直线2222:0lA xB yC的位置关系 ：（1）平行12210A BA B（斜率）且12210B CB C（在y轴上截距）；（2）相交12210A BA B；（3）重合12210A BA B且12210B CB C；（4）垂直12120A AB B提醒 ：（1）111222ABCABC、1122ABAB、111222ABCABC仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可

9、能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；3、两直线夹角公式（ 1）1l到2l的角是指直线1l绕着交点按逆时针方向转到和直线2l重合所转的角，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料,0且 tan=21121kkkk(121k k)；（ 2）1l与2l的 夹 角 是 指 不 大 于 直 角 的 角,(0,2且tan= 21121kkkk(121k k)。提醒 ：解析几何中角

10、的问题常用到角公式或向量知识求解。如已知点M是直线240 xy与x轴的交点，把直线l绕点M 逆时针方向旋转45，得到的直线方程是_（答：360 xy）例题：例 1、两条直线myxml352)3(1：，16)5(42ymxl ：，求分别满足下列条件的m的值(1) 1l与2l相交；(2) 1l与2l平行；(3) 1l与2l重合；(4) 1l与2l垂直；(5) 1l与2l夹角为45解： 由mm5243得0782mm，解得11m，72m由163543mm得1m(1)当1m且7m时，2121bbaa，1l与2l相交；(2)当7m时，212121ccbbaa21/ ll；(3)当1m时，212121ccb

11、baa，1l与2l重合；(4)当02121bbaa，即0)5(24)3(mm，311m时，21ll；(5) 231mk，mk542由条件有145tan11212kkkk将1k，2k代入上式并化简得029142mm，527m；01522mm，35或m当527m或-5 或 3 时1l与2l夹角为45例 2 当 a 为何值时，直线01)1()2(1yaxal ：与直线02)32() 1(2yaxal ：互相垂直？解： 由题意，直线21ll精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 20 页 -

12、- - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料(1)若01a，即1a，此时直线0131xl ：，0252yl ：显然垂直；(2)若032a，即23a时，直线0251yxl ：与直线0452xl ：不垂直；(3)若01a，且032a，则直线1l、2l斜率1k、2k存在，aak121，3212aak当21ll时，121kk，即1)321()12(aaaa，1a. 综上可知，当1a或1a时，直线21ll例 3 已知直线l经过点)1,3(P，且被两平行直线011yxl ：和062yxl ：截得的线段之长为5，求直线l的方程解法一： 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为3x，

13、此时与1l、2l的 交 点 分 别 为)4, 3(A和)9, 3(B， 截 得 的 线 段AB的 长594AB，符合题意，若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为1)3(xky解方程组,01, 1)3(yxxky得114,123kkkkA，解方程组,06, 1)3(yxxky得119,173kkkkB由5AB，得2225119114173123kkkkkkkk解之，得0k，即欲求的直线方程为1y综上可知，所求l的方程为3x或1y解法二： 由题意，直线1l、2l之间的距离为125261d，且直线l被平等直线1l、2l所截得的线段AB的长为 5 （如上图）， 设直线l与直线1l的夹角为， 则2252

14、25s i n，故45由直线011yxl ：的倾斜角为135，知直线l的倾斜角为0或 90，又由直线l过点)1,3(P，故直线l的方程为3x或1y解法三： 设直线l与1l、2l分别相交),(11yxA、),(22yxB，则：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料0111yx，0622yx两式相减，得5)()(2121yyxx又25)()(221221yyxx联立、，可得052121yyxx或5021

15、21yyxx由上可知，直线l的倾斜角分别为0或 90故所求直线方程为3x或1y例 4已知直线082yxl：和两点)0,2(A、)4,2(B(1)在l上求一点P，使PBPA最小；(2)在l上求一点P，使PAPB最大解： (1)如图，设A关于l的对称点为),(nmA则082222, 22nmmn2m，8n)8,2(ABA的的是2x，BA与l的交点是)3,2(，故所求的点为)3,2(P(2)如下图，AB是方程)2()2(2)4(0 xy，即2xy代入l的方程，得直线AB与l的交点)10,12(，故所求的点P为)10,12(精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢

16、迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料四、对称问题代入法（中心对称和轴对称）1、 中心对称(1) 点关于点对称点P（00, yx）关于（ba,）对称的点为（002,2ybxa）；(2) 线关于点对称： （转化为点点对称）在已知直线上任意去两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再有两点式求出直线方程，或者求出一个点，再利用两直线平行（注：线关于点对称的另一条直线和已知直线平行），由点斜式求出直线方程。特别的，直线 x=a 关于点 P （00, yx）的对称直线

17、为axx02； 直线 y=b 关于点 P （00, yx）的对称直线为byy022、 轴对称（1）点关于直线的对称问题：（1）点（00,yx）关于 x 轴对称的点为（00, yx） ；（2）点（00,yx）关于 y 轴对称的点为（00, yx） ；（3）点（00,yx）关于原点对称的点为（00, yx） ；（4）点（00,yx）关于xy对称的点为（00, xy） ；（5）点（00,yx）关于xy对称的点为（00, xy） 。（6）设点 P（00, yx）关于直线y=kx+b 的对称点则有由此求出特别的，点P（00, yx）关于直线x=a 的对称点为；点P（00, yx）关于直线y=b 的对称点

18、为。（2）直线关于直线的对称问题：它的一般解题步骤是：1. 在所求曲线上选一点),(yxM；2. 求出这点关于中心或轴的对称点),(00yxM与),(yxM之间的关系；3. 利用0),(00yxf求出曲线0),(yxg。直线关于直线的对称问题是对称问题中的较难的习题，但它的解法很多，现以一道典型习题为例给出几种常见解法，供大家参考。例题：试求直线01:1yxl关于直线033:2yxl对称的直线l的方程。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - -

19、 - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料解法 1：（动点转移法）在1l上任取点)(,(2lPyxP，设点 P关于2l的对称点为),(yxQ，则534359343103223yxyyxxxxyyyyxx又点 P在1l上运动，所以01yx，所以0153435934yxyx。即017 yx。所以直线l的方程是017yx。解法 2：（到角公式法）解方程组0103301yxyxyx所以直线21,ll的交点为A(1,0) 设所求直线l的方程为)1(xky，即0kykx, 由题意知，1l到2l与2l到l的角相等，则7131313113kkk. 所以直线l的方程是017yx。解法 3：（取特殊点法）解方程组

20、0103301yxyxyx所以直线21,ll的交点为A(1,0) 在1l上取点 P（2，1），设点 P关于2l的对称点的坐标为),(yxQ，则575431210321223yxxyyx而点 A，Q在直线l上，由两点式可求直线l的方程是017yx。解法 4：（两点对称法）对解法 3，在1l上取点 P （2，1），设点 P关于2l的对称点的坐标为)57,54(Q，在1l上取点 M（0，1），设点 P关于2l的对称点的坐标为)51,512(N而 N，Q在直线l上，由两点式可求直线l的方程是017yx。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 -

21、- - - - - - - - -第 8 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料解法 5：（角平分线法）解方程组0103301yxyxyx所以直线21,ll的交点为A(1,0) 设所求直线l的方程为：设所求直线l的方程为)1(xky, 即0kykx. 由题意知，2l为1,ll的角平分线，在2l上取点 P（0，-3），则点 P到1,ll的距离相等，由点到直线距离公式，有：1711|30|2|130|2或kkkk1k时为直线1l，故71k。所以直线l的方程是017yx例题：例 1 ： 已知点 A（ 2，3） ，求关于点P（1，1）的对称点B（

22、00y,x） 。分析：利用点关于点对称的几何特性，直接应用中点坐标公式求解。解：设点 A （ 2，3）关于点 P （1，1）的对称点为B （00y,x） ，则由中点坐标公式得, 12y3, 12x200解得1y,4x00所以点 A关于点 P（1，1）的对称点为B（4， 1） 。评注：利用中点坐标公式求解完之后，要返回去验证，以确保答案的准确性。例 2 ： 求直线04yx3关于点 P （ 2， 1）对称的直线l 的方程。分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线方程为0byx3。解：由直线l 与04yx3平行，故设直线l 方程为0byx3。由已知可得，点P到两条直线距离相等，

23、得.13|b16|13|416|22解得10b，或4b（舍）。则直线 l 的方程为.010yx3评注：充分利用直线关于点对称的特性：对称直线与已知直线平行且点P到两条直线的距离相等。几何图形特性的灵活运用，可为解题寻找一些简捷途径。此题还可在直线04yx3上取两个特殊点，并分别求其关于点P （2， 1）的对称点，这两个对称点的连线即为所求直线。例 3 ：求点 A（2，2）关于直线09y4x2的对称点坐标。利用点关于直线对称的性质求解。解法 1（利用中点转移法） ：设点 A （ 2，2）关于直线09y4x2的对称点为A（00y,x） ，则直线 AA 与已知直线垂直，故可设直线AA 方程为0cy2

