1988 年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答及评分标准数学（试卷一）.docx

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1、郝海龙：考研数学复习大全 配套光盘 1988 年数学试题 参 考解答及评分标准 1988 年 第 1 页 21988 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准 数 学（试卷一） 一 (本题满分 15 分，每小题 5 分 ) (1) 求幂级数 n1 (x 3)n n 3n 的收敛域 . 解： 因 lim (x 3)n1 (n 1) 3n1 lim n x 3 1 x 3 , 故 1 x 3 1即 0 x 6 时， n (x 3)n n 3n n 3(n 1) 3 3 幂级数收敛 . 3 分 当 x 0 时 ， 原 级 数 成 为 交 错 级 数 (1)n 1 ， 是 收 敛 的

2、. 4 分 n1 n 当 x 6 时，原级数成为调和级数 1 ，是发散的 . 5 分 n1 n 所以，所求的收敛域为 0, 6 . x 2 (2) 已知 f(x)= e ( x)2 ,f ( x) =1-x,且 (x) 0.求 (x)并写出它的定义域 . 解： 由 e 1 x ，得 (x) . 3 分 由 ln(1 x) 0 ，得 1 x 1 即 x 0 . 5 分 所以 (x) ，其定义域为 (, 0). (3)设 S 为曲面 x2 y2 z2 1 的外侧，计算曲面积分 I x3dydz y3dxdx z3dxdy. s 解： 根据高斯公式，并利用球面坐标计算三重积分，有 I 3(x2 y2

3、 z2 )dv （其中 是由 S 所 围 成 的 区 域 ） 2 分 2 1 30 d 0 d 0 r r sindr 4 分 12 . 5 分 5 郝海龙：考研数学复习大全 配套光盘 1988 年数学试题 参 考解答及评分标准 1988 年 第 2 页 二、填空题： (本题满分 12 分，每小题 3 分 ) (1) 若 f(t)= lim t (1 1 )2tx ，则 f (t) (2t 1)e2t x x (2) 设 f(x)是 周期 为 2 的周 期函 数 ， 它 在 区间 1,1上 的 定 f(x)= 2,1x0 ,则 f(x)的 付 立 叶 级 数在 x=1 处收敛于 2 3 . x

4、3 1 1 (3) 设 f(x)是 连 续 函 数 ，且 0 f (t)dt x, 则 f(7)= . 12 (4) 设 4*4 矩阵 A= (, 2, 3, 4 )， B= ( , 2, 3, 4 ) ，其中， , , 2 , 3, 4 均为 4 维列向量， 且已知行列式 A 4, B 1,则行列式 A B =. 40 . 三、选择题 ( 本题满分 15 分，每小题 3 分 ) (1) 若函数 y=f(x)有 f (x ) 1 ，则当 x 0 时，该函 x= x 处的微分 dy 是 (B) 0 2 0 (A) 与 x 等价的无穷小 (B) 与 x 同阶的无穷小 (C) 比 x 低阶的无穷小

5、(D) 比 x 高阶的无穷小 (2) 设 y f (x) 是方程 y 2 y 4 y 0 的一个解，若 f (x) 0 ，且 f (x0 ) 0 ，则函数 f (x) 在点 x0 (A) 取得极大值 (B) 取得极小值 (C) 某个邻域内单调增加 (D) 某个邻域内单调减少 (A) (3) 设有空间区域 : x2 y2 z2 R2 , z 0; 及 : x2 y2 z2 R2 , x 0, y 0, z 0, 则 (C) (A) 1 xdv 4 dv 2 (B) ydv 4 ydv (C) 1 2 zdv 4 dv 1 2 (D) xyzdv 4 xyzdv 1 2 1 2 n (4) 若 n

6、1 a (x 1)n 在 x=-1 处收敛，则此级数在 x=2 处 (B) (A) 条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 收敛性不能确定 (5) n 维向量组 1,2 , ,s (3 s n) 线性无关的充分必要条件是 (D) (A) 有一组不全为 0 的数 k1 , k2 , , ks , 使 k1 1 k22 kss 0 . (B) 1,2 , ,s 中任意两个向量都线性无关 . (C) 1,2 , ,s 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出 . (D) , , , 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出 . 四 (本题满分 6 分 ) 郝海龙：考研数学复习大全 配套光盘

