2022年广东高考数学理科卷带详解资料.pdf

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1、资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑2009 年 普 通 高等 学 校 招生 全 国 统一 考 试 （广 东卷 ）数学（理科）一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知全集UR，集合212Mxx剟和21,1,2Nx xkkL的关系的韦恩（ Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )第 1 题图A. 3 个B. 2 个C. 1 个D. 无穷多个【测量目标】集合的表示方法（描述法），集合的并集 . 【考查方式】给出2 个集合，通过并集运算求出集合的元素共有几个. 【难易程度】容易【参考答案

2、】 B 【 试 题 解 析 】 由212Mxx剟得| 13Mxx剟，1,3,5,NL则1,3MNI，有 2个，选 B. 2. 设z是复数，a z表示满足1nz的最小正整数n，则对虚数单位i，ia( ) A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【测量目标】复数的基本概念. 【考查方式】给出相关信息，求解出满足i1n最小正整数n【难易程度】容易【参考答案】 C 【试题解析】ii1na，则最小正整数n为 4，选 C. 3. 若函数yfx是函数0,xyaa且1a的反函数，其图象经过点,a a则fx（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -

3、 - - - - - - - -第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑A.2log xB. 12logxC. 12xD. 2x【测量目标】反函数. 【考查方式】给出反函数的原函数的方程和其图象经过点,a a，求解出反函数的方程. 【难易程度】容易【参考答案】 B 【试题解析】log,afxx代入,a a解得1,2a所以12log,fxx选 B. 4. 已 知 等 比 数 列na满 足0,1,2,nanL且252523 ,nna ang则 当1n时 ，2123221logloglognaaaL（）A.21nnB.

4、21nC. 2nD.21n【测量目标】已知递推关系求通项. 【考查方式】给出相关信息，先求出通项na，再利用对数函数化简，求解. 【难易程度】中等【参考答案】 C 【试题解析】由252523nna ang得222,0,nnnaa（步骤 1）则2 ,nna22123221logloglog1321,naaannLL选 C.（步骤 2）5. 给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直， 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真

5、命题的是（）A. 和B. 和C. 和D. 和【测量目标】平行与垂直关系的综合问题. 【考查方式】给出4 个命题，通过直线与直线、面，面与面之间的位置关系判断其真假. 【难易程度】容易精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑【参考答案】 D 【试题解析】显然和是假命题，故否定A,B,C, 选 D. 6. 一质点受到平面上的三个力123,FFF（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知12,

6、F F成60o角，且12,FF的大小分别为2 和 4，则3F的大小为（）A. 6 B. 2 C. 2 5D. 2 7【测量目标】余弦定理. 【考查方式】给出物理学相关信息，通过余弦定理求解. 【难易程度】容易【参考答案】 D 【试题解析】222312122cos 1806028,FFFF Foo所以32 7F，选 D. 7.2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、 小罗、 小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有( )A. 36 种B. 12 种C. 18 种D. 48 种

7、【测量目标】排列组合及其应用. 【考查方式】给出相关信息，考查了排列组合的公式. 【难易程度】中等【参考答案】 A 【试题解析】分两类：若小张或小赵入选，则有选法113223C C A24,若小张、小赵都入选，则有选法2223A A12,共有选法 36 种，选 A.8.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙（如图所示）那么对于图中给定的0t和1t，下列判断中一定正确的是（）第 8 题图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共

8、16 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑A.在1t时刻，甲车在乙车前面B.1t时刻后，甲车在乙车后面C.在0t时刻，两车的位置相同D.0t时刻后，乙车在甲车前面【测量目标】函数图象的应用. 【考查方式】给出相关图象，再求解. 【难易程度】中等【参考答案】 A 【试题解析】 由图象可知， 曲线v甲比v乙在0100tt 、与x轴所围成图形面积大，则在01tt、时刻，甲车均在乙车前面，选A.二、填空题：本大题共7 小题，考生作答6 小题，每小题5 分，满分30 分（一）必做题（9 12 题）9. 随机抽取某产品n件，测得其长度分别为12

9、,na aaL则如图所示的程序框图输出的s，s表示的样本的数字特征是 （注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“”“： =”）第 9 题图【测量目标】循环结构的程序框图. 【考查方式】给出算法流程图，阅读框图，运行程序，得出结果. 【难易程度】容易【参考答案】12naaanL平均数【试题解析】第一次当i=1 时,1;sa精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑第二次当 i=2 时,12

10、;2aas最后输出12+;naaasnLs平均数 . 10. 若平面向量,a b满足1,abab平行于x轴，2, 1 ,b则a.【测量目标】向量的坐标运算. 【考查方式】考查向量的基本概念及向量的坐标运算. 【难易程度】中等【参考答案】1,1或3,1【试题解析】设( , )x ya，则(2,1)xyab，依题意，得011)1()2(22yyx， （步骤 1）解得11yx或13yx，所以( 1,1)a或( 3,1)a.（步骤 2）11.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为【测量目标】椭圆的标准方程. 【考查方式】给出相

