17全国高中数学联合竞赛加试A卷参考答案及评分标准.pdf
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1、2017 年全国高中数学联合竞赛加试全国高中数学联合竞赛加试(A 卷)卷) 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 说明:说明: 1评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分 2如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,10 分为一个档次,不得不得增加其他中间档次增加其他中间档次 一一、 (本题满分(本题满分 4 40 0 分)分)如图,在ABC中,ABAC=,I为ABC的内心以A为圆心,AB为半径作圆1,以I为圆心,IB为半径作圆2,过点B、I的圆3与1、2分别交于点P、Q(不同于点B) 设IP与BQ交于点R 证明:BRCR (答(答
2、题时请将图画在答卷纸上)题时请将图画在答卷纸上) 证明证明:连接IB,IC,IQ,PB,PC 由于点Q在圆2上,故IBIQ=,所以IBQIQB= 又B,I,P,Q四点共圆,所以IQBIPB= ,于是IBQIPB= , 故IBPIRB,从而有IRBIBP= ,且 IBIPIRIB= 10 分 注意到ABAC=,且I为ABC的内心,故IBIC=,所以 ICIPIRIC=, 于是ICPIRC,故IRCICP= 20 分 又点P在圆1的弧BC上,故11802BPCA=,因此 BRCIRBIRCIBPICP= += + 360BICBPC= 113609018022AA=+ 90=, 故BRCR 40
3、分 ABCIPQR二二、 (本题满分(本题满分 4 40 0 分)分)设数列na定义为11a , 1,1,2,nnnnnananananan+=若若 求满足20173rar 的正整数r的个数 解解: 由数列的定义可知121,2aa= 假设对某个整数2r 有rar=, 我们证明对1,1tr=,有 2122121,2rtrtartrtartrt+=+ += +,21(1)2(1)12rraarrrrr+=+=+= +,结论成立 设对某个11tr +, 2221(21)2(21)122rtrtaartrtrtrtrt+=+=+ += , 偶数均满足rar, 其中的偶数比奇数少 1 个 因此满足201
4、73rar 的正整数r的个数为 2017201713201932018122 40 分 三三、 (本题满分(本题满分 5 50 0 分)分) 将33 33方格纸中每个小方格染三种颜色之一, 使得每种颜色的小方格的个数相等 若相邻两个小方格的颜色不同, 则称它们的公共边为“分隔边” 试求分隔边条数的最小值 解解:记分隔边的条数为L首先,将方格纸按如图分成三个区域,分别染成三种颜色, 粗线上均为分隔边,此时共有 56 条分隔边,即56L = 10 分 下面证明56L 将方格纸的行从上至下依次记为1233,A AA,列从左至右依次记为1233,B BB 行iA中方格出现的颜色数记为()in A, 列
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