7、1988 年数学试题 参 考解答及评分标准 1988 年 第 3 页 cx y 2u 2u 设 u yf ( ) xg( ) ，其中 f,g 具有二阶连续导数，求 x y . y x x2 xy u x y y y 解： f g g . 2 分 x y x x x 2u 1 x2 y 2 f x y y x3g y . x 3 分 u x f x y y 5 分 xy y2 2 2 2 所以 x u y u 0 . 6 分 x2 xy 五、 (本题满分 8 分 ) 设函数 y=y(x)满足微分方程 y 3y 2y 2ex , 且图形在点 (0， 1)处的切线与曲线 y x2 x 1 在该点的切

8、线重合，求函数 y y(x). 解： 对应齐次方程的通解为 Y C ex C e2x . 2 分 设原方程的特解为 y* Axex , 3 分 得 A 2 . 4 分 故原方程通解为 y(x) C ex C e2x 2xe2x . 5 分 又已知有公共切线得 y |x0 1, y |x0 1， 7 分 c c 1, 即 1 2 解得 c 1, c 0 . 8 分 2c 1 1 2所以 y (1 2x)e2x . 六、 (本题满分 9 分 ) k 设位于点 (0， 1)的质点 A 对质点 M 的引力大小为 r2 (k0 为常数， r 为质点 A 与 M 之 间的距离 )，质点 M 沿曲线 y 2

9、x x2 自 B(2,0)运动到 O(0， 0).求在此运动过程中质点 A 对质 M 点的引力所做的功 . 解： MA 0 x,1 y 2 分 r x2 (1 y)2 . 因引力 f 的方向与 MA 一致， . 4 分 故 f k x,1 y r3 2 郝海龙：考研数学复习大全 配套光盘 1988 年数学试题 参 考解答及评分标准 1988 年 第 4 页 从而 W k xdx (1 y)dy 6 分 B O r3 k (1 1 ) . 9 分 七、 (本题满分 6 分 ) 1 0 0 1 0 0 已知 AP PB ,其中 B 0 0 0 , P 2 1 0 求 A 及 A5 . 0 0 1

10、2 1 1 0 0 解： 先求出 P1 2 1 0 . 2 分 4 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 因 AP PB ，故 A PBP1 2 1 0 0 0 0 2 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 2 0 0 2 1 0 2 0 0 . 4 分 2 0 1 4 1 1 6 1 1 5个 5个 从而 A5 AAAAA （ PBP1） (PBP1 ) (PBP1 ) PB5 P1 =PBP1 =A . 6 分 八、 (本题满分 8 分 ) 2 0 0 2 0 0 已知矩阵 A 0 0 1 与 B 0 y 0 相似， 0 1 0 0 1 (1) 求 x 与 y； (2) 求一个

11、满足 P1 AP B 的可逆矩阵 P . 解： (1) 因 A 与 B 相似，故 | E A | E B | ，即 1 分 2 0 0 2 0 0 0 1 0 y 0 ， 0 1 x 0 0 1 亦即 ( 2)(2 x 1) ( 2)(2 (1 y) y) . 郝海龙：考研数学复习大全 配套光盘 1988 年数学试题 参 考解答及评分标准 1988 年 第 5 页 0 1 2 0 0 2 0 0 比较两边的系数得 x 0, y 1.此时 A 0 0 1 ， B 0 1 0 . 3 分 0 1 0 0 0 1 (2) 从 B 可以看出 A 的特征值 2,1, 1 . 4 分 1 对 2 ，可求得

12、 A 的特征向量为 p 0 . 0 对 1 ，可求得 A 的特征向量为 p 1 . 0 对 1 ，可求得 A 的特征向量为 p3 1 . 7 分 因上述 p1 , p2 , p3 是属于不同特征值的特征向量，故它们线性无关 . 1 0 0 令 P ( p , p , p ) 0 1 1 ，则 P 可逆，且有 P1 AP B . 8 分 0 1 1 九、 (本题满分 9 分 ) 设函数 f (x) 在区间 a, b上连续，且在 (a, b) 内有 f (x) 0 .证明：在 (a, b) 内存在唯一 的 ，使曲线 y f (x) 与两直线 y ( ), x a 所围平面图形面积 s1 是曲线 y