11、关信息，通过离心率公式，长短轴间的关系，求解出标准方程. 【难易程度】中等【参考答案】221369xy【试题解析】3,212,6,3,2eaab则所求椭圆方程为221.369xy12.已知离散型随机变量X的分布列如右表若0,1,EXDX则a，b精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑第 12 题图【测量目标】离散型随机变量的分布列. 【考查方式】给出离散型随机变量的分布列，通过公式求

12、解. 【难易程度】中等【参考答案】5 1,12 4【试题解析】由题知2221111,0,1121,12612abcacac解得51,124ab. （二）选做题（13 15 题，考生只能从中选做两题）13 （坐标系与参数方程选做题）若直线112 ,:2,xtlykt（t为参数）与直线2,:12 ,xslys（s为参数）垂直，则k【测量目标】坐标系与参数方程. 【考查方式】给出两条直线的参数方程，且两条直线垂直，求解. 【难易程度】较难【参考答案】1【试题解析】直线11 2 ,:2,xtlykt（t为参数）化为普通方程是)1(22xky，该直线的斜率为2k， （步骤 1）直线2,:12 ,xsly

13、s（s为参数）化为普通方程是12xy，该直线的斜率为2， （步骤 2）则由两直线垂直的充要条件，得212kg，1.k（步骤 3）14 （不等式选讲选做题）不等式112xx的实数解为【测量目标】解一元二次不等式【考查方式】给出不等式方程，先求定义域，再把它换成整数不等式求解. 【难易程度】中等【参考答案】 x|32x,且2x 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑【试题解析】112x

14、x1220 xxx22(1)(2)2xxx2302xx,解得32x,且2x.所以原不等式的解集为x|32x ,且2x. 15 （几何证明选讲选做题）如图，点,A B C是圆O上的点，且4,45ABACBo，则圆O的面积等于第 15 题图【测量目标】几何证明选讲. 【考查方式】给出圆上线段长，角度大小，求解圆的面积. 【难易程度】容易【参考答案】8【试题解析】解法一：连结,OA OB则902,AOBACBo（步骤 1）所以AOB为等腰直角三角形，又4AB， （步骤 2）所以，圆O的半径22R，圆O的面积等于22 (22)8R（步骤 3）解法二：设圆O的半径为R，在ABC中，由正弦定理，得42si

15、n 45Ro，解得22R， （步骤 1）所以，圆O的面积等于22 (22)8R.（步骤 2）三、解答题：本大题共6 小题，满分80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分 12分）已知向量(sin,2)a与(1,cos )b互相垂直，其中(0,)2（1）求sin和cos的值；（2）若10sin(),0102，求cos的值【测量目标】余弦定理. 【考查方式】利用两向量垂直公式、诱导公式、余弦定理求解. 【难易程度】中等【试题解析】 （1） 向量sin , 2a与1 cos，b=互相垂直，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名

16、师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑sin2cos0ga b，即cos2sin， （步骤 1）又1cossin22 代入，整理，得51cos2， （步骤 2）由0,2，可知0cos，55cos， （步骤 3）代入得552sin.故55cos，552sin. （步骤 4）（2）0,0,2222Q（步骤 5）则23 10cos1sin,10（步骤 6）2coscoscoscossinsin.2（步骤 7）17 （本小题满分 12分）根据空气质量指数API（为整数）的不同

17、，可将空气质量分级如下表：API050 51100 101150 151200 201250 251300 300 级别III1III2III1IV2IVV状况优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染xy67 xy68 xy69 xy70 xy71 对 某 城 市 一 年 （ 365天 ） 的 空 气 质 量 进 行 监 测 ， 获 得 的API数 据 按 照 区 间0,50,(50,100,(100,150,(150,200,(200,250,(250,300进行分组，得到频率分布直方图如图所示 . （1）求直方图中x的值；（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求该城

18、市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.（结果用分数表示已知77578125,2128,32738123,1825365182518259125912536573 5) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑第 17 题图【测量目标】频率分布直方图. 【考查方式】给出直方图，阅读，从图中找到相关信息，利用公式定理求解. 【难易程度】中等【试题解析】 （1）因为，在频率分布

