高考数学复习专题：平面解析几何.pdf

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1、第八模块第八模块 平面解析几何平面解析几何 ( (必修必修2:2:第三章第三章 直线与方程直线与方程; ;第四第四章章 圆与方程圆与方程; ;选修选修1 1- -1:1:第二章第二章 圆圆锥曲线方程锥曲线方程) ) 第三十七讲第三十七讲 直线的倾斜角直线的倾斜角 斜斜率及直线方程率及直线方程 回归课本回归课本 1.1.直线的倾斜角直线的倾斜角 在直角坐标系中在直角坐标系中, ,对于与对于与x x轴相交的直线轴相交的直线, ,以以x x轴轴为基准为基准,x,x轴正轴正向与向与直线向上直线向上的方向所成的角叫做直线的倾斜角的方向所成的角叫做直线的倾斜角, ,当直线当直线与与x x轴平行或重合轴平行

2、或重合时时, ,规定它的倾斜角为规定它的倾斜角为0 0. .因此因此, ,倾斜角倾斜角的范围是的范围是00,180,180) ). . 2.2.直线的斜率直线的斜率 直线倾斜角直线倾斜角 的的正切值正切值叫做这条直线的斜率叫做这条直线的斜率, ,即斜率即斜率k=k=tantan ( ( 9090) ). .设两点设两点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2),(x),(x1 1xx2 2),),则过这两点的斜率则过这两点的斜率 注意注意: :因为当因为当 =90=90时时,tan,tan 不存在不存在, ,所以此时直线不存在所以此时直线不存在斜率

3、斜率, ,即与即与x x轴垂直的直线没有斜率轴垂直的直线没有斜率, ,在坐标关系上在坐标关系上, ,表现为表现为该直线上任意两点横坐标相同该直线上任意两点横坐标相同. .但任何直线都有倾斜角但任何直线都有倾斜角, ,且且倾斜角范围为倾斜角范围为00,180,180).). 2121.yykxx3.3.直线方程的形式直线方程的形式 (1)(1)点斜式点斜式: : 方程的形式为方程的形式为y y- -y y1 1=k(x=k(x- -x x1 1) ). .不能用点斜式表示的直线为不能用点斜式表示的直线为与与x x轴垂直的直线轴垂直的直线. . (2)(2)两点式两点式: : 方程的形式为方程的形

4、式为 不能用两点式表示的直线不能用两点式表示的直线为为与坐标轴垂直的直线与坐标轴垂直的直线. . 112121,yyxxyyxx(3)(3)斜截式斜截式: : 方程的形式为方程的形式为y=kx+by=kx+b, ,不能用斜截式表示的直线为不能用斜截式表示的直线为与与x x轴垂直轴垂直的直线的直线. . (4)(4)截距式截距式: : 方程的形式为方程的形式为 不能用截距式表示的直线为不能用截距式表示的直线为与坐与坐标轴平行或经过原点的直线标轴平行或经过原点的直线. . 1,xyab(5)(5)一般式一般式: : 方程的形式为方程的形式为Ax+By+C=0(AAx+By+C=0(A B B不同时

5、为不同时为0 0),),它是关于它是关于x x、y y的的二二元一次方程元一次方程. . 注意注意: :以上几种直线方程的形式以上几种直线方程的形式, ,每一种方程形式都有其各自每一种方程形式都有其各自成立的条件和适用范围成立的条件和适用范围. .我们用待定系数法求出方程的形我们用待定系数法求出方程的形式式, ,还要注意验证不满足该方程形式的直线是否符合题意还要注意验证不满足该方程形式的直线是否符合题意, ,若满足题意若满足题意, ,还应再加上该直线还应再加上该直线. . 考点陪练考点陪练 23. 0,. 0,44.1.(2010)lA 2,1B 1,m(m0,. 0R),l,442ABCD山

6、东淄博 直线 经过、两点那么直线 的倾斜角的取值范围是（ ）22:1,ktan ,0,111 20,l.42mkm 解析又所以 的倾斜角的取值范围为答案答案:D:D 2.(20102)2x3my1,m(, 2)2,),_. 福建福州 月设直线的倾斜角为若则角 的取值范围是2,2 32,330,.3:tan0tan0tan61.4mmm 解析 据题意知或或34: 0,6答案3.3.设直线设直线ax+by+c=0ax+by+c=0的倾斜角为的倾斜角为 , ,且且sinsin +cos+cos =0,=0,则则a a、b b满足满足( )( ) A.a+b=1 B.aA.a+b=1 B.a- -b=

7、1b=1 C.a+b=0 D.aC.a+b=0 D.a- -b=0b=0 解析解析:0:0 180180, ,又又sinsin +cos+cos =0,tan=0,tan = =- -1,1, 即即 ,a,a- -b=0.b=0. 答案答案:D:D 1ab 4.4.设直线设直线l l与与x x轴的交点是轴的交点是P,P,且倾斜角为且倾斜角为 , ,若将此直线绕点若将此直线绕点P P按时针方向旋转按时针方向旋转4545, ,得到直线的倾斜角为得到直线的倾斜角为 +45+45, ,则则( ( ) ) A.0A.0 180180 B.0B.0 135135 C.0C.0 135135 D.0D.0

8、135135 解析解析: :注意直线倾斜角的取值范围注意直线倾斜角的取值范围, ,直线直线l l与与x x轴相交轴相交, ,其倾斜其倾斜角不能为角不能为0 0, ,由由 得得0 0 135135. . 答案答案:D:D 0180 ,045180 ,5.5.过点过点P(1,2)P(1,2)且在两坐标轴上截距相等的直线的条数是且在两坐标轴上截距相等的直线的条数是 ( ( ) ) A.1A.1条条 B.2B.2条条 C.3C.3条条 D.4D.4条条 解析解析: :注意有直线过原点时截距相等为注意有直线过原点时截距相等为0 0和不过原点时倾斜角和不过原点时倾斜角为为135135两种情况两种情况. .

9、 答案答案:B:B 类型一类型一 直线的倾斜角和斜率直线的倾斜角和斜率 解题准备解题准备: :直线的斜率与倾斜角的关系直线的斜率与倾斜角的关系 设直线设直线l l的倾斜角为的倾斜角为 , ,斜率为斜率为k.k. (1)0(1)0 180180,k(,k(- -,+).,+). (2)(2)当当 =0=0时时,k=0;,k=0;当当0 0 900.,k0. 当当 =90=90时时,k,k不存在不存在; ;当当9090 180180时时,k0.,k0. (3)(3)当当0 0 9090时时,k,k随着随着 的增大而增大且的增大而增大且k0;k0; 当当9090 180180时时,k,k随着随着 的

10、增大而增大且的增大而增大且k0.k0,b0,a0,b0,则当且仅当直线则当且仅当直线l l的斜率为的斜率为 时时, ,直直线线l l与与x x轴轴,y,y轴的正半轴围成的轴的正半轴围成的ABOABO的面积的面积S S取得最小值取得最小值2ab.2ab. ba错源一忽视了直线斜率的变化随倾斜角变化的关系以及直线错源一忽视了直线斜率的变化随倾斜角变化的关系以及直线倾斜角为倾斜角为9090时直线无斜率而致错时直线无斜率而致错 1A 2,1 ,B2,2 ,lAB,lk_15_4,5.P【典例 】已知点若直线 过点且总与线段有交点 则直线 的斜率 的取值范围是311,.7611 3,.6 7,PAlkP

11、APBkPBk 错解 如图所示由经过两点的直线的斜率公式可得 直线的斜率的斜率所以直线 的斜率的取值范围是 剖析剖析 在直线在直线l l的允许活动范围内的允许活动范围内,l,l的倾斜角连续变化时的倾斜角连续变化时, ,直线斜率的变化并不一定连续直线斜率的变化并不一定连续, ,当直线当直线l l垂直于垂直于x x轴轴( (即直线即直线l l的倾斜角为的倾斜角为9090) )时时, ,直线直线l l的斜率不存在的斜率不存在. .出错的原因是出错的原因是忽视了直线斜率的变化与倾斜角变化的关系忽视了直线斜率的变化与倾斜角变化的关系, ,忽视直线倾忽视直线倾斜角为斜角为9090时直线无斜率时直线无斜率.

12、 . lPAPPB,llx,lxl,PB,l311311,.7676PAPBkkkkkk 正解当直线 由位置绕点 转动到位置时 的斜率逐渐变大直至当 垂直于 轴时 当直线 垂直于 轴时 无斜率再转时斜率为负值逐渐变大直到的位置 所以直线 的斜率或 即 或 31176kk或 答案 评析评析 当直线的倾斜角当直线的倾斜角 00,90,90) )时时, ,随着随着 的增大的增大, ,直线的斜率直线的斜率k k为非负值且逐渐变大为非负值且逐渐变大; ;当直线倾斜角当直线倾斜角 (90(90,180,180) )时时, ,随着随着 的增大的增大, ,直线的斜率直线的斜率k k为负值为负值且逐渐变大且逐渐

13、变大. . 错源二错源二 混淆“截距”与“距离”或忽视截距为零混淆“截距”与“距离”或忽视截距为零 【典例典例2 2】求过定点求过定点P(2,1)P(2,1)且与坐标轴围成的三角形的面积且与坐标轴围成的三角形的面积为为4 4的直线方程的直线方程. . P 2,1 ,a2bab,ab8,1.211,14;22a4,b2.x,82y40.,xyabababababab错解 设所求的直线方程为因为直线过点所以即又由题意可得即由可得解得故所求直线方程为 剖析剖析 错解误将直线在错解误将直线在x x轴和轴和y y轴上的截距作为距离使用轴上的截距作为距离使用. . P 2,1 ,a2bab1.211,1|

14、 4,224212214021221,40.xyabababxyxyxy正解 设所求的直线方程为因为直线过点所以即直线与两坐标轴围成的三角形的面积为由易得所求直线或方程为或 评析评析 截距不是距离截距不是距离, ,直线的横直线的横( (纵纵) )截距是指直线与横截距是指直线与横( (纵纵) )轴交点的横轴交点的横( (纵纵) )坐标坐标. .因为截距是一个点的横或纵坐标因为截距是一个点的横或纵坐标, ,所所以截距可正以截距可正 可负可负, ,也可以为零也可以为零. .如果不说明横或纵截距如果不说明横或纵截距, ,只只说截距通常是指纵截距说截距通常是指纵截距. .当题目中出现“截距相等”当题目中

15、出现“截距相等” “截截距的绝对值相等”距的绝对值相等” “截距互为相反数”截距互为相反数”,“,“在一坐标轴上在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的的截距是另一坐标轴上的截距的m m倍倍(m0)”(m0)”等条件时等条件时, ,若若采用截距式求直线方程采用截距式求直线方程, ,都要考虑“零截距”的情况都要考虑“零截距”的情况. . 技法一技法一 巧用斜率求函数最值巧用斜率求函数最值 ,x,ya,b,.ybybxaxa对形如的函数 在求其最值时 可以将看成动点与定点所在直线的斜率 先利用条件求得直线斜率的取值范围 进而求得所求函数的最值21141_.xzx【典例 】函数的值域为22222xy

16、1(y0),x,yxy1(1,1.y0),zx4,y4,1.xyyzx解析 设则有即点为半圆 上的点 即所以 可看成点与点所在直线的斜率10,.310z,.,3如图所示 可得斜率的取值范围为即 的取值范围为10,3答案技法二技法二 巧用斜率证三点共线巧用斜率证三点共线 我们知道我们知道, ,如果三点如果三点A,B,CA,B,C在同一条直线上在同一条直线上, ,那么直线那么直线ABAB的斜的斜率与直线率与直线BCBC的斜率相等的斜率相等. .利用这一特征利用这一特征, ,我们可以借助直线我们可以借助直线的斜率证明三点共线的斜率证明三点共线. .如典例如典例2 2的解法一即是的解法一即是. . 【

17、典例典例2 2】已知三点已知三点A(1,A(1,- -1),B(3,3),C(4,5).1),B(3,3),C(4,5). 求证求证:A,B,C:A,B,C三点在同一条直线上三点在同一条直线上. . 解解 解法一解法一:A(1,:A(1,- -1),B(3,3),C(4,5),1),B(3,3),C(4,5), kkABAB=2,k=2,kBCBC=2,k=2,kABAB=k=kBCBC, ,故故A,B,CA,B,C三点共线三点共线. . 解法二解法二:A(1,:A(1,- -1),B(3,3),C(4,5),1),B(3,3),C(4,5), |AB|+|BC|=|AC|,|AB|+|BC|=|AC|,即即A,B,CA,B,C三点共线三点共线. . | 2 5,|5,| 3 5,ABBCAC