2022年线性代数公式大全最新修订 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载线 性 代 数 公 式 大 全 最 新 修 订1、 行 列 式1.n行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n行列式；2.代数余子式的性质：、ijA和ija的大小无关；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；3.代数余子式和余子式的关系：( 1)( 1)ijijijijijijMAAM4.设n行列式D：将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)21( 1)n nDD ；将D顺时针或逆时针旋转90o，所得行列式为2D ，则(1)22( 1)n nDD ；将D主对角线翻转后（转置），所得

2、行列式为3D ，则3DD ；将D主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4DD ；5.行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2( 1)n n；、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；、和：副对角元素的乘积(1)2( 1)n n；、拉普拉斯展开式：AOACA BCBOB、( 1)m nCAOAA BBOBCg、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值；6.对于n阶行列式A，恒有：1( 1)nnknkkkEAS，其中kS 为 k 阶主子式；7.证明0A的方法：、AA；、反证法；、构造齐次方程组0Ax，证明其有非零解；、利用秩，证明()r A

3、n ；、证明 0 是其特征值；2、 矩 阵1.A是n阶可逆矩阵：0A（是非奇异矩阵）；( )r An （是满秩矩阵）A的行（列）向量组线性无关；齐次方程组0Ax有非零解；nbR ， Axb总有唯一解；A与E等价；A可表示成若干个初等矩阵的乘积；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载A的特征值全不为0；TA A 是正定矩阵；A的行（列）向量组是nR 的一组基；A是nR 中某两组基的过渡矩阵；2.对于n阶矩阵A：*AAA

4、 AA E无条件恒成立；3.1*111*()()()()()()TTTTAAAAAA*111()()()TTTABB AABB AABBA4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：若12sAAAAO，则：、12sAAAAL；、111121sAAAAO；、111AOAOOBOB；（主对角分块）、111OAOBBOAO；（副对角分块）、11111ACAACBOBOB；（拉普拉斯）、11111AOAOCBBCAB；（拉普拉斯）3、 矩 阵 的 初 等 变 换 与 线 性 方 程 组1.一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其

5、标准形是唯一确定的：rmnEOFOO；等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若()()r Ar BAB:；2.行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非0 元素必须为1；、每行首个非0 元素所在列的其他元素必须为0；3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）、若 (,)(,)rA EEX:，则A可逆，且1XA；、对矩阵 ( ,)A B 做初等行变化，当A变为E时，B就变成1AB，即：1(,)(,)cA BE A B ；、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程 Axb ，如果 (, )(, )rA

6、 bE x:，则A可逆，且1xA b ；4.初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载、12nO，左乘矩阵A，i乘A的各行元素；右乘，i乘A的各列元素；、对调两行或两列，符号( , )E i j ，且1( , )( , )E i jE i j，例如：1111111；、倍乘某行或某列，符号( ( )E i k，且11(

7、 ( )( ()E i kE ik，例如：1111(0)11kkk；、倍加某行或某列，符号( ( )E ij k,且1( )( ()E ij kE ijk，如：11111(0)11kkk；5.矩阵秩的基本性质：、 0()min(, )mnr Am n ；、()()Tr Ar A；、若AB:，则( )()r Ar B ；、若P、 Q 可逆，则( )()()()r Ar PAr AQr PAQ ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）、 max( ( ), ( )( ,)()( )r A r Br A Br Ar B ；（）、()( )()r ABr Ar B ；（）、()min( (), ( )r ABr

8、A r B；（）、如果A是mn矩阵，B是ns矩阵，且0AB，则：（）、B的列向量全部是齐次方程组0AX解（转置运算后的结论）；、()( )r Ar Bn、若A、B均为n阶方阵，则()( )( )r ABr Ar Bn ；6.三种特殊矩阵的方幂：、秩为 1 的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；、型如101001acb的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nnnnmnmmnnnnmmnmnnnnnnmabC aC abC abCa bC bC a bLL；注：、()nab展开后有1n项；、0(1)(1)!11 2 3!()!L Lg g g L

9、 gmnnnnn nnmnCCCmm nm、组合的性质：111102nmnmmmmrnrrnnnnnnnnrCCCCCCrCnC；、利用特征值和相似对角化：7.伴随矩阵：、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr Anr Ar Anr An；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAXX AA AA XX；、*1AA A、1*nAA8.关于A矩阵秩的描述：、()r An ，A中有

10、n阶子式不为0，1n阶子式全部为0；（两句话）、()r An ，A中有n阶子式全部为0；、()r An ，A中有n阶子式不为0；9.线性方程组：Axb ，其中A为mn矩阵，则：、m与方程的个数相同，即方程组Axb有m个方程；、n与方程组得未知数个数相同，方程组Axb为n元方程；10.线性方程组Axb的求解：、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；11.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：、11112211211222221122nnnnmmnmnna xa xa xba xa xa xbaxaxaxbLLL L

11、L L L L L L L L LL；、1112111212222212nnmmmnmmaaaxbaaaxbAxbaaaxbLLMMOMMML（向量方程，A为mn矩阵，m个方程，n个未知数）、1212nnxxaaaxLM（全部按列分块，其中12nbbbM）；、1122nna xa xa xL（线性表出）、有解的充要条件：( )( ,)r Ar An （n为未知数的个数或维数）4、 向 量 组 的 线 性 相 关 性1.m个n维列向量所组成的向量组A：12,mL构成nm矩阵12(,)mAL；m个n维行向量所组成的向量组B：12,TTTmL构成mn矩阵12TTTmBM；含有有限个向量的有序向量组与

12、矩阵一一对应；2.、向量组的线性相关、无关0Ax有、无非零解；（齐次线性方程组）、向量的线性表出Axb是否有解；（线性方程组）、向量组的相互线性表示AXB 是否有解；（矩阵方程）3.矩阵mnA与lnB行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax和0Bx同解； (101P例 14) 4.()()Tr A Ar A；(101P例 15) 5.n维向量线性相关的几何意义：、线性相关0 ；、,线性相关,坐标成比例或共线（平行）；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - -

13、 - - - - - - 学习好资料欢迎下载、,线性相关,共面；6.线性相关与无关的两套定理：若12,sL线性相关，则121,ssL必线性相关；若12,sL线性无关，则121,sL必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上nr个分量，构成n维向量组B：若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7.向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则rs(二版74P定理 7)；向量组A能由向量组B线性表示，则()()r Ar B ；（86P定理 3）向量组A

14、能由向量组B线性表示AXB 有解；()( ,)r Ar A B （85P定理 2）向量组A能由向量组B等价()()( ,)r Ar Br A B （85P定理 2 推论）8.方阵A可逆存在有限个初等矩阵12,lP PPL，使12lAP PPL；、矩阵行等价：rABPAB（左乘，P可逆）0Ax与0Bx同解、矩阵列等价：cABAQB （右乘， Q 可逆）；、矩阵等价：ABPAQB（P、 Q 可逆）；9.对于矩阵m nA与lnB：、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；、若A与B行等价，则0Ax与0Bx同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵A的行

15、秩等于列秩；10.若mss nm nABC，则：、 C 的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；、 C 的行向量组能由B的行向量组线性表示，TA 为系数矩阵；（转置）11.齐次方程组0Bx的解一定是0ABx的解， 考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；、0ABx只有零解0Bx只有零解；、0Bx有非零解0ABx一定存在非零解；12.设向量组12:,nrrBb bbL可由向量组12:,nssAa aaL线性表示为：（110P题 19 结论）1212(,)(,)rsb bba aa KLL（BAK）其中K为sr，且A线性无关，则B组线性无关()r Kr ；（B与K的列向量组具有相同线性相

16、关性）（必要性：()()(), (),()rr Br AKr Kr Krr KrQ；充分性：反证法）注：当rs时，K为方阵，可当作定理使用；13.、对矩阵mnA，存在nmQ，mAQE( )r Am 、 Q 的列向量线性无关；（87P）、对矩阵mnA，存在n mP，nPAE( )r An 、P的行向量线性无关；14.12,sL线性相关存在一组不全为0 的数12,sk kkL，使得11220sskkkL成立；（定义）1212(,)0ssxxxLM有非零解，即0Ax有非零解；12(,)srsL，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15.设mn的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组0Ax的解集 S 的秩为：

17、( )r Snr ；16.若*为 Axb的一个解，12,nrL为0Ax的一个基础解系，则*12,nrL线性无关；（111P题33 结论）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载5、 相 似 矩 阵 和 二 次 型1.正交矩阵TA AE 或1TAA （定义），性质：、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即1( ,1,2,)0Tijija ai jnijL；、若A为正交矩阵，则1TAA 也为正交阵，且1A；、若A、B正交阵

18、，则AB也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2.施密特正交化：12(,)ra aaL11ba ；1222111,b ababb bgL L L121121112211,rrrrrrrrrb ab abababbbb bb bbbggLg; 3.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4.、A与B等价A经过初等变换得到B；PAQB ，P、 Q 可逆；( )( )r Ar B，A、B同型；、A与B合同TC ACB ，其中可逆；Tx Ax 与Tx Bx 有相同的正、负惯性指数；、A与B相似1PAPB ；5.相似一定合同、

19、合同未必相似；若 C 为正交矩阵，则TC ACBAB:，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；6.A为对称阵，则A为二次型矩阵；7.n元二次型Tx Ax 为正定：A 的正惯性指数为n；A 与E合同，即存在可逆矩阵C ，使TC ACE ；A 的所有特征值均为正数；A 的各阶顺序主子式均大于0；0,0iiaA；(必要条件 ) 定理大全1、行列式1. 行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；2. 代数余子式的性质：、 和 的大小无关；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；3. 代数余子式和余子式的关系：4. 设 行列式

20、：将 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；将 顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则 ；将 主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则 ；将 主副角线翻转后，所得行列式为，则；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载5. 行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；、副对角行列式：副对角元素的乘积；、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；、 和 ：副对角元素的乘积；、拉普拉斯展开式：、范德蒙行列式：大指标减小

21、指标的连乘积；、特征值；6. 对于 阶行列式，恒有：，其中为 阶主子式；7. 证明 的方法：、 ；、反证法；、构造齐次方程组，证明其有非零解；、利用秩，证明；、证明 0 是其特征值；2、矩阵1. 是 阶可逆矩阵：（是非奇异矩阵）；（是满秩矩阵）的行（列）向量组线性无关；齐次方程组有非零解；， 总有唯一解；与 等价；可表示成若干个初等矩阵的乘积；的特征值全不为0；是正定矩阵；的行（列）向量组是的一组基；是 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于 阶矩阵：无条件恒成立；3. 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均、 可逆：若 ，则：、 ；

22、、 ；、 ；（主对角分块）、 ；（副对角分块）、 ；（拉普拉斯）、 ；（拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个 矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：；等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵、 ，若 ；2. 行最简形矩阵：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载、只能通过初等行变换获得；、每行首个非0 元素必须为1；、每行首个非0

23、元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）、 若 ，则 可逆，且；、对矩阵做初等行变化，当变为 时，就变成，即：；、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果，则可逆，且；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；、 ，左乘矩阵， 乘 的各行元素；右乘，乘 的各列元素；、对调两行或两列，符号，且 ，例如：；、倍乘某行或某列，符号，且 ，例如：；、倍加某行或某列，符号,且 ，如：；5. 矩阵秩的基本性质：、 ；、 ；、若，则；、若、 可逆，则；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）、 ；