13、 f (x) 与两直 线 y ( ), x a 所围平面图形面积 s2 的 3 倍 . 证： 存在性 在 a, b 上任取一点 t ，令 t b F (t) a f (t) f (x)dx 3t f (x) f (t)dx t b f (t)(t a) f (t)dx 3 f (x)dx f (t)(b t) 3 分 a t 则 F (t) 在 a, b 上连续 . 又因 f (x) 0 ,故 f (x) 在 a, b 上是单调增加的 . 于是在 (a, b) 内取定点 c ，有 b c b F (a) 3 f (x) f (a)dx 3 f (x) f (a)dx 3 f (x) f (a)

14、dx a a c b 3c f (x) f (a)dx 3 f (1 ) f (a)(b c) 0, c 1 b . 郝海龙：考研数学复习大全 配套光盘 1988 年数学试题 参 考解答及评分标准 1988 年 第 6 页 c b c b F (b) f (b) f (x)dx f (b) f (x)dx f (b) f (x)dx a a c f (b) f (x)dx f (b) f (2 )(c a) 0, a 2 c . 5 分 a 所以由介值定理知，在 (a, b) 内存在 ,使 F () 0 ，即 S1 3S2 . 6 分 唯一性 因 F (t) f (t)(t a) 3(b t)

15、 0 ， 8 分 故 F (t) 在 (a, b) 内是单调增加的 .因此，在 (a, b) 内只有一个 , 使 S1 3S2 . 9 分 十、填空题 (共 6 分，每个 2 分 ) (1) 设三次独立实验中，事件 A 出现的概率相等 .若已知 A 至少出现一次的概率等于 19 ，则 27 事件 A 在一次试验中出现的概率为 1 . 3 (2) 在区间 (0,1) 中随机地取两个数，则事件 “ 两数之和小于 6 ” 的概率为 17 . 5 25 2 x 1 u 2 (3) 设随机变量 X 服从均值为 10，均方差为 0.02 的正态分布 .已知 (x) = e 2 du ， (2.5) 0.9

16、938 ，则 X 落在区间 (9.95， 10.05)内的概率为 0.9876 . 十一、 (本题满分 6 分 ) 设随机变量 X 的概率密度函数为 fx 度函数 fY ( y) . 解： 因 Y 的分布函数 FY ( y) P(Y y) (x) 1 ，求随机变量 Y 1 3 (1 x2 ) X 的概率密 1 分 P1 3 X y P3 X 1 y PX (1 y)3 2 分 dx 1 arctan x 1 arctan(1 y)3 . 4 分 (1 y )3 (1 x ) d (1 y )3 2 3 (1 y)3 故 Y 的概率密度函数为 fY ( y) dy FY ( y) 1 (1 y)

17、6 . 6 分 郝海龙：考研数学复习大全 配套光盘 1988 年数学试题 参 考解答及评分标准 1988 年 第 7 页 数 学（试卷二） 一 (本题满分 15 分，每小题 5 分 ) (1) 【 同数学一 第一、 (1) 题 】 (2) 【 同数学一 第一、 (2) 题 】 (3) 【 同数学一 第一、 (3) 题 】 二、填空题： (本题满分 12 分，每小题 3 分 ) (1) 【 同数学一 第二、 (1) 题 】 (2) 【 同数学一 第二、 (2) 题 】 (3) 【 同数学一 第二、 (3) 题 】 (4) 【 同数学一 第二、 (4) 题 】 三、选择题 (本题满分 15 分，每

18、小题 3 分 ) (1) 【 同数学一 第三、 (1) 题 】 (2) 【 同数学一 第三、 (2) 题 】 (3) 【 同数学一 第三、 (3) 题 】 (4) 【 同数学一 第三、 (4) 题 】 (5) 【 同数学一 第三、 (5) 题 】 四 (本题满分 18 分，每小题 6 分 ) (1) 【 同数学一 第四题 】 (2) 计算 2 dx x sin xdy 4 dx 2 sin xdy . 1 x 2 y 2 x 2 y 2 解： dx x sin xdy 4 dx 2 x sin dy 1 2 1 x y2 dyy 2 y 2 x 2 y sin x dx 2 y 3 分 2 2

19、 y cos cos y dy . 4 分 1 2 2 8 t cos tdt (令 t y ) 4 (2 ) . 6 分 3 3 2 郝海龙：考研数学复习大全 配套光盘 1988 年数学试题 参 考解答及评分标准 1988 年 第 8 页 (3) 求椭球面 x2 2y2 3z2 21 上某点 M 处的切平面 的方程，使平面 过已知直线 l : x 6 y 3 2z 1 . 2 1 2 解： 令 F(x, y, z) x2 2y2 3z2 21, 则 F 2x, F 4y, F 6z. 椭球面在点 M (x0 , y0 , z0 ) 处的切平面 的方程为 x y z 2x0 (x x0 ) 4

20、y0 (y y0 ) 6z0 (z z0 ) 0 ,即 x0 x 2y0 y 3z0 z 21. 2 分 因为平面 过直线 L，故 L 上的任两点，比如点 A(6,3, 1)、 B(0, 0, 7) 应满足 的方程， 2 2 代入有 6x 6 y 3 z 21 0 0 2 0 z0 2 又因 x2 2y2 3z2 21, (1) (2) (3) 于是有 x0 3, y0 0, z0 2及 x0 1, y0 2, z0 2 . 4 分 故所求切平面 的方程为 x 2z 7 和 x 4 y+6z 21 . 6 分 五、（本题满分 8 分） 【 同数学一 第五题 】 六、（本题满分 9 分） 【 同

21、数学一 第六题 】 七、（本题满分 6 分） 【 同数学一 第七题 】 八、（本题满分 8 分） 【 同数学一 第八题 】 九、（本题满分 9 分） 【 同数学一 第九题 】 郝海龙：考研数学复习大全 配套光盘 1988 年数学试题 参 考解答及评分标准 1988 年 第 9 页 数 学（试卷三） 一、填空题 (本题满分 20 分，每小题 4 分 ) e2 (sin x cos x), x 0 (1) 若 f (x) 2x , x 0 是 (, ) 上的连续函数，则 1 . (2) 【 同数学一 第二、（ 1）题 】 (3) 【 同数学一 第二、（ 3）题 】 1 (4) lim( )tgx

22、1 . x0 x 4 (5) 0 e x dx 2(e2 1) 二、选择题 (本题满分 20 分，每小题 4 分 ) (1) f (x) 1 x3 1 x2 6x 1的图形在点（ 0， 1）处切线与 x 轴交点的坐标是 (A) 3 (A) ( 1 6 2 , 0) (B) (1, 0) (C) ( 1 6 , 0) (D) (1, 0) (2) 若 f (x) 与 g(x) 在 (, ) 上皆可导，且 f (x) g(x) ，则必有 (C) (A) f ( x) g(x) (B) f ( x) g( x) X x (C) lim f (x) lim g(x) (D) f (t)dt g(t)d

23、t xx0 xx0 0 0 (3) 【 同数学一 第二（ 1）题 】 3 (4) 曲线 y sin 2 x(0 x ) 与 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转所形成的旋转 (B) 4 (A) 3 (B) 4 (C) 3 2 2 3 (D) 2 【 B 】 3 (5) 【 同数学一 第三（ 5）题 】 三、 (本题满分 15 分，每小题 5 分 ) (1) 【 同数学一第一、（ 2）题 】 (2) 已知 y 1 xexy ，求 y x 0 及 y x 0 . 解： 显然 x 0 时， y 1. 1 分 y xexy (xy y) exy exy (x2 y xy 1) . 2 分 因此 y e0 1

24、； 3 分 x0 郝海龙：考研数学复习大全 配套光盘 1988 年数学试题 参 考解答及评分标准 1988 年 第 10 页 的通解（ 1 而 y exy (x2 y 2xy xy y) exy (x2 y xy 1)(xy 1) ， 4 分 即得 0 0 y |x0 e e 2 . 5 分 (3) 求微分方程 y 1 y 1 一般解） . x x(x2 1) dx 1 1 dx 解： y e x e x x(x 1) dx C 3 分 1 1 dx C 4 分 x x2 1 1 arctan x C ，其中 C 是任意常数 . 5 分 x 四、 (本题满分 12 分 ) 作函数 y 6 的图

25、形，并填写下表 x2 2x 4 单调增加区间 单调减少区间 极值点 极 值 凹 () 区间 凸 () 区间 拐 点 渐近线 解： 单调增加区间 (,1) （ 1 分） 单调减少区间 (1, ) （ 2 分） 极值点 1 （ 3 分） 极值 2 （ 4 分） 凹区间 (, 0)及 (2, ) （ 6 分） 凸区间 (0, 2) （ 7 分） 拐点 (0, 3)及 (2, 3) 2 2 （ 9 分） 渐进线 y 0 （ 10 分） 郝海龙：考研数学复习大全 配套光盘 1988 年数学试题 参 考解答及评分标准 1988 年 第 11 页 ， 3 分 . 5 分 时，时其图形为： 五、 (本题满分

