余弦定理、正弦定理（3）--应用举例课件- 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册.pptx

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1、6.4.3 余弦定理、正弦定理余弦定理、正弦定理 （3）应用举例应用举例在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题. . 解决解决这类问题，我们常会碰到一些测量专有概念：这类问题，我们常会碰到一些测量专有概念：1. 仰角仰角和俯角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的标视线的夹角夹角, 目标目标视线在水平视线上方时叫视线在水平视线上方时叫仰角仰角, 目标目标视线在水平视线下方时叫视线在水平视线下方时叫俯角俯角.2. 方向角方向角从指定方向线到目标方向线所成的水平角从指定方向

2、线到目标方向线所成的水平角如如北北偏西偏西60 ，即以，即以正正北北方向方向为始边为始边，逆逆时针时针方向向方向向西旋转西旋转60 . (如图所示如图所示)铅铅垂垂线线目标视线目标视线目标视线目标视线水平视线水平视线仰角仰角俯角俯角西西北北南南东东60目标方向线目标方向线 具体具体测量时，我们常常遇到测量时，我们常常遇到“不能到达不能到达”的困难，这就的困难，这就需要设计恰当的测量方案需要设计恰当的测量方案. .下面我们通过几道例题来说明这下面我们通过几道例题来说明这种情况种情况. . 需要需要注意的是，题中为什么要给出这些已知条件，注意的是，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他的条件而不

3、是其他的条件. .事实上，这些条件往往隐含着相应测量事实上，这些条件往往隐含着相应测量问题在某种特定情境和条件限制下的问题在某种特定情境和条件限制下的一个一个测量方案，而且是测量方案，而且是这种情境与条件限制下的恰当方案这种情境与条件限制下的恰当方案. .问题问题1 如如图，为了测量隧道口图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应的长度，给定下列四组数据，测量时应选用选用数据数据以下哪组数据？（以下哪组数据？（ ） A，a，bB，a Ca，b， D，b解：由解：由余弦定理余弦定理，可得，可得C一、不一、不相通两点间距离问题相通两点间距离问题选择选择a，b，可可直接直接求出求出AB

4、的长度的长度.22222cosABcabab 222cos .ABabab 问题问题2 如如图，图，A，B两点分别在河的两边，两点分别在河的两边，测量测量A，B两点间的距离两点间的距离.AB 解解：如图，在如图，在A的一侧选取点的一侧选取点C，测，测得得由正弦定理，得由正弦定理，得a二、可到达点与不可到达点之间的距离二、可到达点与不可到达点之间的距离.ACaBACBCA , , ,.sinsin()ABAC sinsin.sin()sin()ACaAB C 问题问题3(例例9) 如图如图示示，A, B两点都在河的两点都在河的对岸对岸(不可到达不可到达)，设计一种测量设计一种测量A, B两点间距

5、离的方法，并求出两点间距离的方法，并求出A, B的距离的距离.AB解解：如如图图, 在在A, B两点的对岸选定两点两点的对岸选定两点C, D，测得，测得CD 三、两个不可到达点之间距离三、两个不可到达点之间距离a.CDaBCAACDCDBBDA , , , , ,sin()sin().sin()sin()aaAC sinsin.sin()sin()aaBC 2222222222cossin ()sin2sin()sin cos.sin ()sin ()sin()sin()ABACBCACBCaaa 四、高度四、高度测量测量底部底部可达可达问题问题4 如如图，设计一种测量方法，测量塔的高度图，设

6、计一种测量方法，测量塔的高度.解解：如图如图，在在ABC中，中，测测得得ACB .ABaBAC , ,tan.BCBCABa tan .BCa tan .a 塔塔的的高高度度为为五、高度五、高度测量测量底部底部不可达不可达 问题问题5(例例10) 如图如图示示，AB是底部是底部B点不可到达的一座建筑，点不可到达的一座建筑，A为建筑物的为建筑物的最高点最高点. 设计一种测量建筑物高度设计一种测量建筑物高度AB的方法，的方法，并求出建筑物的高度并求出建筑物的高度.建筑物建筑物高度为高度为解解：如如图图示示，选择一条水平基线选择一条水平基线HG，使，使H, G, B三点在同一条直线上三点在同一条直线

