三角形中的定值求解最值问题.pdf

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1、2020 年 1 月 10 日每日一题 1 / 8 试题出处：江苏省姜堰、淮阴中学 2020 届高三联考 2020 年 1 月 10 日每日一题编辑：江苏无锡曹慧 三角形中的定值，求解最值问题 已知三角形 ABC 中，AB=1，AC=2，若点 M 为 BC 的三等分点（靠近 B 点） ， 则2212+AMBC的最小值为_. 答案：2518角度一、角度一、寻找定值寻找定值 解法一：解法一： 平面向量基本定理平面向量基本定理 1121()3333AMABBMABBCABACABABAC=+=+=+=+. 222414999AMABACAB AC=+41481+1 2 cos =+cos9999=+

2、 4（1）. 22()41254cosBCACABAC AB=+ =. 即229+218AMBC= 解题教师：山西晋城赵子君 辽宁盘锦孙中秋 山东青岛张润东 湖北孝感陈耀华 辽宁大连张小迪 河南郑州王超霞 重庆谭迎春 广东汕尾姚志 贵州思南安江华 山西太原张凯 浙江台州金伟军 四川成都杨昆 安徽合肥王倩倩 四川成都张芹 山西运城曾腾飞 广州何琪河南岳阳谷春凡 解法解法二二：余弦定理：余弦定理 如图所示：令,AMy BMx= 在ABC中，coscosC=0AMBAM+ 由余弦定理得2222144024xyxyxyxy+=，即222=2xy+. 解题教师：安徽安庆张飞 内蒙古赤峰孙艳春 山西忻州摄

3、爱忠 广东深圳张志超 四川乐山郑ACMB2020 年 1 月 10 日每日一题 2 / 8 长清 沐志伟 河南周口赵振飞 江苏无锡曹慧 解法解法三三：建系：建系 1 如图建系, (0,0), (2,0), (cos ,sin )ACB 11(2cos ,sin )33BMBC=, 2(1cos ) 2(,sin )33M+ 28+cos9AM= （1）,2=54cosBC,即229+218AMBC=. 解题教师：湖北黄冈胡骁 黑龙江绥化东皓 安徽安庆张飞 沐志伟 解法四：解法四：建系建系 2 以M为原点建系,设(,0), (2 ,0), ( , )BtCtA x y, 由 AB=1，AC=2,

4、可得2222()1( -2 )4xtyxty+=+=,化简可得22222xyt+=,即22+22AMBM=. 解题教师：浙江湖州周发凤 解法五：解法五：角平分线面积法角平分线面积法 由题意可知, AM是A的平分线,设2 =BAMCAM = ， 所以3ABCABMSS=,即111 2 sin231sin22AM = ,4cos3AM= xyMCABxyACMBACMB2020 年 1 月 10 日每日一题 3 / 8 22488( cos )(1cos2 )(1cos )399AM=+=+, 由余弦定理得2=54cosBC,即229+218AMBC=. 解题教师：浙江湖州周发凤 解法解法六六：角

5、平分线张角定理：角平分线张角定理 设2 =BAMCAM = ， sin2sinsin21AM=+,即2cos32AM=,所以4cos3AM= 22488( cos )(1cos2 )(1cos )399AM=+=+, 由余弦定理得2=54cosBC,即229+218AMBC=. 解题教师：安徽安庆张飞 解法七：角平分线解法七：角平分线长公式长公式 令,AMy BMx=, 2AMAB ACBM CM=,则2222yx=,即222=2xy+ 解题教师：安徽安庆张飞 解法八：解法八：利用斯图尔特利用斯图尔特(Stewart)定理定理 由 Stewart 定理：222MCBMAMABACBM MCBC

6、BC=+ 则2221422233xxyxxxxx= +=,即222=2xy+. 解题教师：四川自贡贺政刚 解法九：三角形中线长公式解法九：三角形中线长公式 延长 AB 到点 D,使 AB=BD=1,由于13BMBC=,则 M 为等腰三角形 ACD 的重心. 设DH=CH=t,则0t2, 在 ACD中,由中线长公式: 2221BC=2()2ACCDAD+, HDMAB2020 年 1 月 10 日每日一题 4 / 8 得2222212 22(2 )2 214BCtt=+=+ 22224()(4)39AMAHt=,所以229+218AMBC=. 解题教师：广东惠州肖永昌 解法十：解三角形解法十：解

7、三角形 延长 AB 到点 D,使 AB=BD=1,由于13BMBC=,则 M 为等腰三角形 ACD 的重心. 设DHCHt=,则02t ,BAMCAM= 在直角三角形 ACH 中, sin2t=,224AHt= 所以22coscos212sin12tBAC= = , 在 ABC中, 由余弦定理得2221+4-2 1 2 cos254(1)212tBCt= =+ 22224()(4)39AMAHt=,所以229+218AMBC=. 解题教师： 江苏无锡曹慧 角度角度二、求解最值二、求解最值 解法一解法一 基本不等式“基本不等式“1”的妙用”的妙用 若28+cos9AM= （1）,2=54cosB

8、C,即229+218AMBC=(或22+129AMBC=) 则221212+=+854cos+cos9AMBC（1）9488cos108cos=+()8+8cos108cos1818+() 12108cos2 8+8cos13125=+2292 8+8cos )9108cos18918+=(（当且仅当7cos =20时取等号） 或2222222222121212+=(+)(+)29299AMBCAMBCAMBCAMBCBCAM=+13125218918+=. HDMAB2020 年 1 月 10 日每日一题 5 / 8 （当且仅当= 3BCAM时取等号） 解题教师：辽宁盘锦孙中秋 山西忻州摄爱

9、忠 湖北孝感陈耀华 浙江湖州周发凤 安徽安庆张飞 重庆谭迎春 山西太原张凯 浙江金华周江波 四川成都杨昆 安徽合肥王倩倩 四川成都张芹 山西运城曾腾飞 广州何琪 河南岳阳谷春凡 若222=2xy+,即22=12yx + 则2222222222221212121213125+=+=(+)()=299229918918yxyxyxyxyxAMBC+=. （当且仅当= 3yx时取等号） 解题教师：安徽安庆张飞 内蒙古赤峰孙艳春 广东深圳张志超 贵州思南安江华 四川乐山郑长清 河南周口赵振飞 江苏无锡曹慧 解法二解法二 权方和不等式权方和不等式 若28+cos9AM= （1）,2=54cosBC,即2

10、29+218AMBC= 则22222221294+25+=+=189292AMBCAMBCAMBC+（3 2）（当且仅当= 3BCAM时取等号） 或22121294+=+=+854cos8+cos108cos+cos9AMBC（1）（1） 232258 1cos108cos18+=+（）（）（）.（当且仅当7cos =20时取等号） 解题教师：山西晋城赵子君 湖北黄冈胡骁 黑龙江绥化东皓 广东汕尾姚志 沐志伟 浙江台州金伟军 山东青岛张润东 广东惠州肖永昌 若222=2xy+ 22221212+=+9yxAMBC22149=()9 2xy+2221+25=9 218xy+（3 2）.（当且仅当

11、= 3yx时取等号） 解题教师：安徽安庆张飞 浙江湖州周发凤 浙江绍兴陈毕 四川自贡贺政刚 解法三：利用导数求最值解法三：利用导数求最值 221212+=+854cos+cos9AMBC（1） 2020 年 1 月 10 日每日一题 6 / 8 令54cos ,(1,9)tt=,则上式可整理得365( )(182 )tf tt t+= 22(518)(18)( )0(182 )ttf tt t+=,18=5t所以( )f t在18(1,)5上单调递减,在18(,9)5上单调递增, 所以1825( )()518f tf=,故最小值为2518. 解题教师：辽宁大连张小迪 河南郑州王超霞 评论与赏析

12、：评论与赏析： 本题虽然是个填空题， 我们也可分为两部分来处理.首先处理第一部分,通过已知条件,需求出2AM与2BC ,并找出他俩的关系,发现是一个定值. 这部分的处理前面四种解法都是比较常规处理,运用平面向量基本定理、建系、解三角形等方式可以得出,并易得出2AM与2BC之间还存在一个定值,进一步的观察还可发现 AM 还是一条角平分线,从而可以运用面积法、张角定理等得出关系.后面几种解法还运用了少见的 Stewart 定理、三角形中的中线长公式等.第二部分再通过这个定值,求2212+AMBC的最值.这里主要考察基本不等式“1”的妙用,还有权方和不等式也很方便的求出最值,换元之后用求导也是比较常

13、见的求最值的方法之一. 对于这种整式有定值,求分式最值的考题还是比较多见的,常见的方法还是这种基本不等式“1”的妙用和权方和不等式. 权方和不等式介绍权方和不等式介绍: 权方和不等式是在高中竞赛中很有用的一个不等式,常用来处理分式不等式. 它和赫尔德不等式的这个特殊情形是等价关系. 其中 m 称为不等式的权,特点是分子次数比分母高一次. 11111()()nmminiinmmiiiiaabb+=(0,0,0)iiiiabmab=，等号在时取得 二元结构形式:令1,1,2mi=,则22212121212()aaaabbbb+（当且仅当1212=aabb时取等号） 张角定理张角定理： 2020 年

14、 1 月 10 日每日一题 7 / 8 在ABC 中，D 是 BC 上的一点，连结 AD,那么sinsinsinBADCADBACACABAD+=. 逆定理：逆定理： 如果 sinsinsinBADCADBACACABAD+=，那么 B,D,C 三点共线. 定理的推论定理的推论： 在定理的条件下，且BAD=CAD，即 AD 平分BAC， 则 B，D，C 共线的充要条件是：112cosBADACABAD+= 角平分线长：角平分线长： 由角平分线定理 2 和斯台沃特定理可以推导出三角形内的角平分线长公式. 如右图，在ABC 中，AD 平分BAC 可设,ABx ACy BDu CDv=，则BCuv=

15、+， 由角平分线定理 2 我们知道ABBDACCD=，所以xvuy=， 由斯台沃特定理，有222x vy uwuvuv+=+， 用,xvuyuvyx=替换原式中的u和v， 即得2ADxyuvAB ACBD CD= 中线长定理：中线长定理： 图中的就是阿波罗尼斯定理的公式，公式中标明了三角形三条边的边长和中线长度之间的数量关系，在图中三角形 ABC 中，角 A 对应的边为边 a，角 B 对应的边为边 b，角 C 对应的边为边 c，图中 ma、mb、mc分别为边 a、b、c 上的中线. 阿波罗尼斯定理： 2+ 2=122+ 22 ABCDxyvuABCD2020 年 1 月 10 日每日一题 8 / 8 2+ 2=122+ 22 2+ 2=122+ 22 注：非卖品，如发现文中错误，请直接在群里指出来或上面署名的编辑 mamcmbFDEABC