24、x4，把 A（2，2）坐标代入，可求得12c。直线 AA 方程为06yx2。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料由方程组06yx2,09y4x2解得 AA 中点 M3,23。由中点坐标公式得322y,2322x00，解得.4y, 1x00所求的对称点坐标为（1，4） 。评注：解题时，有时可先通过求中间量，再利用中间量求解结果。分析： 设 B （a， b） 是 A （2， 2） 关于直线09y4x2

25、的对称点，则直线 AB与 l 垂直，线段 AB中点在直线09y4x2上。解法 2（相关点法） ：设 B（a，b）是 A （2，2）关于直线09y4x2的对称点，根据直线AB与 l 垂直，线段AB中点在直线09y4x2上，则有,0922b422a2, 12a2b21解得.4b, 1a所求对称点的坐标为（1，4） 。评注：中点在09y4x2上；所求点与已知点的连线与09y4x2垂直。例 4 ： 求直线02yx:l1关于直线03yx3:l2对称的直线l 的方程。分析： 设所求直线l 上任一点为P （y,x） ，利用“相关点法” 求其对称点坐标，并将其对称点坐标代入直线1l方程进行求解。解：设所求直线

26、l 上任意一点P（y,x） （2lP）关于2l的对称点为Q （11y,x） ，则, 1xxyy,032yy2xx31111解得.53y4x3y,59y3x4x11又因为点 Q在1l上运动，则2yx110。0253y4x359y3x4，解得022yx7。即直线 l 的方程为022yx7。评注：直线关于直线对称实质是点关于线的对称。此题还可在直线1l上任取一点（非两直线交点）并求其关于直线2l的对称点，则该对称点与两直线交点的连线便是所求对称直线。五、圆的方程 ：1、圆的标准方程：222xaybr。2、圆的一般方程：22220(DE4F0)xyDxEyF精品资料 - - - 欢迎下载 - - -

27、- - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料特别提醒 ：只有当22DE4F0时，方程220 xyDxEyF才表示圆，圆心为(,)22DE，半径为22142DEF的圆。常见圆的方程圆心在原点：2220 xyrr；过原点：2222220 xaybabab；圆心在x轴上：2220 xayrr；圆心在y轴上：2220 xybrr；圆心在x轴上且过原点：2220 xayaa；圆心在y轴上且过原点：2220 xybbb；与x轴相切：2220 xaybbb;与

28、y轴相切：2220 xaybaa与两坐标轴都相切：2220 xaybaab3、圆的参数方程：cossinxarybr（为参数），其中圆心为( , )a b，半径为r。圆的参数方程的主要应用是三角换元：222cos ,sinxyrxryr；22xytcos ,sin(0)xryrrt。4、1122A,x yB xy为直径端点的圆方程12120 xxxxyyyy例题例 1 求过两点)4,1(A、)2,3(B且圆心在直线0y上的圆的标准方程并判断点)4,2(P与圆的关系解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(rbyax圆心在0y上，故0b圆的方程为222)(ryax又该圆过)4,1(A、

29、)2,3(B两点22224)3(16)1(rara解之得：1a，202r所以所求圆的方程为20)1(22yx解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A、)2,3(B两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，又因为13124ABk，故l的斜率为1，又AB的中点为)3,2(，故AB的垂直平分线l的方精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料程为：23xy即01yx又知圆心在直线0y上，故圆

30、心坐标为)0,1(C半径204) 11 (22ACr故所求圆的方程为20)1(22yx又点)4,2(P到圆心)0,1(C的距离为rPCd254)12(22点P在圆外例 2 求半径为 4，与圆042422yxyx相切，且和直线0y相切的圆的方程解： 则题意，设所求圆的方程为圆222)()(rbyaxC：圆C与直线0y相切，且半径为4，则圆心C的坐标为)4,(1aC或)4,(2aC又已知圆042422yxyx的圆心A的坐标为)1,2(，半径为3若两圆相切，则734CA或134CA(1)当)4,(1aC时，2227)14()2(a，或2221)14()2(a(无解 )，故可得1022a所求圆方程为2

31、224)4()1022(yx，或2224)4()1022(yx(2)当)4,(2aC时，2227) 14()2(a，或2221)14()2(a(无解 )，故622a所求圆的方程为2224)4()622(yx，或2224)4()622(yx例 3 求经过点)5,0(A，且与直线02yx和02yx都相切的圆的方程解： 圆和直线02yx与02yx相切，圆心C在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02yx和02yx的距离相等5252yxyx两直线交角的平分线方程是03yx或03yx又圆过点)5,0(A，圆心C只能在直线03yx上设圆心)3,(ttC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - -

32、 - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料C到直线02yx的距离等于AC，22)53(532tttt化简整理得0562tt解得：1t或5t圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55所求圆的方程为5)3()1(22yx或125)15()5(22yx例 4、 设圆满足： (1)截y轴所得弦长为2；(2)被x轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件 (1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02yxl：的距离最小的圆的方程解： 设圆心为),(

33、baP，半径为r则P到x轴、y轴的距离分别为b和a由题设知：圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为90，故圆截x轴所得弦长为r2222br又圆截y轴所得弦长为2122ar又),(baP到直线02 yx的距离为52bad2225badabba4422)(242222baba1222ab当且仅当ba时取“ =”号，此时55mind这时有1222abba11ba或11ba又2222br精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供

34、参考学习资料故所求圆的方程为2)1()1(22yx或2)1()1(22yx六、点、直线与圆的位置关系1、点与圆的位置关系已知点00M,xy及圆222C0：x-aybrr，（1）点 M 在圆 C 外22200CMrxaybr；（2）点 M 在圆 C 内22200CMrxaybr；（3）点 M 在圆 C 上20CMrxa220ybr。2、直线与圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系有相交、相切、相离三种情况， 分别对应直线与圆有两个公共点、一个公共点、没有公共点。相交相切相离（两个公共点）（一个公共点）（没有公共点）（2）直线与圆的位置关系的判断方法几何法：通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断

35、。设直线l：Ax+By+C=0 圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r0) 则圆半径为r设圆心到直线的距离为d，则则rd直线与圆相离则rd直线与圆相切则rd直线与圆相交代数法：通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数来判断直线方程与圆的方程联立方程组0022FEyDxyxCByAx求解，通过解的个数来判断：（1）当方程组有2 个公共解时（直线与圆有2 个交点），直线与圆相交；（2）当方程组有且只有1 个公共解时（直线与圆只有1 个交点），直线与圆相切；（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为，圆心 C 到直线

36、l 的距离为 d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：22BACbBaAd精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料相切d=r0；相交d0；相离dr1，m10. 答案： (， 0)(10， ) 4已知直线3xy2m0 与圆 x2y2n2相切，其中m， nN*，且 nm5，则满足条件的有序实数对(m，n)共有 _个解析： 由题意可得，圆心到直线的距离等于圆的半径，即2m1n，所以2m1m22r.答案： 相

37、离7已知：以点C(t，2t)(tR，t0)为圆心的圆与x 轴交于点O、A，与 y 轴交于点O、B，其中 O 为原点(1)求证： OAB 的面积为定值；(2)设直线 y2x4 与圆 C 交于点 M，N，若 OMON，求圆 C 的方程解：(1)证明：圆 C 过原点 O，OC2t24t2.设圆 C 的方程是 (xt)2(y2t)2 t24t2，令 x0，得 y10，y24t；令 y0，得 x10，x22t. SOAB12OA OB12|4t| |2t|4，即OAB 的面积为定值(2)OMON，CMCN，OC 垂直平分线段MN.kMN 2，kO C12，直线 OC 的方程是 y12x.2t12t，解得

38、： t2 或 t 2. 当 t2 时，圆心 C 的坐标为 (2,1)，OC5，此时圆心C 到直线 y 2x4 的距离 d155，圆 C 与直线 y2x4 不相交，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料t 2 不符合题意舍去圆 C 的方程为 (x2)2(y1)25. 七、圆与圆的位置关系(1)两圆位置关系的判定方法几何法：设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，dOO21。条公切线外离42

39、1rrd；条公切线外切321rrd；条公切线相交22121rrdrr；条公切线内切121rrd；无公切线内含210rrd；外离相切相交内切内含代数法：判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决（方法同直线与圆位置关系的代数法） 【一般不提倡用此法，太过繁琐】(2)两圆的公共线定义：当两圆相交时，必有两个交点，那么过这两点交点的弦为圆的公共点。公共弦所在直线方程设圆0:111221FyExDyxC0:222222FyExDyxC若两圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程是用- 得0)()()(212121FFyEExDD若圆 C1与 C2相交，则式为公共弦所在的直线方程若圆 C

40、1与 C2外（内）切，则式外（内）切线的方程若圆 C1与 C2相离（外离或内含） ，则式为圆的C1、C2相离的直线例题：例 1若圆 x2y24 与圆 x2y2 2ay60(a0)的公共弦的长为2 3，则 a_. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料解析： 两圆方程作差易知弦所在直线方程为：y1a，如图，由已知 |AC|3，|OA|2，有|OC|1a1，a 1. 答案： 1 例 2过点 A(11,

41、2)作圆 x2y22x4y1640 的弦，其中弦长为整数的共有_条解析： 方程化为 (x1)2(y2)2132，圆心为 (1,2)，到点 A(11,2)的距离为12，最短弦长为 10，最长弦长为26，所以所求直线条数为22(2510)32(条)答案： 32 例 3已知圆 C1：x2y22x2y80 与圆 C2： x2 y22x10y240 相交于 A、B 两点，(1)求公共弦 AB 所在的直线方程；(2)求圆心在直线y x 上，且经过A、B 两点的圆的方程解： (1)x2y22x2y80 x2y22x10y240? x2y40. (2)由(1)得 x2y4，代入 x2y22x2y80 中得：

42、y2 2y0. x4y0或x0y2，即 A(4,0)，B(0,2)，又圆心在直线y x 上，设圆心为M(x，x)，则 |MA|MB|，解得 M(3,3)， M：(x3)2(y3)210. 例 4 已知圆 C1：x2 + y2 2mx + 4y + m2 5 = 0，圆 C2：x2 + y2 + 2x 2my + m2 3 = 0 ，m为何值时，（1）圆 C1与圆 C2相外切；（2）圆 C1与圆 C2内含 . 【解析】对于圆C1，圆 C2的方程，经配方后C1：(x m)2 + (y + 2)2 = 9，C2：(x + 1)2 + (y m)2 = 4. （1）如果 C1与 C2外切，则有22(1

43、)(2)32mm，所以 m2 + 3m 10 = 0，解得 m = 2 或 5. （2）如果 C1与 C2内含，则有22(1)(2)32mm，所以 m2 + 3m + 20，得 2m 1. 所以当 m = 5 或 m = 2 时，C1与 C2外切；当 2m 1 时， C1与 C2内含 . 例 5 求过直线 x + y + 4 = 0 与圆 x2 + y2 + 4x 2y 4 = 0 的交点且与y = x 相切的圆的方程. 【解析】设所求的圆的方程为x2 + y2 + 4x 2y 4 + (x + y + 4) = 0. 联立方程组22424(4)0yxxyxyxy得：2(1)2(1)0 xx.

44、 因为圆与 y = x 相切，所以=0. 即2(1)8(1)0,则=3故所求圆的方程为x2 + y2 + 7x + y + 8 = 0. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料例 6 求过两圆 x2 + y2 + 6x 4 = 0 求 x2 + y2 + 6y 28 = 0 的交点，且圆心在直线x y 4 = 0上的圆的方程 . 【解析】 依题意所求的圆的圆心，在已知圆的圆心的连心线上，又两已知圆

45、的圆心分别为( 3，0)和(0， 3). 则连心线的方程是x + y + 3 = 0. 由3040 xyxy解得1272xy. 所以所求圆的圆心坐标是17(,)22. 设所求圆的方程是x2 + y2x + 7y + m = 0 由三个圆有同一条公共弦得m = 32. 故所求方程是x2 + y2x + 7y 32 = 0. 例 7已知圆 C 的方程为 x2y21，直线 l1过定点 A(3,0)，且与圆C 相切(1)求直线 l1的方程；(2)设圆 C 与 x 轴交于 P、Q 两点， M 是圆 C 上异于 P、Q 的任意一点，过点A 且与 x轴垂直的直线为l2， 直线 PM 交直线 l2于点 P，

46、直线 QM 交直线 l2于点 Q.求证： 以 PQ为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标解： (1)直线 l1过点 A(3,0)，且与圆C：x2y21 相切，设直线l1的方程为yk(x3)，即 kxy3k0，则圆心 O(0,0)到直线 l1的距离为 d|3k|k21 1，解得 k24，直线 l1的方程为 y24(x3)(2)对于圆 C：x2y21，令 y0，则 x 1，即 P(1,0)，Q(1,0)又直线l2过点 A 且与 x 轴垂直， 直线 l2方程为 x3. 设 M(s，t)，则直线 PM 的方程为 yts1(x1)解方程组x3，yts1(x1)，得 P(3，4ts1)同理可得Q (3，2t

47、s1)以 PQ为直径的圆C的方程为(x3)(x3)(y4ts1)(y2ts1)0，又 s2t21，整理得 (x2y26x1)6s2ty0，若圆 C经过定点，只需令y0，从而有 x26x10，解得 x 3 2 2，圆 C总经过定点，定点坐标为(3 22，0)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 20 页 - - - - - - - - - -