第4章根轨迹法(2)课件.ppt

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1、第四章第四章 根轨迹法根轨迹法Chapter 4 ROOT LOCUS4.2 4.2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则根轨迹的连续性和对称性根轨迹分支数、起点和终点实轴上的根轨迹根轨迹的渐近线根轨迹的分离点和汇合点根轨迹的起始角和终止角根轨迹与虚轴的交点闭环特征方程根之和与根之积2）“”、 “”3）加粗线及箭头1）实轴、虚轴相同的刻度4）关键点的标注！绘制注意点规则1 根轨迹的对称性 实际系统的开环零极点以及闭环零极点总是实际系统的开环零极点以及闭环零极点总是实数或共轭复数对。实数或共轭复数对。它们往往在它们往往在s平面上的分布平面上的分布是关于实轴对称的。是关于实轴对称的。因此根轨迹

2、也是关于实轴对因此根轨迹也是关于实轴对称的。利用对称的特点，只需绘制实轴上半平面称的。利用对称的特点，只需绘制实轴上半平面的根轨迹就可以了。的根轨迹就可以了。规则2 根轨迹的分支数、起点和终点nlmiilzsKps110)()(一般来说，由于一般来说，由于nm，所以特征方程是，所以特征方程是n次的。当次的。当K取任何数值时，它总有取任何数值时，它总有n个根，由此便知根轨迹共个根，由此便知根轨迹共有有n条分支。条分支。根轨迹的分支数等于开环极点数目与开环零点数目根轨迹的分支数等于开环极点数目与开环零点数目大者。大者。)()()()()()(2121nmpspspszszszsKsHsG系统的开环

3、传递函数系统的开环传递函数系统的闭环传递函数系统的闭环传递函数系统的闭环传递函数系统的闭环传递函数根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。若根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。若 n mn m，还有，还有n-m n-m 条根轨迹终止于条根轨迹终止于s s平面无穷远处。平面无穷远处。nlmiilzsKps110)()(根轨迹的起点是指当根轨迹的起点是指当K=0K=0时，根轨迹的位置。由上式时，根轨迹的位置。由上式可知，当可知，当K=0K=0时，该方程便蜕化为开环特征方程，即时，该方程便蜕化为开环特征方程，即0)(1nllps上式表明了根轨迹的起点上式表明了根轨迹的起点 就是开环传就是开环传递函数

4、的极点。递函数的极点。(12)lsp ln , , ,根轨迹的终点是指当根轨迹增益根轨迹的终点是指当根轨迹增益 时根轨迹的位置。时根轨迹的位置。 nlmiilzspsK110)()(1当当 时，它将蜕化成为时，它将蜕化成为m次方程，而次方程，而mn。KKnlmiilzsKps110)()(miizs10)(通常通常m n , m n , 还有还有n-m n-m 条根轨迹终止在什么地方？条根轨迹终止在什么地方？0)1()1()1()1(111mnzqzqpqpqK将两端同乘以将两端同乘以 ，便得，便得当当 时，它化为时，它化为0)1 ()1 (1mmnqzqzqKnq这仍是这仍是n次方程，它有次

5、方程，它有n个根：个根：110(),mqnmzz重 ，可见方程可见方程(4-13)在时在时n个根应是个根应是1(),msnmzz 重 ，0)1 ()1 ()1 ()1 (111mmnnqzqzqpqqpK我们在上式中做置换，令我们在上式中做置换，令qs1实轴上的根轨迹只能是其右侧开环实数零、极点总实轴上的根轨迹只能是其右侧开环实数零、极点总数为奇数的线段。共轭复数开环零、极点对确定实数为奇数的线段。共轭复数开环零、极点对确定实轴上的根轨迹无影响。轴上的根轨迹无影响。规则3 根轨迹在实轴上的分布每对共轭复数极点所提供的幅角之和为360；s1左边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为0。s

6、1右边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为180；11()()(21)180G s H sk ？511111)()()()(iiiipszssHsG已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。22(1)(4)(6)( )(2)(3)K sssG ssss -1，-2 右侧实零、极点数=3。-4，-6 右侧实零、极点数=7。规则4 根轨迹的渐近线若若m n ,m n ,当当 k k 时有时有 n-m n-m 条根轨迹沿着条根轨迹沿着 n-m n-m 条渐近线趋于条渐近线趋于s s平面无穷远处。平面无穷远处。(21)0,1,2,(1)kknmnm，1. 1. 渐近线的倾角渐近线的倾角2

7、. 2. 渐近线与实轴的交点渐近线与实轴的交点mnzpnlmiil11)()(1）当k值取不同值时，a 有（nm）个值，而a不变；2）根轨迹在s时的渐近线为（nm）条与实轴交点为a 、倾角a为的一组射线。11nmiiiiapznm mnk) 12(已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的渐近线。(0.251)*(4)( )(1)(0.21)(1)(5)KsKsG ss sss ss渐近线与实轴正方向的夹角：三个开环极点：0、-1、-5一个开环零点：-4n-m=3-1=2渐近线与实轴交点：11(0)( 1)( 5)( 4)131nmiiiiapznm (21)180aknm 90 270a 、例例

8、已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的渐近线。)22)(4() 1()(2sssssKsG四个开环极点：0、-1+j、-1-j、-4一个开环零点：-1n-m=4-1=3渐近线与实轴交点：3514) 1()4() j1() j1()0(mnzpm1iin1iia渐近线与实轴正方向的夹角：mn180) 1k2(a30018060、a例例规则5 根轨迹的分离点和汇合点分离点（或会合点）：根轨迹在分离点（或会合点）：根轨迹在S S平面某一点相遇后平面某一点相遇后又立即分开。又立即分开。分离点必然是为分离点必然是为D(s)D(s)某一数值时的重根点。某一数值时的重根点。niimiipdzd11111 1

9、、d d坐标值由分式方程解出坐标值由分式方程解出解析法解析法试凑法试凑法坐标值d由分式方程解出miiniizsKpssD110)()()(根轨迹在S平面上相遇并有重根，设重根为s1，根据代数中的重根条件，有 miiniizsKpssD11110)()()(0)()()(1111111miiniizsKpsdsdsDdsdmiiniizsKps1111)()(miiniizsdsdKpsdsd111111)()(或miimiiniiniizszsdsdpspsdsd1111111111)()()()(miiniizsdsdpsdsd111111)(ln)(ln两式相除miiniizsdsdpsd

10、sd111111)ln()ln(或niimiipszs111111即得解出s1，即为分离点dniimiipszsKsHsG11*)()()()(2 2、由重根法求解、由重根法求解d d 0)()()()(sBsAsBsA)()()()(sAsKBsHsG 由代数方程式解的性质可知，特征方程式出现由代数方程式解的性质可知，特征方程式出现重根的条件是重根的条件是s值必须满足下列方程，即值必须满足下列方程，即0)()()(sKBsAsD0)()()(sKBsAsD3 3、由极值点求解、由极值点求解d ddd0Ks )()(sBsAK2d( )( )( )( )d( )KA s BsA s B ssB

11、 s)2s)(1s ( sK) s (G42. 0s158. 1s2-1，-2区间无根轨迹舍去由 极值点求解42. 0b902180l180b例2*( )( )(4)(420)KG s H ss sss 规则1、2、3 根轨迹对称于实轴， 有四条根轨迹分支，分别起始于极点0，4和2j4，终止于无限远零点。 实轴上04区段为根轨迹。 13545180) 12 (，mnka 根据规则4 根轨迹有四条渐近线24) 2() 2() 4(011 mnzpmiiniia 2*( )( )(4)(420)KG s H ss sss 2*1( ) ( ) 10(4)(420)KG s H ss sss 243

12、2*(4)(420)(83680 )Ks sssssss 32*(4247280)0dKsssds 根据规则5求根轨迹的分离点12b 2, 322.45bj p3、p4的连接线上辐角条件 p3、p4的连接线为根轨迹)()(21psps2/)(4ps2/)(3psniimiikpszs11) 12()()(规则6 根轨迹的出射角和入射角出射角出射角 根轨迹离开开环复数极点处的切线方向与实轴正方向的夹角入射角入射角 根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正方向的夹角1p出射角1z入射角根据相角条件确定出射角和出射角和入射角入射角出射角的一般表达式为出射角的一般表达式为11(21)mnlijijj

13、 lk计算入射角的表达式计算入射角的表达式11(21)nmkjijii kk 式中， 为待求开环复数极点 的出射角； 为除去 外的其余开环极点指向极点 的矢量的相角； 为开环零点指向极点 矢量的相角。llpjlplpilp)5 . 15 . 0)(5 . 15 . 0)(5 . 2()2)(2)(5 . 1()()(jsjsssjsjssKsHsG 起始点p10、p2、30.5+j1.5 、 p42.5终止点z11.5、z2，3 2j、实轴上01.5和2.5两区段是根轨迹792p取k0793p281793603pp3和p2为共轭复数，根轨迹起始角对称。或37905 .10859195 .56)

14、 12()()()()()()() 12(4232123222122kppppppzpzpzpkp901175 .63121199153) 12()()()()()()() 12(3212423222122kzzzzpzpzpzpzkz5 .1492z5 .1493z取k1z2和z3为共轭复数，根轨迹终止角对称。规则7 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴相交根轨迹与虚轴相交闭环特征方程有纯虚根、闭环特征方程有纯虚根、系统处于稳定边界。系统处于稳定边界。1）应用劳斯判据求出系统处于稳定边界的临界值K*， 由K*值求出相应的值2）代数法js 0)()(1jHjG0)()(1Im0)()(1RejHjG

15、jHjG代入特征方程联立求解，根轨迹与虚轴的交点值和相应的临界K*值。系统的开环传递函数 求根轨迹与虚轴的交点 。*( )( )(1)(2)KG s H ss ss 闭环特征方程*32*(1)(2)320s ssKsssK 0123ssss136*3kk 2*0k系统稳定的临界K*值：K*=6阵列中s2行元素构成辅助方程0632s2js根轨迹与虚轴的交点 系统的开环传递函数 求根轨迹与虚轴的交点。*( )( )(1)(2)KG s H ss ss js 代入系统闭环特征方程3223()3()2()*(* 3)(2)0jjjKKj 2* 30K 0232*6K 规则8 特征方程式根之和与根之积。

16、nllnjcjpp111）(n-m)2时，根之和与根轨迹增益K*无关，是个常数， 且有2）根之和不变K*增大，一些根轨迹分支向左移动，则 一定会相应有另外一些根轨迹分支向右移动。)()()(111miinllnjcjzKpp根之积根之和例例4-2 已知控制系统的开环传递函数为已知控制系统的开环传递函数为)22)(3()(2ssssKsG确定实轴上的根轨迹。确定实轴上的根轨迹。 确定根轨迹的渐近线及与确定根轨迹的渐近线及与实轴交点。实轴交点。确定分离点。确定分离点。确定出射角。确定出射角。确定根轨迹与虚轴交点。确定根轨迹与虚轴交点。试绘制该系统的根轨迹。试绘制该系统的根轨迹。例例4-3 已知一单位反馈系统的开环传递函数为已知一单位反馈系统的开环传递函数为)2()4()(sssKsG试绘制该系统的根轨迹。试绘制该系统的根轨迹。0422KKsss22j22j2j40KKK04222KKj2j2j0K)22(K088222222828. 2)8()4(例例4-4 一反馈控制系统如图所示，试绘制系统的一反馈控制系统如图所示，试绘制系统的根轨迹。根轨迹。) 3)(1() 1()()(ssssKsHsG0)3()1(Ksss