19、直方图中，各个小矩形的面积之和等于1，依题意，得327385011825365182518259125xg（步骤 1）又9125123912581825318257365218253所以182501199125123501x.（步骤 2）（2）一年中空气质量为良的天数为1195018250119365（天）； （步骤 3）一年中空气质量为轻微污染的天数为100503652365（天）； （步骤 4）（3）由（ 2）可知，在一年之中空气质量为良或轻微污染的天数共有119+100=219（天）所以，在一年之中的任何一天空气质量为良或轻微污染的概率是21933655P， （步骤 5）设一周中的空气质

20、量为良或轻微污染的天数为，则B（7，53）7733()C155kkkPk， （k=0,1,2,7 ） （步骤 6）设“该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染”为事件A，则)1()0(1)(PPAP=1070733C155161733C155 =6752537521=78125766537812513441281522121767.（步骤 7）18 （本小题满分14 分）如图，已知正方体1111ABCDA B C D的棱长为2，点E是正方形11BCC B的中心，点FG、分别是棱111,C DAA的中点设点1,1E G分别是点,E G在平面11DCC D内的正投影（1）求以E为顶点，以四边

21、形FGAE在平面11DCC D内的正投影为底面边界的棱锥精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑的体积；（2）证明：直线1FG平面1FEE；（3）求异面直线11E GEA与所成角的正弦值.第 18 题图【测量目标】锥的体积、空间直角坐标系. 【考查方式】考查了锥的体积、线面垂直的判定、异面直线所成的角，建立空间直角坐标系求解【难易程度】较难【试题解析】 （1）依题得所求为四棱锥11F

22、GDEE的体积，其底面11FGDE面积为111111RtRtE FGDG EDE FGSSS四边形221212221， （步骤 1）又1EE面11FGDE，11EE，111111233EDE FGDE FGVSEEg四边形.（步骤 2）（2）以D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别作x轴，y轴，z轴，得)1 ,2,0(1E,)1 ,0,0(1G，又因为)1 ,0 ,2(G，)2, 1 ,0(F，)1 ,2, 1(E，则) 1, 1, 0(1FG，) 1, 1 , 1(FE，) 1, 1 , 0(1FE， （步骤 3）10( 1) 10FG FEuuu u r uuu rg，110( 1)

23、 10FG FEuu uu r uuurg，即FEFG1，11FEFG， （步骤 4）又1FEFEFI，1FG平面1FEE.（步骤 5）第 18(2)题图（3）)0 , 2, 0(11GE，) 1,2, 1 (EA，则1111112cos,6E GEAE GEAE GEAuuuu r uu u ruuuu r u u u rguu uu r uu u r， （步骤 6）设异面直线11E GEA与所成角为，则33321sin.（步骤 7）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 16 页

24、 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑19.（本小题满分14 分）已 知 曲 线2:Cyx与 直 线:20lxy交 于 两 点(,)AAA xy和(,)BBB xy， 且ABxx记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界） 为D设点( , )P s t是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合（1）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；（2）若曲线22251:24025G xaxyya与D有公共点，试求a的最小值【测量目标】直线与抛物线的位置关系，圆锥曲线中的探索性问题. 【考查方式】给出了抛物

25、线方程与直线方程，利用公式、定理求解. 【难易程度】较难【试题解析】曲线C与直线l的联立方程组022yxxy,得1111yx,4222yx,（步骤 1）又ABxx，所以点,A B的坐标分别为)4,2(),1 , 1(BA（步骤 2）点Q是线段AB的中点点Q的坐标为25,21Q（步骤 3）点( , )P s t是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合2st，即),(2ssP，且21s（步骤 4）设线段PQ的中点为,Mx y, 则点 M 的轨迹的参数方程为2252212sysx（s为参数，且21s） ；消去s整理，得454122xy，且4541x所以，线段PQ的中点M的轨迹方程是454122xy

26、，4541x； （步骤 5）（ )曲线22251:24025G xaxyya可化为222572yax，它是以,2G a为圆心，以57为半径的圆，（步骤 6）设直线:20lxy与y轴相交于点E，则E点的坐标为0,2E；自点A做直线:20lxy的垂线，交直线2y于点F，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑在 RtEAF 中，45 ,AEFo2AE，所以2AF，257，当0a且圆G与

27、直线l相切时，圆心G必定在线段FE上，且切点必定在线段AE 上， （步骤 7）于是，此时的a的值就是所求的最小值. 当圆G与直线:20lxy相切时571122a，解得527a，或者527a（舍去）所以，使曲线G与平面区域D有公共点的a的最小值是527 （步骤 8）第 19(2)题图20 （本小题满分14 分）已知二次函数( )yg x的导函数的图象与直线2yx平行，且( )yg x在1x处取得极小值1(0)mm设( )( )g xf xx（1）若曲线( )yf x上的点P到点0,2Q的距离的最小值为2，求m的值；（2）()k kR如何取值时，函数( )yf xkx存在零点，并求出零点【测量目标

