高考数学复习专题：数列求和.pdf

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1、1.公式法公式法 对于等差数列和等比数列对于等差数列和等比数列,在求和时可直接套用它们的前在求和时可直接套用它们的前n项项和公式和公式: 等差数列前等差数列前n项和公式项和公式:Sn=na1+ 等比数列前等比数列前n项和公式项和公式: Sn= 1()(1).22nn aan nd11,1,(1),1.1nnaqaqqq另外另外,还有一些常见的求和公式还有一些常见的求和公式: (1)1+2+3+n= (2)1+3+5+(2n-1)=n2, (3)12+22+32+n2= (1),2n n(1)(21).6n nn2.倒序相加法倒序相加法 一个数列如果一个数列如果距首末两项等距离的两项和距首末两项

2、等距离的两项和相等相等,那么求这个那么求这个数列的前数列的前n项和可用倒序相加法项和可用倒序相加法.如等差数列前如等差数列前n项和公式项和公式的推导的推导. 3.错位相减法错位相减法 如果当数列的每一项可分解为两个因式的乘积如果当数列的每一项可分解为两个因式的乘积,各项的第一各项的第一个因子成公差为个因子成公差为d的等差数列的等差数列,第二个因子成公比为第二个因子成公比为q的等的等比数列比数列,可将此数列前可将此数列前n项的和乘以项的和乘以公比公比q,然后错项相减从然后错项相减从而求出而求出Sn. 4.拆项分组法拆项分组法 把不能直接求和的数列分解成把不能直接求和的数列分解成几个可以求和几个可

3、以求和的数列的数列,分别求分别求和和. 5.裂项相消法裂项相消法 把数列的每一项变为把数列的每一项变为两数之差两数之差,以便大部分项能以便大部分项能“正正” “负负”相消相消,只剩下有限的几项只剩下有限的几项.裂项时可直接从通项入手裂项时可直接从通项入手,并且要并且要判断清楚消项后余下哪些项判断清楚消项后余下哪些项,常用的裂项公式为常用的裂项公式为: 111(1)(1)11111(2)(1)(1)2113 n n!n1 ! n!n nnnnnnn6.并项转化法并项转化法 有时候把两项并成一项考虑有时候把两项并成一项考虑,也可以实现我们的转化目的也可以实现我们的转化目的.通通常适用于数列中各项的

4、符号是正负间隔的情况常适用于数列中各项的符号是正负间隔的情况. 考点陪练考点陪练 m*1.f xxaxfx2x1,nNn()1( )2.111.1f nnnABnnnnCDnn设函数的导函数则数列的前 项和是 m 1n1111,( )(1)1:fxmxa2x1,a1,m2,f xx x1 ,SA.1.f nn nnnnn 解析用裂项法求和得故选答案答案:A 2.已知已知an= (nN*),记数列记数列an的前的前n项和为项和为Sn,则使则使Sn0的的n的最小值为的最小值为() A.10 B.11 C.12 D.13 3211n 101111:f x,f 1f 2f 100,S0.n 11,f

5、n0,311,02af 110,S0.B.112Px解析 构造函数此函数关于点对称故即当 时故选答案答案:B 3.首项为首项为2,公比为公比为3的等比数列的等比数列,从第从第n项到第项到第N项的和为项的和为720,则则n,N的值分别为的值分别为( ) A.2,6 B.2,7 C.3,6 D.3,7 解析解析:由题意知由题意知SN-Sn-1=720, 代入得代入得 解得解得n=3,N=6,故选故选C. 答案答案:C 12(1 3 )2(1 3)720,1 31 3Nn nnn51,(1)4.5.1.611.anS ,aS630()n nABCD数列的前 项和为若则等于n5111,(1)11111

6、11511.223566S6: an nnn 解析答案答案:B 5.(2010黄冈中学月考题黄冈中学月考题)化简化简Sn=n+(n-1)2+(n-2)22+22n-2+2n-1的结果是的结果是( ) A.2n+1+n-2 B.2n+1-n+2 C.2n-n-2 D.2n+1-n-2 解析解析:将将Sn两边同时乘以两边同时乘以2,可以得到可以得到:2Sn=2n+(n-1)22+(n-2)23+22n-1+2n,与与Sn=n+(n-1)2+(n-2)22+22n-2+2n-1两边同时相减可得到两边同时相减可得到2Sn-Sn=-n+(2+22+23+2n-1)+2n=-n+ +2n,Sn=-n+2n

