高考数学复习专题：函数零点的性质问题.pdf

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1、函数零点的性质 - 1 - / 11 第 11 炼 函数零点的性质 一、基础知识： 1、函数零点，方程，图像交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化，且这三者各具特点： （1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点 （2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫 （3）图像的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间。 三者转化：函数( )f x的零点方程( )0f x =的根方程变形方程( )( )g xh x=的根函数( )g

2、 x与( )h x的交点 2、此类问题的处理步骤： （1）作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像 （2）确定变量范围：通过图像与交点位置确定参数和零点的取值范围 （3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值， 3、常见处理方法： （1）代换法：将相等的函数值设为t，从而用t可表示出12,x x L，将关于12,x x L的表达式转化为关于t的一元表达式，进而可求出范围或最值 （2）利用对称性解决对称点求和：如果12,x x关于xa=轴对称，则122xxa+=；同理，若12,x x关于(),0a中心对称，则也有122xxa

3、+=。将对称的点归为一组，在求和时可与对称轴（或对称中心）找到联系 二、典型例题： 例 1： 已知函数( )lgf xx=， 若0ab， 且( )( )f af b=， 则2ab+的取值范围是 （ ） A. ()2 2,+ B. )2 2,+ C. ()3,+ D. )3,+ 函数零点的性质 - 2 - / 11 思路：先做出( )f x的图像，通过图像可知，如果( )( )f af b=，则01ab=，由, a b范围可得：lg0,lg0ab，从而lglgttataebtbe= =，所 以122ttabee+=+， 而0te ， 所 以()123,ttee+ 答案：C 小炼有话说： （1）此

4、类问题如果( )f x图像易于作出，可先作图以便于观察函数特点 （2）本题有两个关键点，一个是引入辅助变量t，从而用t表示出, a b，达到消元效果，但是要注意t是有范围的（通过数形结合yt=需与( )yf x=有两交点） ；一个是通过图像判断出, a b的范围，从而去掉绝对值。 例 2：已知函数( )()2015cos,0,2log,xxf xxx=+ ，若有三个不同的实数, ,a b c，使得( )( )( )f af bf c= ，则abc+的取值范围是_ 思路：( )f x的图像可作，所以考虑作出( )f x的图像，不妨设abc，且( )( )()2015log0,1cf cf a=，

5、 所 以20150log12015cc， 从 而()()2 ,2016abcc+=+ 答案：()2 ,2016 小炼有话说：本题抓住, a b关于2x=对称是关键，从而可由对称求得ab+=，使得所求式子只需考虑c的范围即可 函数零点的性质 - 3 - / 11 例 3：定义在R上的奇函数( )f x，当0 x 时，( )12log (1),0,113 ,1,xxf xxx+= +，则关于x的函数( )( )(01)F xf xaa=时，函数图象由两部分构成，分别作出各部分图像。( )F x的零点，即为方程( )0fxa=的根，即( )fx图像与直线ya=的交点。 观察图像可得有 5 个交点：1

6、2,x x关于3x = 对称，126xx+= ，30 x 且满足方程()()()333fxafxafxa= = = 即()132log1xa+=，解得：312ax = ，45,x x关于3x =轴对称，456xx+= 1234512axxxxx+= 答案：B 例 4：已知113k，函数( )21xf xk=的零点分别为()1212,x xxx，函数( )2121xkg xk=+的零点分别为()3434,x xxx，则()()4321xxxx+的最小值为（ ） A. 1 B. 2log 3 C. 2log 6 D. 3 思路： 从( )( ),f xg x解析式中发现12,x x可看做21xy

7、=与yk=的交点，34,x x可看做21xy =与21kyk=+的交点， 且12340,0 xx xx， 从而1234,x x x x均可由k进行表示，所以()()4321xxxx+可转化为关于k的函数，再求最小值即可 函数零点的性质 - 4 - / 11 解：由图像可得：12340,0 xx xx 3124121221,212121xxxxkkkkkk= =+ = =+ ()()1222log1,log1xkxk=+ 322422131log1log,log1log21212121kkkkxxkkkk+=+=+ ()()43212222311314loglogloglog31111kkkxx

8、xxkkkk+=+= +1,13kQ )433,1k + ()()43212log 3,xxxx+ 答案：B 例 5：已知函数( )()31log113xf xx=有两个不同的零点12,x x，则（ ） A. 121x x + D. 1212xxxx+ 思路：可将零点化为方程()31log113xx=+的根，进而转化为( )()3log1g xx=与( )113xh x=+的 交 点 ， 作 出 图 像 可 得1212xx， 从 而函数零点的性质 - 5 - / 11 ()()()()()321211212log1101110 xxxxx xxx +，即1212x xxx+=)( ,3)0(|