26、8 分 ) 将长为 a 的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形 .问这两段铁丝各长为多 少时，正方形与圆形的面积之和为最小？ 解： 设圆形的周长为 x ，则正方形的周长为 a x ，而两面积之和为 2 2 2 A a x x 4 x2 a x a 4 2 16 8 16 A 4 x a （令） 0 ，得 x a 8 8 4 A 4 8 0 . 7 分 故当圆的周长为 x a 正方形的周长为 a x 4a A 之值最小 . 8 分 4 4 六、 (本题满分 10 分 )【 同数学一 第五题（分值不同） 】 七、 (本题满分 7 分 ) x 1 设 x 1，求 (1 t )dt . 解：

27、当 1 x 0 时， x x (1 | t |)dt (1 t)dt 1 分 1 1 1 (1 t)2 2 1 2 分 1 (1 x)2 . 3 分 2 x 当 x 0 时， 0 (1 | t |)dt x (1 t)dt (1 t)dt 5 分 1 八、 (本题满分 8 分 ) 1 0 1 1 (1 x)2 . 7 分 2 郝海龙：考研数学复习大全 配套光盘 1988 年数学试题 参 考解答及评分标准 1988 年 第 12 页 设 f (x) 在 (, ) 上有连续导数，且 m f (x) M . (1) 求 lim 1 a f (t a) f (t a)dt ； (2) 证 1 a f

28、(t)dt f (x) M m (a 0) . a0 4a2 a 解： (1) 由积分中值定理和微分中值定理有 lim 1 a f (t a) f (t a)dt 2a a a0 4a2 a lim 1 f ( a) f ( a) (a a) a0 2a 2 分 lim a0 f ( * ) lim f ( *) (2a a * a 2a) = f (0) . 4 分 * 0 (2) 证： 由 f (x) 的有界性及积分估值定理有 5 分 m 1 a 2a a f (t)dt M , 6 分 又 M f (x) m ， 7 分 故有 (M m) 1 a 2a a f (t)dt f (x) M

29、 m ， 1 a 2a a f (t)dt f (x) M m . 8 分 即 郝海龙：考研数学复习大全 配套光盘 1988 年数学试题 参 考解答及评分标准 1988 年 第 13 页 0 0 数 学（试卷四） 一、填空题（本题满分 12 分，每空 1 分） x (一 ) 已 知 函 数 f (x) 0 e 1 t 2 2 dt, x . （ 1） f (x) e 1 t 2 2 . （ 2） f (x) 的单调性： 单调增加 . （ 3） f (x) 的奇偶性： 奇函数 . （ 4） f (x) 图形的拐点： （ 0， 0） （ 5） f (x) 图形的凹凸性： x 0时上凹（下凸） ,

30、x 0时下凹（上凸） . （ 6） f (x) 图形的水平渐近线近线： y , y 2 2 (二 ) 3 . 0 (三 ) 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 . 0 1 0 0 1 0 0 (四 ) 假设 P( A) 0.4， P( A B) 0.7 ，那么 （ 1） 若 A 与 B 互不相容，则 P（ B） = 0.3 . （ 2） 若 A 与 B 相互独立，则 P（ B） = 0.5 . 二、（本题满分 10 分）（每小题，回答正确得 2 分，回答错误得 -1 分，不回答得 0 分； 全题最低得 0 分） （ 1） 若极限 lim xx0

31、f (x) 与 lim xx0 f (x) g(x) 都存在，则极限 lim g(x) 必存在 . （ ） xx0 （ 2） 若 x0 是函数 f (x) 的极值点，则必有 f (x0 ) 0 . （ ） a a （ 3） 等 式 0 f (x)dx 0 f (a x)dx, 对任何实数 a 都成立 . （ ） （ 4） 若 A 和 B 都是 n 阶非零方阵，且 AB=0，则 A 的秩必小于 n . （ ） 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 郝海龙：考研数学复习大全 配套光盘 1988 年数学试题 参 考解答及评分标准 1988 年 第 14 页 . 3 （ 5）