28、】函数零点的应用. 【考查方式】利用导数求函数的极值、两点间距离公式、函数零点的判断等求解. 【难易程度】较难【试题解析】设二次函数( )yg x的解析式为)0()(2acbxaxxg则它的导函数为)0(2)(abaxxg， （步骤 1）函数)0(2)(abaxxg的图象与直线xy2平行，22a，解得1a, 所以cbxxxg2)(，bxxg2)(（步骤 2）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除

29、word 可编辑( )yg x在1x处取得极小值1(0)mm1) 1(0)1(mgg，即1102mcbb，解得mcb2. 所以mxxxg2)(2，( )( )g xf xx=2xmx（0 x） （步骤 3）（1）设点P2,xmxx（0 x，0m）为曲线( )yf x上的任意一点则点P到点(0,2)Q的距离为mxmxxmxxPQ2222222（步骤 4）由基本不等式定理可知222222 22mxmmmx，当且仅当222mx时，等号成立，此时minPQ=mm222（步骤 5）又已知点P到点(0, 2)Q的距离的最小值为2，所以令2222mm两边平方整理，得12mm当0m时，12mm，解得12m当0

30、m时，12mm，解得12m所以m的值为12或者12； （步骤 6）（2）函数令kxxfxh)()(=2)1(2xmxkkxxmx（0 x）令0)(xh，即02)1(xmxk（0 x） ，整理，得02)1 (2mxxk（0 x） ，（步骤7）函数kxxfxh)()(存在零点，等价于方程有非零实数根，由0m可知，方程不可能有零根，当1k时，方程变为02mx，解得02mx，方程有唯一实数根，此时，函数kxxfxh)()(存在唯一的零点2mx； （步骤 8）当1k时，方程根的判别式为)1 (44km，0m令)1 (44km=0，解得mk11，方程有两个相等的实数根mxx21， （步骤 9）精品资料 -

31、 - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑此时，函数kxxfxh)()(存在唯一的零点mx；令44 (1)0mk，得11mk,当0m时，解得mk11，当0m时，解得mk11，以上两种情况下，方程都有两个不相等的实数根kkmx1)1 (111，kkmx1)1(112此时，函数kxxfxh)()(存在两个零点kkmx1)1(111，kkmx1)1(112（步骤 10）综上所述，函数( )yf xkx

32、存在零点的情况可概括为当1k时，函数kxxfxh)()(存在唯一的零点2mx；当mk11时，函数kxxfxh)()(存在唯一的零点mx；当0m且mk11，或者0m且mk11时，函数kxxfxh)()(存在两个零点kkmx1)1(111，kkmx1)1(112.（步骤 11）21 （本小题满分14 分）已知曲线22:20(1,2,)nCxnxynL,从点( 1,0)P向曲线nC引斜率为(0)nnkk的切线nl，切点为(,)nnnPxy（）求数列nnxy与的通项公式；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - -

33、-第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑（）证明：1352112sin1nnnnnxxx x xxxyg g g L g【测量目标】数列的实际应用，间接证明. 【考查方式】利用圆锥曲线性质求通项公式，放缩法等求解. 【难易程度】较难【试题解析】曲线22:20(1,2,)nCxnxynL可化为222)(nynx，所以，它表示以)0,(nCn为圆心，以n为半径的圆，切线nl的方程为)1(xkyn，联立02)1(22ynxxxkyn，消去y整理，得0)22()1(2222nnnkxnkxk，（步骤1）222222)

34、12(44)1(4)22(nnnnknnkknk，0nk令0，解得1222nnkn，12nnkn（步骤 2）此时，方程化为012)2122()121 (2222nnxnnnxnn整理，得0)1(2nxn，解得1nnxx， （步骤 3）所以121) 11(12nnnnnnnyn数列nx的通项公式为1nnxx数列ny的通项公式为121nnnyn.（步骤 4）（）证明：121111111nnnnnxxnn，222221(21)(21)21244121nnnnnnnn135211352113521246235721nnnx x xxnng g g L gLL=121n=nnxx11（步骤 5）121n

35、yxnn=nnxx11，又因为1104213n,令xyxnn，则04x，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑要证明nnnnyxyxsin2，只需证明当04x时，xxsin2恒成立即可 . （步骤 6）设函数xxxfsin2)(，04x则xxfcos21)(，04x（步骤 7）在区间0,4上xxfcos21)(为增函数，当04x时，( )12 cos12 cos04fxx， （步骤 8）xxxfsin2)(在区间0,4上为单调递减函数，xxxfsin2)(0)0(f对于一切04x恒成立，（步骤 9）xxsin2，即nnxx11=nnnnyxyxsin2综上，得1352112sin1nnnnnxxx x xxxyg g g L g（步骤 10）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - - -