河北师范大学《高等数学》课件-第十一章 曲线积分与曲面积分.pptx

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1、第十一章第十一章积分学积分学 定积分二重积分三重积分定积分二重积分三重积分积分域积分域 区间域区间域 平面域平面域 空间域空间域 曲线积分曲线积分曲线域曲线域曲面域曲面域曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 第一节第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 对弧长的曲线积分对弧长的

2、曲线积分 第十一章第十一章 AB一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占假设曲线形细长构件在空间所占弧段为弧段为AB , 其线密度为其线密度为),(zyx“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 求极限求极限” kkkks),(可得可得nk 10limM为计算此构件的质量为计算此构件的质量, ,ks1kMkM),(kkk1.1.引例引例: 曲线形构件的质量曲线形构件的质量采用采用机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 设设 是空间中一条有限长的光滑曲线是空间中一条有限长的光滑曲线,义在义在 上的一个有界函数上的一个

3、有界函数, kkkksf),(都存在都存在,),(zyxf 上上对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,记作记作szyxfd),(若通过对若通过对 的的任意分割任意分割局部的局部的任意取点任意取点, 2. .定义定义是定),(zyxf下列下列“乘积和式极限乘积和式极限”则称此极限为函数则称此极限为函数在曲线在曲线或第一类曲线积分或第一类曲线积分.),(zyxf称为称为被积函数，被积函数， 称为称为积分弧段积分弧段 .曲线形构件的质量曲线形构件的质量szyxMd),(nk 10limks1kMkM),(kkk和对和对机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 如果如果 L 是是 xoy

4、 面上的曲线弧面上的曲线弧 ,kknkksf),(lim10Lsyxfd),(如果如果 L 是闭曲线是闭曲线 , 则记为则记为.d),(Lsyxf则定义对弧长的曲线积则定义对弧长的曲线积分为分为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考思考:(1) 若在若在 L 上上 f (x, y)1, ?d 表示什么问Ls(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否否! 对弧长的曲线积分要求对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中但定积分中dx 可能为负可能为负.表示表示曲线弧曲线弧 的长度的长度.3. 性质性质szyxfd ),()

5、1 (szyxfkd),()2(（k 为常数为常数)szyxfd),()3( 由由 组成组成) 21, sd)4( l 为曲线弧为曲线弧 的长度的长度),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(szyxfkd),(l21d),(d),(szyxfszyxf机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 tttttfsdyxfLd)()()(, )(),(22二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路基本思路:计算定积分计算定积分转转 化化定理定理:),(yxf设且且)()(tty上的连续函数上的连续函数,是定义在光滑曲线弧是定义在光滑曲线弧则曲线积分则曲

6、线积分),(:txL,d),(存在Lsyxf求曲线积分求曲线积分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 对光滑曲线弧对光滑曲线弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(xx d)(12例例1. 计算计算,dLsx其中其中 L 是抛物线是抛物线2xy 与点与点 B (1,1) 之间的一段弧之间的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsxd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上点上点 O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2

7、. 计算曲线积分计算曲线积分 ,d)(222szyx其中其中 为螺旋为螺旋的一段弧的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax线线机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 zyxo例例3. 计算计算,d2sx其中其中 为球面为球面 2222azyx被平面被平面 所截的圆周所截的圆周. 0zyx解解: 由对称性可知由对称性可知sx d2szyxsxd)(31d2222s

8、a d312aa2312332asy d2sz d2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 内容小结内容小结1. 定义定义kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性质性质kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(d),()2(szyxfszyxfszyxf),(21组成由ls d)3( l 曲线弧曲线弧 的长度的长度)Lszyxfd),(),(为常数szyxgLd),(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3. 计算计算 对光滑曲线弧对光滑曲线弧, )( , )(, )

9、(:ttytxLLsyxfd),( 对光滑曲线弧对光滑曲线弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(tttd)()(22xx d)(12)(),(ttf机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 作业作业 P193 3 (1) , (2) 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 第二节第二节一、对坐标的曲线积分的概念一、对坐标的曲线积分的概念 与性质与性质二、二、 对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 对坐标的曲线积分对坐标的曲线

10、积分 第十一章第十一章 一、一、 对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1. 引例引例: 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用设一质点受如下变力作用在在 xoy 平面内从点平面内从点 A 沿光滑曲线弧沿光滑曲线弧 L 移动到点移动到点 B, ABLxy求移求移cosABFW “大化小大化小” “常代变常代变”“近似和近似和” “取极限取极限”变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功解决办法解决办法:动过程中变力所作的功动过程中变力所作的功W.ABF ABF),(, ),(),(yxQyxPyxF机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1

11、kMkMABxy1) “大化小大化小”.2) “常代变常代变”L把把L分成分成 n 个小弧段个小弧段,有向小弧段有向小弧段kkMM1),(kkyx近似代替近似代替, ),(kk则有则有kkkkyQxP),(),(kk所做的功为所做的功为,kWF 沿沿kkMM1kkkkMMFW1),(k),(kkFnkkWW1则则用有向线段用有向线段 kkMM1kkMM1上任取一点上任取一点在在kykx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3) “近似和近似和”4) “取极限取极限”nkW1kkkkkkyQxP),(),(nkW10limkkkkkky)Q(x)P,(1kMkMABxyL)

12、,(kkFkykx(其中其中 为为 n 个小弧段的个小弧段的 最大长度最大长度)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2. 定义定义. 设设 L 为为xoy 平面内从平面内从 A 到到B 的一条的一条有向光滑有向光滑弧弧,若对若对 L 的的任意任意分割和在局部弧段上分割和在局部弧段上任意任意取点取点, 都存在都存在,在有向曲线弧在有向曲线弧 L 上上对对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10lim则称此极限为函数则称此极限为函数或或第二类曲线积分第二类曲线积分. 其中其中, ),(yxPL 称为称为积分弧

13、段积分弧段 或或 积分曲线积分曲线 .称为称为被积函数被积函数 , 在在L 上定义了一个向量函数上定义了一个向量函数极限极限),(, ),(),(yxQyxPyxF记作记作),(yxF),(yxQ机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 LxyxPd),(,),(lim10nkkkkxPLyyxQd),(,),(lim10nkkkkyQ若若 为空间曲线弧为空间曲线弧 , 记记称为对称为对 x 的曲线积分的曲线积分;称为对称为对 y 的曲线积分的曲线积分.若记若记, 对坐标的曲线积分也可写作对坐标的曲线积分也可写作)d,(ddyxs LLyyxQxyxPsFd),(d),(d)

14、,(, ),(, ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxFzzyxRyzyxQxzyxPsFd),(d),(d),(d)d,d,(ddzyxs 类似地类似地, 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3. 性质性质(1) 若若 L 可分成可分成 k 条有向光滑曲线弧条有向光滑曲线弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(kiLiyyxQxyxP1d),(d),(2) 用用L 表示表示 L 的反向弧的反向弧 , 则则LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(则则 定积分是第二类曲线积分的特例定积分是第二类曲线积分的特例.说明说明: :

15、 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向 !机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法定理定理:),(, ),(yxQyxP设在有向光滑弧在有向光滑弧 L 上有定义且上有定义且L 的参数方程为的参数方程为)()(tytx,:t则曲线积分则曲线积分LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ连续连续,存在存在, 且有且有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 特别是特别是, 如果如果 L 的方程为的方程为,:),(baxxy则

16、则xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(对空间光滑曲线弧对空间光滑曲线弧 :类似有类似有zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),()(t)(t)(t)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd )(, )(),(tttP,:)()()(ttztytx定理定理 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1. 计算计算,dLxyx其中其中L 为沿抛物线为沿抛物线xy 2解法解法1 取取 x 为参数为参数, 则则OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023

17、xxyyyyxyxLd)(d2112xyxy 解法解法2 取取 y 为参数为参数, 则则11:,:2yyxL54d2114yy从点从点xxxd10的一段的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到)1 , 1(B)1, 1( Aoyx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2. 计算计算其中其中 L 为为,:, 0aaxyyBAoaa x(1) 半径为半径为 a 圆心在原点的圆心在原点的 上半圆周上半圆周, 方向为逆时针方向方向为逆时针方向;(2) 从点从点 A ( a , 0 )沿沿 x 轴到点轴到点 B ( a , 0 ). 解解: (1) 取取L的参数方程为的参数

18、方程为,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2ttadsin2203332a(2) 取取 L 的方程为的方程为xyLd2ta202sinttad)sin(132334aaaxd00则则则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 yxo例例3. 计算计算,dd22yxxyxL其中其中L为为(1) 抛物线抛物线 ; 10:,:2xxyL(2) 抛物线抛物线 ;10:,:2yyxL(3) 有向折线有向折线 .:ABOAL解解: (1) 原式原式22xxxx d4103(2) 原式原式yyy222yy d5104(3) 原式原式yxxyxOAdd22102d)002

19、(xxx1)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(xxxd)2210(yyd)4yxxyxABdd2210d)102(yy11机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧设有向光滑弧 L 以弧长为参数的参数方程为以弧长为参数的参数方程为)0()(, )(lssyysxx已知已知L切向量的方向余弦为切向量的方向余弦为sysxddcos,ddcos则两类曲线积分有如下联系则两类曲线积分有如下联系LyyxQxyxPd),(d),(ssysysxQsxsysxPlddd)(),(dd)(),(0ssysxQsy

20、sxPldcos)(),(cos)(),(0LsyxQyxPdcos),(cos),(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 类似地类似地, 在在空间曲线空间曲线 上的两类曲线积分的联系是上的两类曲线积分的联系是zRyQxPdddsRQPdcoscoscos机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1. 定义定义kkkknkyQxP),(),(limkk10LyyxQxyxPd),(d),(2. 性质性质(1) L可分成可分成 k 条有向光滑曲线弧条有向光滑曲线弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1

21、(2) L 表示表示 L 的反向弧的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(对坐标的曲线积分必须注意对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!内容小结内容小结机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3. 计算计算,)()(:tytxL: tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),( )(),()(t)(t 对有向光滑弧对有向光滑弧 对有向光滑弧对有向光滑弧baxxyL:, )(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束

22、 zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(, )(),(tttP)(t)(t)(t4. 两类曲线积分的联系两类曲线积分的联系LyQxPddsQPLdcoscoszRyQxPdddsRQPdcoscoscos)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd 对空间有向光滑弧对空间有向光滑弧 :机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 作业作业 P203 3 (1), (2) 第三节第三节 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第三节第三节一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的二、平面上曲线积分

23、与路径无关的 等价条件等价条件机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 格林公式及其应用格林公式及其应用 第十一章第十一章 LD区域区域 D 分类分类单单连通区域连通区域 ( 无无“洞洞”区域区域 )多多连通区域连通区域 ( 有有“洞洞”区域区域 )域域 D 边界边界L 的的正向正向: 域的内部靠左域的内部靠左定理定理1. 设区域设区域 D 是由分段光滑正向曲线是由分段光滑正向曲线 L 围成围成,则有则有, ),(yxP),(yxQLDyQxPyxyPxQdddd( 格林公式格林公式 )函数函数在在 D 上具有连续一阶偏导数上具有连续一阶偏导数,一、一、 格林公式格林公式机动

24、机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 推论推论: 正向闭曲线正向闭曲线 L 所围区域所围区域 D 的面积的面积LxyyxAdd21格林公式格林公式LDyQxPyxyPxQdddd例如例如, 椭圆椭圆20,sincos:byaxL所围面积所围面积LxyyxAdd212022d)sincos(21ababab定理定理1 1 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1. . 设设 L 是一条分段光滑的闭曲线是一条分段光滑的闭曲线, 证明证明0dd22yxxyxL证证: 令令,22xQyxP则则yPxQ利用格林公式利用格林公式 , 得得yxxyxLdd22022xxDy

25、xdd00机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2. 计算计算,dd2Dyyxe其中其中D 是以是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域为顶点的三角形闭域 . 解解: 令令, 则则2, 0yexQPyPxQ利用格林公式利用格林公式 , 有有Dyyxedd2Dyyexd2yexOAyd2yeyyd102)1(211exy oyx) 1 , 1 (A) 1 , 0(BD2ye机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2. 设设D 是单连通

26、域是单连通域 ,),(),(yxQyxP在在D 内内具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,(1) 沿沿D 中任意光滑闭曲线中任意光滑闭曲线 L , 有有.0ddLyQxP(2) 对对D 中任一分段光滑曲线中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分曲线积分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d(4) 在在 D 内每一点都有内每一点都有.xQyPLyQxPdd与路径无关与路径无关, 只与起止点有关只与起止点有关. 函数函数则以下四个条件等价则以下四个条件等价:在在 D 内是某一函数内是某一函数的全微分的全微分,即即 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明说明:

27、 根据定理根据定理2 , 若在某区域内若在某区域内,xQyP则则2) 求曲线积分时求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求可用积分法求d u = P dx + Q dy在域在域 D 内的原函数内的原函数.若积分路径不是闭曲线若积分路径不是闭曲线, 可可添加辅助线添加辅助线;1) 计算曲线积分时计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径可选择方便的积分路径;定理定理2 2 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 内容小结内容小结1. 格林公式格林公式LyQxPdd2. 等价条件等价条件在在 D 内与路径无关内与路径无关.yPxQ在在 D 内有内有yQxPudddyxyPxQDddLyQxPdd对对 D 内任意闭曲线内任意闭曲线 L 有有0ddLyQxP在在 D 内有内有设设 P, Q 在在 D 内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数, 则有则有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 作业作业 P217 6 (1); 7 (1) ;