9、,ln|)(333exxeexxxf，存在321xxx，)()()(321xfxfxf=，则23)(xxf的最大值为 思路：先作出( )f x的图像，观察可得：312301xxex ，所求23)(xxf可先减少变量个数，利用()()32f xf x=可得：()232222()lnf xf xxxxx=，从而只需求出lnxyx=在()31,e的最小值即可：21lnxyx=，所以函数lnxyx=在()1,e单增，在()3, e e单减。从而maxln1eyee= 答案：1e 例 7： 已知定义在R上的函数( )f x满足：( )222,0,12,1,0 xxf xxx+= ， 且()( )2f x

10、f x+=，( )252xg xx+=+，则方程( )( )f xg x=在区间5,1上的所有实根之和为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 思路：先做图观察实根的特点，在)1,1中，通过作图可发 现( )f x在()1,1关 于()0,2中 心 对 称 ， 由()( )2f xf x+=可得( )f x是周期为 2 的周期函数，则在下一个周期()3, 1 中，( )f x关于()2,2中心对称，以此类推。从而做出( )f x的图像（此处要注意区间端点值 在 何 处 取 到 ） ， 再 看( )g x图 像 ，( )251222xg xxx+=+，可视为将1yx=的图像向左平移 2

11、个单位后再向上平移 2 个单函数零点的性质 - 6 - / 11 位，所以对称中心移至()2,2，刚好与( )f x对称中心重合，如图所示：可得共有 3 个交点123xxx，直线ym=与函数( )f x的图像相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为, , ,a b c d，有以下四个结论 )3,4m )40,abcde 562112,2abcdeeee+ 若关于x的方程( )f xxm+=恰有三个不同实根，则m的取值唯一 则其中正确的结论是（ ） A. B. C. D. 思路：本题涉及到m的取值，及 4 个交点的性质，所以先作出( )f x的图像， 从而从图上确定存在4个交点时，m的范

12、围是)3,4，所以正确。从图像上可看出, a b在同一曲线，, c d 在同一曲线上，所以在处理时将, a b放在一组，, c d放在一组。 涉及到根的乘积，一方面, a b为方程223xxm+=的两根，所以由韦达定理，可得3abm=， 而, c d为方程2lnxm=的两根， 且20ced， 从而2lnln2cd=，即4ln4cdcde=，所以有()4430,abcdmee=，正确 由中的过程可得：2ab+= ，2lnln2cdm=，所以22,mmcede+=，从而222122mmmmabcdeeeee+= += +， 而)3,4m，)34,mee e 设( )212mmf meee= +，则

13、( )f m为增函数，所以( )562112,2f meeee+ 正确 函数零点的性质 - 7 - / 11 可将问题转化为( )yf x=与yxm= +的交点个数问题，通过作图可得m的值不唯一 综上所述：正确 答案：A 例9 ： 已 知 函 数( )()()()log1 , 110,121,13axxf xaafxax+ +， 若12xx， 且()()12f xf x=，则12xx+的值（ ） A. 恒小于 2 B. 恒大于 2 C. 恒等于 2 D. 与a相关 思路：观察到当11x 时，( )f x为单调函数，且13x时，( )f x的图像相当于作()1,1x 时关于1x =对称的图像再进

14、行上下平移，所以也为单调函数。由此可得()()12f xf x=时，12,x x必在两段上。设12xx ，可得12113xx ，考虑使用代换法设()()12f xf xt=，从而将12,x x均用, a t表示，再判断12xx+与2的大小即可。 解：设()()12f xf xt=，不妨设12113xx ，则2121x ()11log11taxtxa+= = ()122log313taaxatxa+ + = = 1122ttaxxaa+ +=+ 若01a，则xya=为减函数，且11ttattaaa+ 122xx+ 若1a ，则xya=为增函数，且11ttattaaa+ + 122xx+ 12xx

15、+的值恒大于 2 答案：B 例 10：定义函数348,12,2( )1( ),2.22xxf xxfx=，则函数( )( )6g xxf x=在区间1,2 n（*Nn）内的所有零点的和为（ ） An B2n C 3(21)4n D3(21)2n 函数零点的性质 - 8 - / 11 思路：从1( )22xf xf=可得：函数( )f x是以()12,2nn区间为一段，其图像为将前一段图像在水平方向上拉伸为原来的 2 倍，同时竖直方向上缩为原来的12，从而先作出1,2x时的图像，再依以上规律作出 12,4 , 4,8 , 2,2nnL的图像，( )g x的零点无法直接求出，所以将( )0g x

16、=转化为( )6f xx=，即( )yf x=与( )6h xx=的交点。通过作图可得，其交点刚好位于每一段中的极大值点位置，可 归 纳 出()12,2nn中 极 大 值 点 为1223224nnnnx+=， 所 以 所 有 零 点 之 和 为()()2 2133214212nnS= 答案：D 小炼有话说： （1）本题考查了合理将x轴划分成一个个区间，其入手点在于( )2xf的出现，体现了横坐标之间 2 倍的关系，从而所划分的区间长度成等比数列。 （2）本题有一个易错点，即在作图的过程中，没有发现( )6h xx=恰好与( )f x相交在极大值点处，这一点需要通过计算得到：当32x =时，(

17、)( )334,32322fhfh=，从而归纳出规律。所以处理图像交点问题时，如果在某些细节很难通过作图直接确定，要通过函数值的计算来确定两图像的位置 三、近年模拟题题目精选 1、 （、 （2016 四川高三第一次联考）已知函数四川高三第一次联考）已知函数( )111,0,2212,22xxxf xx+=，若存在，若存在12,x x，当，当1202xx时，时，( )()12f xf x=，则，则()()122x f xf x的取值范围为（的取值范围为（ ） A. 23 20,4 B. 9 23 2,164 C. 91,162 D. 23 21,42 2、 （、 （2016，苏州高三调研）已知函

18、数，苏州高三调研）已知函数( )()sin0,f xxkx xkR=有且只有三个零点，设有且只有三个零点，设函数零点的性质 - 9 - / 11 此三个零点中的最大值为此三个零点中的最大值为0 x，则，则()02001sin2xxx=+_ 3、已知函数、已知函数( )( )( )2 ,ln ,1xf xxg xxx h xxx=+=+=的零点分别为的零点分别为123,x x x，则，则123,x x x的大小关系是的大小关系是_ 4、已知函数、已知函数( )31log3xf xx=的零点为的零点为0 x，有，有0abc使得使得( ) ( ) ( )0f a f b f c ，则下列结论不可能成

19、立的是（则下列结论不可能成立的是（ ） A. 0 xa C. 0 xc D. 0 xc，若方程( )f xa=有四个不同的解1234xxxx，则()123411xxxx+的取值范围是（ ） A. 10,2 B. 10,2 C. 10,2 D. )0,1 6、 已知函数、 已知函数( )2log,02sin,2104xxf xxx=， 若存在实数， 若存在实数1234,x xx x， 满足， 满足1234xxxx，且且()()()()1234f xf xf xf x=，则，则()()341222xxx x的取值范围是（的取值范围是（ ） A. ()4,16 B. ()0,12 C. ()9,21

20、 D. ()15,25 习题答案： 1、答案：答案：C 函数零点的性质 - 10 - / 11 解析：如图可知：解析：如图可知：12211 1,122 2xx ()()() ()() ()()12212111111112x f xf xxf xxf xxx=+ 22111111922416xxx= ( )9111622g xg= 2、答案：12 解析：( )sin0sinf xxkxxkx=，即sinyx=与ykx=恰有三个公共点，通过数形结合可得：横坐标最大值0 x为直线与曲线在3,2相切的切点。设改点()00,A xy，sinyx=的导数为cosyx=，所以00000000sinsinco

21、scosyxxxykxxx=，代入到所求表达式可得：()0002200000sincos121sin2sin1sin2cosxxxxxxxx=+ 3、答案：123xxx 解析：( )( )02,0lnxf xx g xxx= = ， 在同一坐标系下作出2 ,ln ,xyyx yx= 如图所示可得1201xx，从而123xxx 4、答案：C 函数零点的性质 - 11 - / 11 解 析 ： 可 判 断 出( )f x为 减 函 数 ， 则( ) ( ) ( )0f a f b f c 。所以( )f x的零点必在()1,a中，即0 xa时，由( )0f c 和( )f x为减函数即可得到( )

22、f x不再存在零点。 5、答案：B 解析：作出( )f x的图像可知若( )f xa=有四个不同的解，则(0,1a，且在这四个根中，12,x x关于直线1x = 对称，所以122xx+= ，341xx，所以2324loglogaxx= =，即34122aaxx=，所以( )()1234111222aag axxxx=+= +，由(0,1a可得( )g a的范围是10,2 6、答案：B 解析：不妨设()()()()1234f xf xf xf xa=，作出( )f x的图像可知若ya=与( )yf x=有四个不同交点，则()0,1a，且12341,xx x x关于6x =轴对称。所以有21221234loglog112xxx xxx=+=即()()()343434341212222420 xxx xxxx xx xx x+= 因为34341212xxxx+=，所以()()()()3444412221220,8,10 xxxxxx x=，求出该表达式的范围即为()0,12