河北师范大学《高等数学》课件-第十章 重积分.ppt

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1、第十章第十章一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分重重 积积 分分 三、二重积分的性质三、二重积分的性质 第一节第一节一、引例一、引例 二、二重积分的定义与可积性二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质 第十章第十章 解法解法: 类似定积分解决问题的思想类似定积分解决问题的思想:一、引例一、引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体给定曲顶柱体:0),(yxfz底：底： xoy 面上的闭区域面

2、上的闭区域 D顶顶: 连续曲面连续曲面侧面：侧面：以以 D 的边界为准线的边界为准线 , 母线平行于母线平行于 z 轴的柱面轴的柱面求其体积求其体积.“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 求极限求极限” D),(yxfz 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定积分问题举例定积分问题举例1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线设曲边梯形是由连续曲线)0)()(xfxfy，轴及x以及两直线以及两直线bxax,所围成所围成 , 求其面积求其面积 A .?A机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )(xfy 矩形面积矩形面积ahh

3、aahb梯形面积梯形面积)(2bah1xix1ixxabyo解决步骤解决步骤 :1) 大化小大化小.在区间在区间 a , b 中中任意任意插入插入 n 1 个分点个分点bxxxxxann1210,1iiixx用直线用直线ixx 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形个小曲边梯形;2) 常代变常代变.在第在第i 个窄曲边梯形上个窄曲边梯形上任取任取作以作以,1iixx为底为底 ,)(if为高的小矩形为高的小矩形, 并以此小并以此小梯形面积近似代替相应梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积窄曲边梯形面积,iA得得)()(1iiiiiixxxxfA),2, 1,nii机动机动 目录目录 上页上页

4、 下页下页 返回返回 结束结束 3) 近似和近似和.niiAA1niiixf1)(4) 取极限取极限. 令令, max1inix则曲边梯形面积则曲边梯形面积niiAA10limniiixf10)(lim机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xabyo1xix1ixiD),(yxfz 1)“大化小大化小”用用任意任意曲线网分曲线网分D为为 n 个区域个区域n,21以它们为底把曲顶柱体分为以它们为底把曲顶柱体分为 n 个个2)“常代变常代变”在每个在每个k, ),(kk3)“3)“近似和近似和”nkkVV1nkkkkf1),(),(kkf),2, 1(),(nkfVkkkk则

5、则中中任取任取一点一点小曲顶柱体小曲顶柱体k),(kk机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 4)“4)“取极限取极限”的直径为定义kkk,PPPP2121max)(令令)(max1knknkkkkfV10),(lim),(yxfz ),(kkfk),(kk机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2. 平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片有一个平面薄片, 在在 xoy 平面上占有区域平面上占有区域 D ,),(Cyx计算该薄片的质量计算该薄片的质量 M .度为度为),(),(常数若yx设设D 的面积为的面积为 , 则则M若若),(yx非常数非常数

6、 , 仍可用仍可用其面密其面密 “大化小大化小, 常代变常代变,近似和近似和, 求极限求极限” 解决解决.1)“大化小大化小”用用任意任意曲线网分曲线网分D 为为 n 个小区域个小区域,21n相应把薄片也分为小区域相应把薄片也分为小区域 .D机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 yx2)“常代变常代变”中中任取任取一点一点k在每个),(kk3)“近似和近似和”nkkMM1nkkkk1),(4)“取极限取极限”)(max1knk令nkkkkM10),(limk),(kk),2, 1(),(nkMkkkk则第则第 k 小块的质量小块的质量机动机动 目录目录 上页上页 下页下页

7、 返回返回 结束结束 yx两个问题的两个问题的共性共性：(1) 解决问题的步骤相同解决问题的步骤相同(2) 所求量的结构式相同所求量的结构式相同“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 取极限取极限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲顶柱体体积曲顶柱体体积: 平面薄片的质量平面薄片的质量: 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定义定义:),(yxf设将区域将区域 D 任意任意分成分成 n 个小区域个小区域),2,1(nkk任取任取一点一点,),(kkk若存在一个常数若存在一个常数 I

8、, 使使nkkkkfI10),(lim可积可积 , ),(yxf则称Dyxfd),(),(yxfI为称在在D上的上的二重积分二重积分.称为积分变量yx,积分和积分和Dyxfd),(积分域积分域被积函数被积函数积分表达式积分表达式面积元素面积元素记作记作是定义在有界区域是定义在有界区域 D上的有界函数上的有界函数 , 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 DyxfVd),(引例引例1中曲顶柱体体积中曲顶柱体体积:DyxMd),(引例引例2中平面薄板的质量中平面薄板的质量:如果如果 在在D上可积上可积,),(yxf也常也常d,ddyx二重积分记作二重积分记作.dd),(Dyx

9、yxf,kkkyx 这时这时分区域分区域D , 因此面积元素因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划可用平行坐标轴的直线来划 记作记作Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数若函数),(yxf),(yxf在在D上可积上可积.在有界闭区域在有界闭区域 D上连续上连续, 则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 三、二重积分的性质三、二重积分的性质Dyxfkd),(. 1( k 为常数为常数)Dyxgyxfd),(),(. 221d),(d),(d),(. 3DDDyxfyxfy

10、xf, 1),(. 4yxfD上若在DDdd1 为为D 的面积的面积, 则则 ),(2121无公共内点DDDDDDyxfkd),(DDyxgyxfd),(d),(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 特别特别, 由于由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(则则Dyxfd),(Dyxd),(5. 若在若在D上上),(yxf, ),(yxDyxfd),(6. 设设),(min),(maxyxfmyxfMDDD 的面积为的面积为 ,MyxfmDd),(则有则有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1. 比较下列积分的大小比较下列积分的大

11、小:d)(,d)(32DDyxyx其中其中2) 1()2( :22yxD解解: 积分域积分域 D 的边界为圆周的边界为圆周1 yx332)()(yxyx2) 1()2(22yx它与它与 x 轴交于点轴交于点 (1,0) ,.1相切与直线 yx而域而域 D 位位, 1 yx从而从而d)(d)(32DDyxyx于直线的上方于直线的上方, 故在故在 D 上上 1y2xo1D机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2. 估计下列积分之值估计下列积分之值10:coscos100ddI22yxDyxyxD解解: D 的面积为的面积为200)210(2由于由于yx22coscos10

12、01积分性质积分性质6100200I102200即即: 1.96 I 210101010D10011021xyo机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 7.(二重积分的中值定理二重积分的中值定理),(yxf设函数,),(D),(),(fdyxfD在闭区域在闭区域D上上 为为D 的面积的面积 ,则至少存在一点则至少存在一点使使连续连续,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xbad 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为设曲顶柱的底为bxaxyxyxD)()(),(21任取任取, ,0bax 平面平面0 xx 故曲顶柱体体积为故曲顶柱

13、体体积为DyxfVd),(yyxfxAxxd),()()()(000201截面积为截面积为yyxfxxd),()()(21baxxAd )(截柱体的截柱体的)(2xy)(1xyzxyoab0 xD机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ydcxo)(2yx)(1yxyydcd dycyxyyxD),()(),(21同样同样, 曲顶柱的底为曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算则其体积可按如下两次积分计算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcyd机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例3. 计算计算.d

14、d)(sin2200yxyxI解解:)cos(yx 0220yd20dcossinyyyyysincos2xyxyId)(sind220002机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 内容小结内容小结1. 二重积分的定义二重积分的定义Dyxfd),(iiinif),(lim10)dd(dyx2. 二重积分的性质二重积分的性质 (与定积分性质相似与定积分性质相似)3. 曲顶柱体体积的计算曲顶柱体体积的计算二次积分法二次积分法机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 *三、二重积分的换元法三、二重积分的换元法 第二节第二节一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角

15、坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二重积分的计算法二重积分的计算法 第十章第十章 一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分且在且在D上连续时上连续时, 0),(yxf当被积函数bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd由曲顶柱体体积的计算可知由曲顶柱体体积的计算可知, 若若D为为 X 型区域型区域 则则)(1xy)(2xyxboyDax若若D为为Y 型区域型区域dycyxyD)()(:21y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd

16、),()()(21dcydDyxyxfdd),(则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 oxy说明说明: (1) 若积分区域既是若积分区域既是X型区域又是型区域又是Y 型区域型区域 , Dyxyxfdd),(为计算方便为计算方便,可可选择积分序选择积分序, 必要时还可以必要时还可以交换积分序交换积分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc则有则有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若积分域较复杂若积分域较复杂,可将它分成若干可将它分成若干1D2D3DX-型域或型域或Y-型域型域 , 321DDD

17、D则则 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xy211xy o221d y例例1. 计算计算,dDyxI其中其中D 是直线是直线 y1, x2, 及及yx 所围成的闭区域所围成的闭区域. x解法解法1. 将将D看作看作X型区域型区域, 则则:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 将将D看作看作Y型区域型区域, 则则:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy89y1xy2xy 121 x2 xy21 y机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2. 计算计算,dDyx其中其中D 是抛

18、物线是抛物线xy 2所围成的闭区域所围成的闭区域. 解解: 为计算简便为计算简便, 先对先对 x 后对后对 y 积分积分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直线及直线则则 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例3. 计算计算,ddsinDyxxx其中其中D 是直线是直线 ,0,yxy所围成的闭区域所围成的闭区域.oxyDxxy 解解: 由被积函数可知由被积函数可知,因此取因此取D 为为X 型域型域 :xxyD00:

19、Dyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先对先对 x 积分不行积分不行, 说明说明: 有些二次积分为了积分方便有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序还需交换积分顺序.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例4. 交换下列积分顺序交换下列积分顺序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 积分域由两部分组成积分域由两部分组成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxo21D221xy 222280:22xxyD21DDD将:D视为视为Y型区域型区域 , 则则282yxy20 yDyxyxfId

20、d),(282d),(yyxyxf20dy机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 内容小结内容小结二重积分化为累次积分的方法二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形 : 若积分区域为若积分区域为)()(,),(21xyyxybxayxD则则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若积分区域为若积分区域为)()(,),(21yxxyxdycyxD则则xy)(1yxx Ddc)(2yxx )()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaD机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 作业作业P156 1 (1), (2); 2 (1), (2); 6 (1), (2), (3), (4); 第三节第三节 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束