7、-2+2n=2n+1-n-2.故选故选D. 答案答案:D 12(1 2)1 2n类型一类型一 公式法求和公式法求和 解题准备解题准备:如果数列是等差数列或等比数列等特殊数列时如果数列是等差数列或等比数列等特殊数列时,直直接应用求和公式求解接应用求和公式求解. nnn1a,a65(),2()n.,Snnnn为奇数【典例 】已知数列通项为偶数求其前 项和 解解当当n为奇数时为奇数时, 奇数项组成以奇数项组成以a1=1为首项为首项,公差为公差为12的等差数列的等差数列,偶数项组成偶数项组成以以a2=4为首项为首项,公比为公比为4的等比数列的等比数列. 12nn121(165)4(14)(1)(32)

8、4(21)2;214232(165)4(14 )(32)4(21)2Sn,.S.21423nnnnnnnnnnnnn当 为偶数时 奇数项和偶数项各有项类型二类型二 分组转化法求和分组转化法求和 解题准备解题准备:1.有一类数列有一类数列,既不是等差数列既不是等差数列,也不是等比数列也不是等比数列,但但若把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合若把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合,就就能转化为等差数列或等比数列能转化为等差数列或等比数列.从而可以利用等差、等比从而可以利用等差、等比数列的求和公式解决数列的求和公式解决.这种求和方法叫分组转化法这种求和方法叫分组转化法. 2.此类问题

9、求解的关键是要分析研究数列的通项公式此类问题求解的关键是要分析研究数列的通项公式. 212 (2010)n:1 1114,37n12,naaa【典例 】武汉 求下面数列的前 项和212n121111111147321 nS1 1S111147(32),111,1a1,Sn;a1,S1.nnnnnnnaaanaaaaaaaaa 解 前 项和为设当时当时2n12n121(31).2(31)(31);221(31)S1473n2a1SSSna1,S.S2Snnnnnnnnnannaa 当时当时 反思感悟反思感悟有一类数列有一类数列,既不是等差数列既不是等差数列,也不是等比数列也不是等比数列.若若将这

10、类数列适当拆开将这类数列适当拆开,可分为几个等差可分为几个等差 等比或常见的数列等比或常见的数列,即能分别求和即能分别求和,然后再合并然后再合并. 类型三类型三 裂项相消法求和裂项相消法求和 解题准备解题准备:1.裂项相消法是分解与组合思想在数列求和中的具裂项相消法是分解与组合思想在数列求和中的具体应用体应用,其实质是将数列中的某些项分解其实质是将数列中的某些项分解,然后重新组合然后重新组合,使使之能消去一些项之能消去一些项,最终达到求和的目的最终达到求和的目的. 2.数列中的每一项均能分裂成一正一负两项数列中的每一项均能分裂成一正一负两项,这是裂项相消法这是裂项相消法使用的前提使用的前提,一

11、般地一般地,形如形如 (其中其中an是等差数列是等差数列)的的数列可尝试采用此法数列可尝试采用此法.常用的裂项技巧有常用的裂项技巧有: 11nnaa11 11(1);()11(2)();1111(3);(21)(21)2 21211111(4).(1)(2)2(1)(1)(2)n nkknnknknknknnnnnn nnn nnn11212311,1,1,1,1233444200822007,200832008【典例 】数列 nnnn21, 1a ,a;2bbn.nna a写出它的通项并说明数列是等差数列设求数列的前 项之和 分析分析准确写出准确写出an的表达式的表达式,然后用裂项相消法然后

12、用裂项相消法. nn 1nn 1 a1aa1211 2(1)11.2211,22a1,212.nnnnnnnnn 解因为所以数列是首项为 公差为 的等差数列 2nn14112,(1)(3)131111111111224354621311112b2.2323bnnna annnnnnnnnn因为所以数列的前 项和为类型四类型四 错位相减法求和错位相减法求和 解题准备解题准备:错位相减法是推导等比数列的前错位相减法是推导等比数列的前n项和公式时所用项和公式时所用的方法的方法,也是数列求和中经常用到的一种方法也是数列求和中经常用到的一种方法. 【典例典例4】已知数列已知数列an是等差数列是等差数列,

13、且且a1=2,a1+a2+a3=12. (1)求数列求数列an的通项公式的通项公式; (2)令令bn=anxn(xR).求数列求数列bn的前的前n项和公式项和公式. 分析分析用错位相减法解用错位相减法解(2). 解解(1)设数列设数列an公差为公差为d,则则a1+a2+a3=3a1+3d=12, a1=2,d=2,an=2n. (2)令令Sn=b1+b2+bn,则由则由bn=anxn=2nxn, 得得Sn=2x+4x2+(2n-2)xn-1+2nxn. xSn=2x2+4x3+(2n-2)xn+2nxn+1. 当当x1时时,减去减去,得得(1-x)Sn=2(x+x2+xn)-2nxn+1= -

14、2nxn+1, Sn= 2 (1)1nxxx122 (1)2.(1)1nnxxnxxxn1n2x1,S242nn n(1),1,2 (1)2,1.(S11 .)1nnn nxxxnxxxx当时综上可得错源一错源一 思维定势思维定势,数错项数数错项数 23n13411,1n2S2.22nnnn【典例 】求数列的前 项和223123n121nn1,22312221231222212111122222211112221.12212aS,S3nnnnnnnnnnnnnSnSnn 错解 所给数列的通项公式为则 得 剖析剖析本题的错误原因在于乘公比错位相减后本题的错误原因在于乘公比错位相减后,中间是中间是

15、n-1项项求和求和,错当成了错当成了n项和项和,对相减后的结构认识不清楚或认识对相减后的结构认识不清楚或认识模糊模糊. 223nn123n121111,223122212312222111111222221111332211222123.aS,S32nnnnnnnnnnnnnnSnSnnn 正解 所给数列的通项公式为则 得错源二错源二 忽略基本忽略基本“特征特征” 【典例典例2】已知两个等差数列已知两个等差数列an和和bn的前的前n项和为项和为Sn和和Tn,且对一切正整数且对一切正整数n都有都有 试求试求 的值的值. 53,27nnSnTn99ab 错解错解设设Sn=(5n+3)k,Tn=(2

16、n+7)k, 则则a9=S9-S8=(59+3)k-(58+3)k=5k. b9=T9-T8=(29+7)k-(28+7)k=2k. 因此因此 剖析剖析错解忽略了等差数列前错解忽略了等差数列前n项和公式的基本项和公式的基本“特征特征”.其其实实,等差数列的前等差数列的前n项和是关于项和是关于n的二次函数的二次函数,且常数项为零且常数项为零. 9955.22akbk 正解正解设设Sn=(5n+3)nk,Tn=(2n+7)nk, 那么那么,a9=S9-S8=(59+3)9k-(58+3)8k=88k, b9=T9-T8=(29+7)9k-(28+7)8k=41k, 因此因此 998888.4141

17、akbk技法一技法一 分类讨论思想分类讨论思想 【典例典例1】定义定义“等和数列等和数列”:在一个数列中在一个数列中,如果每一项与它如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数那么这个数列叫做等和数列列,这个常数叫做该数列的公和这个常数叫做该数列的公和. 已知数列已知数列an是等和数列是等和数列,且且a1=2,公和为公和为5,那么那么a18的值为的值为_;这个数列的前这个数列的前n项和项和Sn的计算公式为的计算公式为_. 解题切入点解题切入点本题重点考查同学们在新情境下的独立分析问本题重点考查同学们在新情境下的独立分析问题和解决问题的能力题和解决问

18、题的能力. 解析解析由定义知由定义知a1+a2=a2+a3=a2k-1+a2k=a2k+a2k+1=5.且且a1=2, 所以所以a1=a3=a2k+1=2, a2=a4=a2k=3.所以所以a18=3. nnnnnn, a2,3,S23;n, a2,5222221122115123.2225(),251()3,SS.2nnnnnnnnnnnnnn 当 为偶数时中有个个当 为奇数时中有个个为偶数所以为奇数n5(),251().2 3Snnnn为偶数答案为奇数技法二技法二 函数思想函数思想 【典例典例2】若数列若数列an的前的前n项和项和Sn=n2-10n(n=1,2,3,),则此则此数列的通项公

19、式为数列的通项公式为_;数列数列nan中数值最小的项是中数值最小的项是第第_项项. 解析解析当当n2时时, an=Sn-Sn-1 =n2-10n-(n-1)2+10(n-1) =2n-11. 当当n=1时时,S1=a1=-9,也满足式也满足式. 所以所以an=2n-11. nan=(2n-11)n=2n2-11n. 所以所以n= 时时,nan最小最小. 由于由于nN*,所以所以n=3时时,使得使得nan最小最小. 故通项公式为故通项公式为an=2n-11,数列数列nan中数值最小的项是第中数值最小的项是第3项项. 答案答案an=2n-113 114 方法与技巧方法与技巧本题第一问注意本题第一问注意an=Sn-Sn-1满足满足n2时时,能否合能否合写成一个通项公式写成一个通项公式,需要验证需要验证n=1的情况的情况.而第二问是利用而第二问是利用二次函数的思想二次函数的思想,由于二次函数开口向上由于二次函数开口向上,最小值在对称轴最小值在对称轴上取得上取得,但是由于但是由于nN+,所以最小值在距离对称轴较近的所以最小值在距离对称轴较近的整数整数n上取得上取得.体现了数列与函数的密切关系体现了数列与函数的密切关系.