32、 若事件 A， B， C 满足等式 A C B C, 则 A=B. （ ） 三、（本题满分 16 分，每小题 4 分 .） xx 1 (1) 求极限 lim x1 x ln x 解一： 此极限为 0 型未定式，由罗必塔法则，则 0 x x (ln x 1) 原式 = lim lim xx 1. 4 分 x1 ln x 1 x1 解二： 令 t x ln x ，则 xx et .由于当 x 1 时， t 0 ，可见 et 1 原式 = lim lim et 1 . 4 分 t0 t t0 2 (2) 已知 eu xy ，求 u xy 解： 由于 u y u x ， ， 2 分 x 1 eu y

33、1 eu u u u 2u 可见 u 1 e ye y 3 分 xy y x 1 1 eu 3 0 (1 eu )2 xyeu . 4 分 (1 eu )3 dx (3) 求定积分 dx 解一： 由于 2d( . x) ，可见 3 原式 = 2d x 2 分 0 1 x 2 . 4 分 3 解二： 令 x t， x t2 , dx 2tdt ；当 x 0 时， t 0 ；当 x 3 时， t ； 1 分 于是， 原 式 =0 3 2dt 1 t2 2 分 2 arctan 3 分 郝海龙：考研数学复习大全 配套光盘 1988 年数学试题 参 考解答及评分标准 1988 年 第 15 页 i ，

34、 2 . 4 分 3 cos x (4) 求二重积分 6 dy 6 dx . 0 y x x cos x 解： 在原式中交换积分次序，得 原式 6 dx dy 2 分 0 0 x 1 = 6 cos xdx = sin x 6 4 分 0 0 2 . 四、（本题满分分，每小题分） (1) 讨论级数 n1 (n 1)! n1 的敛散性 u (n 2)! nn1 (n 2) nn1 n 2 1 解： 由 n 1 ，有 un (n 1) n2 (n1)! (n 1) n1 n 1 n 1 (1 1 )n1 n lim un1 lim n 2 1 1 1 ， 2 分 n un n n 1 (1 1 )

35、n1 n e (n 1)! 故由级数收敛的比值判别法，知 n1 n1 收敛 . 3 分 i n n (2) 已知级数 a 2 和 n1 b2 都收敛，试证明级数 a b n1 绝对收敛 . i n 证： 由于级数 a 2 和 n1 b2 都收 敛， 所以 n1 1 (a2 b2 ) 收敛 . 2 分 2 i i 而 a b i n 1 (a2 b2 ) ， n n 2 n n 故由 比 较 判 别 法 ， 知 级数 | anbn | 收敛 ， 即 anbn 绝对 收 敛 . 3 分 n1 五、（本题满分 8 分） n1 已知某商品的需求量和供给量都是价的函数： D D( p) a S S (

36、p) bp ， p2 dp 其中 a0 和 b0 是常数：价格 p 是时间 t 的函数且满足方程 kd( p) s( p), ( k 是常数）， dt 假设当 t=0 时价格为 1.试求： （ 1） 需求量等于供给量时的均衡价格 Pe ； （ 2） 价格函数 p(t) ； （ 3） 极限 lim p(t) . t 郝海龙：考研数学复习大全 配套光盘 1988 年数学试题 参 考解答及评分标准 1988 年 第 16 页 e 解： (1) 当需求量等于供给量时，有 a bp ，即 p3 a . 故 p a 1 ( )3 . 1 分 p2 b e b (2) 由条件知 dp kD( p) S( p

37、) k a bp k b a p3 . dt p2 2 p2 b 因此有 dp k b p 3 p3 ，即 p dp kbdt . 3 分 dt p2 e p3 p 3 在该式两边同时积分得 p3 p3 ce3kbt . 5 分 1 故由条件 P(0) 1，可得 c 1 p3 .于是价格函数为 p(t) p3 (1 p3 )e3kbt 3 . 6 分 e e e 1 (3) lim p(t) lim p3 (1 p3 )e3kbt 3 p 8 分 t t e e e 六、（本题满分 8 分） 在曲线 y x2 (x 0) 上某点 A 处作一切线，使之与曲线以及 x 轴所围图形的面积为 1 ，试求： 12 (1) 切点 A 的坐标； (2) 过切点 A 的切线方程； (3) 由上述所围平面图形绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 . 解： 设切点 A 的坐标为 (a, a2 ) ， 则过点 A 的切线方程的斜率为 y |xa 2a ，切线方程为 y a 2a(x a) ，即 y 2ax a2 .