24、（）、 ；（）、 ；（）、如果是 矩阵，是 矩阵，且，则：（）、 的列向量全部是齐次方程组解（转置运算后的结论）；、若、 均为阶方阵，则；6. 三种特殊矩阵的方幂：、秩为 1 的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；、型如的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：；注：、展开后有项；、组合的性质：；、利用特征值和相似对角化：7. 伴随矩阵：、伴随矩阵的秩：；、伴随矩阵的特征值：；、 、8. 关于 矩阵秩的描述：、 ， 中有 阶子式不为0， 阶子式全部为0；（两句话）、 ， 中有 阶子式全部为0；、 ， 中有 阶子式不为0；9. 线性方程组：，其中为 矩阵，则：、 与方

25、程的个数相同，即方程组有 个方程；、 与方程组得未知数个数相同，方程组为 元方程；10. 线性方程组的求解：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载、对增广矩阵进行初等行变换（只能使用初等行变换）；、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由 个未知数个方程的方程组构成元线性方程：、 ；、 （向量方程，为 矩阵，个方程，个未知数）、 （全部按列分块，其中）；、 （线性表出）、有解的充要条件：（

26、 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1. 个 维列向量所组成的向量组： 构成矩阵 ；个 维行向量所组成的向量组： 构成矩阵 ；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. 、向量组的线性相关、无关有、无非零解；（齐次线性方程组）、向量的线性表出是否有解；（线性方程组）、向量组的相互线性表示是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵 与 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组和 同解； ( 例 14) 4. ；( 例 15) 5. 维向量线性相关的几何意义：、 线性相关；、 线性相关坐标成比例或共线（平行）；、 线性相关共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若 线性相关，则必线性相关；若 线

27、性无关，则必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若 维向量组的每个向量上添上个分量，构成维向量组：若 线性无关，则也线性无关；反之若线性相关，则也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组（个数为）能由向量组（个数为）线性表示，且线性无关，则(二版定理 7)；向量组能由向量组线性表示，则；（定理 3）向量组能由向量组线性表示有解；（ 定理 2）向量组能由向量组等价 （ 定理 2 推论）8. 方阵 可逆存在有限个初等矩阵，使；、矩阵行等价：（左乘，可逆）与 同解、矩阵列等价：（右乘，可逆）；、矩阵等价：（ 、 可逆）；9. 对于矩阵与 ：、若

28、与 行等价，则与 的行秩相等；、若与 行等价，则与 同解，且与 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵的行秩等于列秩；10. 若 ，则：、 的列向量组能由的列向量组线性表示，为系数矩阵；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载、 的行向量组能由的行向量组线性表示，为系数矩阵；（转置）11. 齐次方程组的解一定是的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；、只有零解只有零解；、

29、有非零解一定存在非零解；12. 设向量组可由向量组线性表示为：（题 19 结论）（ ）其中 为 ，且线性无关，则组线性无关；（与 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：；充分性：反证法）注：当时， 为方阵，可当作定理使用；13. 、对矩阵，存在，、 的列向量线性无关；（）、对矩阵，存在，、 的行向量线性无关；14. 线性相关存在一组不全为0 的数 ，使得成立；（定义）有非零解，即有非零解；，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设 的矩阵的秩为，则 元齐次线性方程组的解集的秩为：；16. 若 为 的一个解，为 的一个基础解系，则线性无关；（题 33 结论）5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵或

30、 （定义），性质：、 的列向量都是单位向量，且两两正交，即；、若为正交矩阵，则也为正交阵，且；、若、 正交阵，则也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2. 施密特正交化：；; 3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4. 、 与 等价经过初等变换得到；， 、 可逆；， 、 同型；、 与 合同，其中可逆；与 有相同的正、负惯性指数；、 与 相似；5. 相似一定合同、合同未必相似；若 为正交矩阵，则，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；6. 为对称阵，则为二次型矩阵；7. 元二次型为正定：的正惯性指数为；与

31、 合同，即存在可逆矩阵，使 ；的所有特征值均为正数；的各阶顺序主子式均大于0；(必要条件 ) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - - -