doc第一章第二节离散型随机变量的期望与方差一人教版.pdf

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1、第一章第二节 离散型随机变量的期望与方差一课题：12 离散型随机变量的期望与方差（一）教学目的：1 了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望理解公式“ E（a+b）=aE+b” ，以及“若 B（n,p ） ，则 E =np”. 能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望教学重点： 离散型随机变量的期望的概念教学难点： 根据离散型随机变量的分布列求出期望授课类型： 新授课课时安排： 2 课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程 ：一、复习引入：1. 随机变量： 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母、等表示2. 离散型随机

2、变量: 对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4. 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出若是随机变量，baba,是常数，则也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型）5. 分布列 : 设离散型随机变量 可能取得值为x1，x2，, ，x3，, ， 取每一个值xi（i=1，2，, ）的概率为()iiPxp

3、，则称表x1x2,xi,P P1P2,Pi,为随机变量 的概率分布，简称 的分布列6. 分布列的两个性质：Pi0，i1，2，, ；P1+P2+,=17. 离散型随机变量的二项分布: 在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数 是一个随机变量如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是knkknnqpCkP)(， （k0,1,2, ，n，pq1） 于是得到随机变量 的概率分布如下：0 1 ,k ,n P nnqpC0011nnqpC,nkknqpC,0qpCnnn称这样的随机变量 服从二项分布，记作B(n，p

4、) ，其中n，p为参数，并记knkknqpCb(k；n，p)8. 离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数也是一个正整数的离散型随机变量“k”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生. 如果把 k 次试验时事件A发生记为kA、事件 A不发生记为kA，P(kA)=p ，P(kA)=q(q=1-p)，那么112311231()()() () ()() ()kkkkkPkP A A AAAP A P A P AP AP Aqp（k0,1,2, ，pq1） 于精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -

5、- - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 是得到随机变量 的概率分布如下：1 2 3 ,k ,P ppq2q p,1kqp,称这样的随机变量 服从几何分布记作g(k，p)=1kqp，其中k0,1,2, ，pq1二、讲解新课：根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数 的分布列如下4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 在n次射击之前，可以根据这个分布列估计n次射击的平均环数这就是我们今天要学习的离

6、散型随机变量的期望根据射手射击所得环数 的分布列，我们可以估计，在n次射击中，预计大约有nnP02.0)4(次得 4环；nnP04.0)5(次得 5 环；,nnP22.0)10(次得 10 环故在n次射击的总环数大约为n02.04n04.05n22.01002.04(04.05n)22.010，从而，预计n次射击的平均环数约为02.0404.0532.822.010这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平对于任一射手，若已知其射击所得环数 的分布列，即已知各个)(iP（i=0，1，2，, ， 10） ，我们可以同样预计

7、他任意n次射击的平均环数: )0(0P)1(1P,)10(10P1. 数学期望 : 一般地，若离散型随机变量 的概率分布为x1x2,xn ,P p1p2,pn,则称E11px22px,nnpx,为 的数学期望，简称期望2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平3. 平均数、 均值 : 一般地，在有限取值离散型随机变量 的概率分布中， 令1p2p,np，则有1p2p,精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - -

8、 - npn1，E1(x2x,nxn1)，所以 的数学期望又称为平均数、均值4. 期望的一个性质: 若ba(a、b是常数 ) ， 是随机变量，则 也是随机变量，它们的分布列为x1x2,xn ,bax1bax2,baxn,P p1p2,pn,于是E11)(pbax22)(pbax,nnpbax)(,11(pxa22px,nnpx,)1( pb2p,np,) baE，由此，我们得到了期望的一个性质:baEbaE)(5. 若B（n,p ） ，则 E=np 证明如下：knkknknkknqpCppCkP)1()(，E0nnqpC001111nnqpC2222nnqpC, kknkknqpC, n0qp

9、Cnnn又11)!1()1()!1()!1()!( !knknnCknknnknknkkC，E(np100nnqpC2111nnqpC, )1()1(111knkknqpC , )0111qpCnnnnpqpnpn 1)(故若 B(n，p) ，则Enp三、讲解范例：例 1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1 分，罚不中得0 分，已知他命中的概率为0.7 ，求他罚球一次得分的期望解：因为3 .0)0(,7 .0)1(PP，所以7.03.007.01E例 2.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数的期望解：6,2, 1,6/1)(iiP，6/166/126/11E=3.5例 3. 有一批数量很大的产品

10、，其次品率是15% ，对这批产品进行抽查，每次抽取1 件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数比超过10 次 求抽查次数的期望（结果保留三个有效数字）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 解：抽查次数取 010 的整数，从这批数量很大的产品中抽出1 件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是 0.15 ，取出正品的概率是0.85 ，前1k次取出正品而第k次（k=1，2，, ， 9）取出正品的概率

11、：15. 085.0)(1kkP（k=1，2，, ， 9）需要抽查 10 次即前 9 次取出的都是正品的概率：985.0)10(P由此可得的概率分布如下：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P0.15 0.1275 0.1084 0.092 0.0783 0.0666 0.0566 0.0481 0.0409 0.2316 根据以上的概率分布，可得的期望35.52316.0101275.0215.01E例 4. 一次英语单元测验由20 个选择题构成，每个选择题有4 个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5 分，不作出选择或选错不得分，满分100 分 学生甲选对任一题的

12、概率为0.9 ，学生乙则在测验中对每题都从 4 个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是,，则 B （20,0.9 ）,)25.0 ,20( B,525.020,189.020EE由于答对每题得5 分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和 5所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：2555)(5)5(,90185)(5)5(EEEE例 5随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数 的数学期望解：抛掷骰子所得点数 的概率分布为1 2 3 4 5 6 P 616161616161所以E161261361461561

13、661(1 23456) 613.5 抛掷骰子所得点数 的数学期望，就是 的所有可能取值的平均值例 6某城市出租汽车的起步价为10 元，行驶路程不超出4km时租车费为10 元，若行驶路程超出4km，则按每超出 lkm 加收 2 元计费 ( 超出不足 lkm 的部分按 lkm 计) 从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程( 这个城市规定，每停车5分钟按 lkm 路程计费 ) ，这个司机一次接送旅客的行车路程 是一个随机变量设他所收租车费为() 求租车费 关于行车路程 的关系式；() 若随机变量 的分

14、布列为15 16 17 18 P 0.1 0.5 0.3 0.1 求所收租车费 的数学期望精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - () 已知某旅客实付租车费38 元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟? 解： ( ) 依题意得 =2( -4) 十 10，即 =2+2；( )E4.161.0183 .0175.0161.015 =2 +2 E2E +2=34.8 （元）故所收租车费 的数学期望为34.8 元

15、() 由 38=2+2，得 =18，5(18-15)=15 所以出租车在途中因故停车累计最多15 分钟四、课堂练习 ：1. 口袋中有 5 只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3 球，以表示取出球的最大号码，则E（）A 4；B5；C4.5 ；D4.75答案： C 2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1 分，罚不中得0 分已知某运动员罚球命中的概率为0.7 ，求他罚球 1次的得分 的数学期望；他罚球 2次的得分 的数学期望；他罚球 3次的得分 的数学期望解：因为7 .0)1(P，3.0)0(P，所以E1)1(P07 .0)0(P 的概率分布为0 1 2 P 3.03. 07. 012C7.0

16、所以E009.0142.0298.01.4 的概率分布为2 3P 33.0133.07.0C3.07.0223C37.0所以E0027.01189.0298.02.1. 3设有m升水，其中含有大肠杆菌n个今取水 1 升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为，求 的数学期望分析：任取1 升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是m1，事件“ =k”发生，即n个大肠杆菌中恰有k个在此升水中，由n次独立重复实验中事件A（在此升水中含一个大肠杆菌）恰好发生k次的概率计算方法可求出P( =k),进而可求E. 解：记事件A： “在所取的1 升水中含一个大肠杆菌”，则 P(A)=m1P( =k)=Pn(k)=Ckn

17、m1)k(1 m1)nk（k=0,1,2,.,n） B(n,m1) ，故E=nm1=mn精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 五、小结：(1) 离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2) 求离散型随机变量 的期望的基本步骤：理解 的意义，写出 可能取的全部值；求 取各个值的概率，写出分布列；根据分布列，由期望的定义求出E公式 E（a+b）= aE +b，以及服从二项分布的随机变量的期望E =np 六、课后作业 ：1.

18、一袋子里装有大小相同的3 个红球和两个黄球，从中同时取出2 个，则其中含红球个数的数学期望是（用数字作答）解：令取取黄球个数 (=0 、1、2) 则的要布列为0 1 2 p 10353101于是 E（） =0103+153+2101=0.8 故知红球个数的数学期望为1.2 2. 袋中有 4个黑球、 3 个白球、 2 个红球，从中任取2 个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1 分，每取到一个红球记2 分，用表示得分数求的概率分布列求的数学期望解：依题意的取值为 0、1、2、3、4 =0 时，取 2 黑 p(=0)=612924CC=1 时，取 1 黑 1 白 p(=1)=31291314

19、CCC=2 时，取 2 白或 1 红 1 黑 p(=2)= 2923CC+3611291412CCC=3 时，取 1 白 1 红，概率 p(=3)= 61291213CCC=4 时，取 2 红，概率 p(=4)= 3612922CC分布列为（2）期望 E=061+131+23611+361+4361=9143. 学校新进了三台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分别为 p1、p2、p3，求试验中三台投影仪产生故障的数学期望0 1 2 3 4 p 6131361161361精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - -

20、欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 解：设表示产生故障的仪器数，Ai表示第 i 台仪器出现故障（i=1 、 2、3）iA表示第 i 台仪器不出现故障，则：p(=1)=p(A12A3A)+ p(1AA23A)+ p(1A2AA3) =p1(1 p2) (1p3)+ p2(1 p1) (1p3)+ p3(1 p1) (1 p2) = p1+ p2+p32p1p22p2p32p3p1+3p1p2p3p(=2)=p(A1 A2A)+ p(A12A3A)+ p(1AA2A3) = p1p2 (1 p3)+ p1p3(

21、1 p2)+ p2p3(1 p1) = p1p2+ p1p3+ p2p33p1p2p3p(=3)=p(A1 A2A3)= p1p2p3 E=1p(=1)+2p(=2)+3p(=3)= p1+p2+p3注：要充分运用分类讨论的思想，分别求出三台仪器中有一、二、三台发生故障的概率后再求期望4. 一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2 个黄球，从中同时取出2 个，含红球个数的数学期望是 1.2 解：从 5 个球中同时取出2 个球，出现红球的分布列为0 1 2 P 1 .02522CC6 .0251213CCC3.02523CC2.13.026 .011 .00E5. A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛

22、，每队三名队员，A队队员是321,AAA，B队队员是321,BBB，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：对阵队员A队队员胜的概率B队队员胜的概率A1对 B13231A2对 B25253A3对 B35253现按表中对阵方式出场，每场胜队得1 分，负队得0 分，设A队，B队最后所得分分别为，（1）求，的概率分布；（ 2）求E，E解： （），的可能取值分别为3，2，1，02535353310,525253315352315353321,75285253325252315352322,2785252323PPPP精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢

23、迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 根据题意知3，所以25303,5212,752821,75830PPPPPPPP（）15222530521752827583E；因为3, 所以15233EE七、板书设计 （略）八、课后记：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -