第二十七章拉普拉斯变换课件.ppt

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1、* 第二十七章拉第二十七章拉 普普 拉拉 斯斯 变变 换换(一) 本 章 内 容 小 结(二) 常见问题分类及解法( (一一) )本章内容小结本章内容小结一、本章主要内容一、本章主要内容1、拉普拉斯变换的概念2、拉氏变换的性质01( )0,( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( ). 设函数 在 内有定义，如果广义积分：对于参数 的某一取值范围收敛，则称此表达式为 的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，记为 ， 称为 的象函数， 称为 的象原函数，也称为 的拉普拉斯逆变换，记为ptf tF pf t edtpf tf tF pf tf tF pF pF pf t(1) 线性

2、性质1122( )( )( )( )若， ，则对任f tF pf tFp1212( )( )( )( ).意的常数 ， 有f tf tF pF p(2) 位移性质 ( )( )( )().设，则atf tF pe f tF pa(3) 延滞性质 ( )( ) ()( )(0). 设，则， apf tF pf taeF pa(4) 微分性质( )12(1) ( )( )( )( )(0)(0)(0) 若，则；nnnnnf tF pftp F ppfpff(5) 积分性质0000 ( )( )(0)( )1( )( )1( )( )设， 且连续，则 ttttnf tF ppf tf t dtF p

3、pdtdtf t dtF pp积分 次 n ( )( )()( ).nnFptf t( )( ).pf tF p dpt3、拉氏逆变换4、拉氏变换在求解微分方程中的应用求解微分方程的步骤：(1) 方程两边取拉氏变换，得未知函数象函数方程；( )(2)将初始条件代入求得象函数 ； F p(3) 对象函数取拉氏逆变换，求得未知函数。二、本章重点二、本章重点 1、拉普拉斯变换的概念及其性质。2、拉普拉斯变换在求解微分方程组中的应用。三、本章难点三、本章难点用定义求拉氏变换时，广义积分的计算是一难点。四、本章关键词四、本章关键词 拉普拉斯变换拉氏逆变换 微分方程 ( (二二) ) 常见问题分类及解法常

4、见问题分类及解法一、拉普拉斯积分变换的方法一、拉普拉斯积分变换的方法0( )( )(1) 一些简单函数 的拉氏积分变换可用定义直接求出，即 用广义积分来求，将其作为公式来用。ptf tf t edt( )( )( )( )(2) 对于一般函数 ，满足拉氏积分变换存在定理的条件， 确定函数的拉氏积分变换要根据函数 的特点，灵活 应用拉氏变换的性质及公式来进行积分变换。于是要求牢记 一些常用的积分变换公式、性质及已知结论。f tf tf tf t2( )(1) 求函数 的拉氏积分变换。tf tte例例1 1解解22(1) (21)因 ttt23232!11222(0)ppppppp2 ( )(1)

5、则 tf tte223322(1)(1)54(1)(1)(1)ppppppp2( )cos3 求函数 的拉氏积分变换。tf ttet例例2 2解解22(cos3 )(0)3因 ，ptpp22222223( cos3 ).3(3 )则 pppttpp 2 ( )(cos3 )即 tf ttet22222 222(2)345(2).(2)3 (413)ppppppp 20( )cos3 求函数 的拉氏积分变换。ttf ttetdt例例3 3解解由例2及拉氏变换的积分性质，便可直接写出结果：22220145 ( )cos3(0).(413)ttppf ttetdtpppp20( )cos3将例3改为

6、：求函数 的拉氏积分变换。ttf ttetdt22(cos3 )3因 ，ptp2222(cos3 )(2)3则 ，tpetp222012cos3(2)3ttpetpp23212.413413ppppp20 ( )cos3ttf ttetdt2223222438132(413)(413 )pppppppp323222101626(0).(413 )ppppppp0sin. 计算广义积分 tdtt例例4 4解解先说明一个重要结论：000( )( )( ).( ) ( )( ) (0). 若 存在，则 这里 f tf tdtdtF p dpttF pf tF pp000( )( )( )( )0(

7、)( ). 证明很简单，因 (象函数积分性质)，又因为 ，取则有pptf tF p dptf tf tedtpttf tdtF p dpt2000sin1arctan.21 利用该结论，有tdtdpptp二、拉氏逆变换的方法二、拉氏逆变换的方法( )( ) 拉氏逆变换即已知象函数 ，求象原函数 ，可借助拉氏变换表及拉氏变换的性质来解决。F Pf t2222211( )( )2(1)11( )( ).(1)(2)(1) 求下列函数的拉氏逆变换 (1) ； (2) ； (3) ； (4) F pF pppppF pF pppp p例例5 5解解227122( )271724(1) 因 ，F ppp

8、p112722( ) ( )71724则 f tF pp2271sin(0)227 ，；tettp 221111( )1(1)(2) 因 ，F pppppp 112111( ) ( )1则 f tF pppp1(00) ，；ttetp 22111111( )91923(1)(2)(2)1(3) 因 ，F pppppp11211111( ) ( )91923(2)1则 f tF pppp22111(0,2)993 ；ttteetetp2222211( )(1)1(1)(4) 因 ，ppF ppp ppp112221( ) ( )1(1)则 ppf tF pppp11 cossin(00).2 ，

9、ttttp 三、应用拉氏积分变换、求解微分方程的方法三、应用拉氏积分变换、求解微分方程的方法( ) 由拉氏积分变换的微分性质知道，拉氏变换能把函数 的导数变为代数式，把微分方程化成代数方程，进而把较复杂的问题变为较为简单的问题。下面举例说明。f t336(0)(0)(0)0 求微分方程 满足初始条件 的解。tyyyyeyyy例例6 6解解 ( )( )设，y tY p方程两端进行拉氏变换有322( )(0)(0)(0)3( )(0)(0)13( )(0)( )6.1p Y pp ypyyp Y ppyypY pyY pp41( )6(1)则 ，Y pp即原方程的解为11341( ) ( )6.

10、(1)ty tY pt ep222(0)(0)0(0)(0)0 求方程组 ，满足初始条件 的解。tyxxyeyxyxtyyxx 例例7 7解解 ( )( ) ( )( )设， ，x tX py tY p方程两边取拉氏变换，并注意到已知条件，则得方程组2222212( )( )( )( )112( )( )2( )( )，p Y pp X ppX pY pppp Y pp X ppY pX pp 则原方程组的解为112211211( )( )(1).111( ) ( )11(1)tttx tX ptteppy tY peteppp 解该方程组得2222222111( )(1)(1)1111( )1(1)(1)，pX pppppY pppp pp