7、上. 在在G, H两点用测角仪器测得两点用测角仪器测得A的仰角分别是的仰角分别是 ，测角仪器的高是测角仪器的高是h. 那么，在那么，在ACD中，由正弦定理，得中，由正弦定理，得CDa , , , ,sin.sin()aAC sinsinsin.sin()aABAEhAChh 问题问题6(例例11) 位于位于某某海域海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救. 甲甲船立即前往救援，同时把消息告知船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西位于甲船南偏西30，且与甲船相距，且与甲船相距7 n

8、 mile的的C处的乙船处的乙船. 那么那么乙船前往乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线营救遇险渔船时的目标方向线(由观测点看目标的视线由观测点看目标的视线)的方向是北偏东多的方向是北偏东多少度少度(精确到精确到1)? 需要需要航行的距离是多少海里航行的距离是多少海里(精确到精确到1 n mile)?北北A30C20 n mileB解解: 根据题意根据题意, 画画出出示意图如图示示意图如图示, 由由余弦余弦定理定理, 得得2222cos120589.BCABACAB AC 24(nmile).BC 由正弦定理由正弦定理, 得得sinsin1202024C ，5 3sin.12C 解解得得0904

9、6 .CC 由由于于, , 因此因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东46+ 30=76，大约需要航行大约需要航行24 n mile. 练习练习 1. 如图如图, 一一艘船向正北艘船向正北航行航行, 航行航行速度的大小为速度的大小为32.2 n mile/h，在在A处看灯塔处看灯塔S在船的北偏东在船的北偏东20的方向的方向上上. 30 min后，船航后，船航行到行到B处，在处，在B处看灯塔在船的北偏东处看灯塔在船的北偏东65的方向上，已知的方向上，已知距离此灯塔距离此灯塔6.5 n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船以外的海区为航行安全区域，

10、这艘船可以继续沿正北方向航行吗可以继续沿正北方向航行吗?北北A20SB65解：在解：在ABS中中, AB=32.20.5 =16.1 (n mile), ABS=115.S到直线到直线AB的的距离为距离为sin207.06(nmile).dAS sin16.1 sin115220.635(nmile).sin(6520 )ABABSAS 由由正正弦弦定定理理, ,得得7.066.5 ，这这艘船可以继续沿正北方向艘船可以继续沿正北方向航行航行 . 练习练习 2. 如图示，如图示，在山脚在山脚A测得山顶测得山顶P的仰角的仰角为为，沿，沿倾斜角为倾斜角为的斜坡向上走的斜坡向上走a m到达到达B处，在

11、处，在B处测得山顶处测得山顶P的仰角的仰角为为. 求证求证:sin sin().sin()ah 山山高高180ABPABP 证证明明：在在中中, , ,180()BPAABP . .sin(180)sin().sin()sin()ABPaaAP 在在中中, ,由由正正弦弦定定理理, ,可可得得sin sin()sin.sin()ahAP 山山高高为为 练习练习 此船应该沿北偏东此船应该沿北偏东56的方向航行，需要航行的方向航行，需要航行约为约为113.15海里海里.3. 如图示，如图示，一艘海轮从一艘海轮从A出发，沿北偏东出发，沿北偏东75的方向航行的方向航行67. 5 n mile后到达后到

12、达海岛海岛B，然后，然后从从B出发，沿北偏东出发，沿北偏东32的方向航行的方向航行54 n mile后到达海岛后到达海岛C. 如如果果下次航行直接从下次航行直接从A出发到达出发到达C，那么，那么这艘船应该沿怎样的方向航行，需这艘船应该沿怎样的方向航行，需要航行的距离是多少要航行的距离是多少?北北A75CB321807532137ABCABC 解解：在在中中, ,. .sinsin0.3255.BCABCCABAC 由由正正弦弦定定理理, ,可可得得222cos137113.15.ACABBCAB BC 由由余余弦弦定定理理, ,可可得得197556 .CABCAB ，小结小结: :正弦、余弦定

13、理在实际测量中的应用的一般步骤正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤: :(4) 检验检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解的解(1) 分析分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图：理解题意，分清已知与未知，画出示意图(2) 建模建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型(3) 求解求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解型的解作业：作业：课本课本P52习题习题6.4第第8,9,21题题