第四章 三角形 解三角形.pdf

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1、第四章第四章 三角函数、解三角形三角函数、解三角形 考点考点 1 三角函数的概念、同角三角函数基本关系式及诱导公式三角函数的概念、同角三角函数基本关系式及诱导公式 1 （2018 全国卷 I，11) 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点(1，)，(2，)，且cos2 =23，则| | = A15 B55 C255 D1 解析 : 由,三点共线， 从而得到 = 2， 因为cos2 = 2cos2 1 = 2 (12+1)2 1 =23，解得2=15，即| =55，所以| | = | 2| =55，故选 B. 答案 B 2（2018 北京， 7)在平面直角坐标系中， ,AB

2、 CD EF GH是圆221xy+=上的四段弧 （如图） ，点 P 在其中一段上，角以 O为始边，OP 为终边，若tancossin，则 P所在的圆弧是 AAB BCD CEF DGH 解析：由下图可得：有向线段OM为余弦线，有向线段MP为正弦线，有向线段AT为正切线. 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 A 选项：当点P在AB上时， cos,sinxy=， cossin，故 A 选项错误； B 选项：当点P在CD上时， cos,sinxy=， tanyx=， tansincos，故 B 选项错误； C 选项：当点P在EF上时， cos,sinx

3、y=， tanyx=， sincostan，故 C 选项正确； D 选项： 点P在GH上且GH在第三象限， tan0,sin0,cos0， 故 D 选项错误. 综上，故选 C. 答案 C 3.(2017 课标 3，4)已知4sincos3=，则sin2=（ ） A79 B29 C 29 D79 3.解析 ()2sincos17sin22sincos19= .所以选 A. 答案 A 4. (2017 山东，4)已知3cos4x =,则cos2x =( ) A.14 B.14 C.18 D.18 4.解析由3cos4x =得2231cos22cos12148xx= = =,故选 D. 更多免费资源

4、，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021答案 D 5.(2015 福建，6)若 sin 513，且 为第四象限角，则 tan 的值等于( ) A.125 B.125 C.512 D.512 5.解析 sin 513，且 为第四象限角，cos 1213，tan sin cos 512，故选 D. 答案 D 6.(2017 浙江，11)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率 ，理论上能把 的值计算到任意精度祖冲之继承并发展了“割圆术”，将 的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S，=6S 6.解析

5、如图,单位圆内接正六边形由六个边长为 1 的正三角形组成,所以,正六边形的面积S6=6.12 1 32=332 答案 3 32 7.(2017 北京，9)在平面直角坐标系 xOy 中，角与角均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y轴对称.若 sin=13，则 sin=_ 7.解析 因为角与角关于 y 轴对称，则+= + 2k，所以sin = sin( + 2k ) =sin =13 答案 13 8.（2017 课标 3，15） ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a，b，c.已知 C=60，b=6， c=3，更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 20

6、21则 A=_. 8.解析 由题意：sinsinbcBC= ，即36sin22sin32bCBc= ，结合bc 可得45B = ，则18075ABC=. 答案 75 9.（2017 江苏，5） 若1tan(),46= 则tan= . 9.解析：由题意可得 答案75 10.（2017 课标 1，15）已知(0)2a，tan =2，则cos ()4=_ 10. 解析(0,2),tan=2,sin=255,cos=55,cos(-4)=coscos4+sinsin4=22(255+55)=31010. 答案3 1010 11.(2016 新课标全国，14)已知 是第四象限角，且+4sin35，则4t

7、an_. 11.解析 由题意，得+4cos45，+4tan34. 4tan+24tan1tan443. 答案 43 12.(2016 四川，11)sin 750 _. 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 202112.解析 sin sin(k 360 )，(kZ)，sin 750 sin(2 360 30 )sin 30 12. 答案 12 13.(2015 四川，13)已知 sin 2cos 0，则 2sin cos cos2 的值是_ 13.解析 sin 2cos 0， sin 2cos ，tan 2， 又2sin cos cos22sin cos c

8、os2sin2cos22tan 1tan21， 原式2 （2）1（2）211. 答案 1 14（2018 浙江，18）已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P（35，45） （）求 sin（+）的值； （）若角 满足 sin（+）=513，求 cos的值 14.（）由角的终边过点(35,45)得sin = 45， 所以sin( + ) = sin =45. （）由角的终边过点(35,45)得cos = 35， 由sin( + ) =513得cos( + ) = 1213. 由 = ( + ) 得cos = cos( + )cos + sin( + )sin

9、， 所以cos = 5665或cos =1665. 考点考点 2 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 1 （2018 全国 I 卷，8) 已知函数( )222cossin2f xxx=+，则 A( )f x的最小正周期为 ，最大值为 3 B( )f x 的最小正周期为 ，最大值为 4 C( )f x 的最小正周期为2，最大值为 3 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021D( )f x的最小正周期为2，最大值为 4 解析：根据题意有( )1 cos2x35cos212cos2222f xxx=+ +=+， 所以函数( )fx的最小正周期为22T=

10、， 且最大值为( )max35422f x=+=，故选 B. 答案 B 2 （2018 全国卷 II，10)若() = cos sin在,是减函数，则的最大值是 A4 B2 C34 D 解析：因为() = cos sin = 2cos( +4)， 所以由0 + 2 +4 + 2,(k Z)得4+ 2 34+ 2,(k Z) 因此, 4,34 , 4, 34 0 2,所以 01,=23,又|,将 =23代入(1)得=12.选项 A 符合. 答案A 8.（2017 山东，7）函数3sin2cos2yxx=+ 最小正周期为 （ ） A.2 B. 23 C. D. 2 8.解析 因为3sin2cos2

11、2sin 23yxxx=+=+,所以其周期22T =,故选 C. 答案 C 9.（2017课标II，13）函数( )2cossinf xxx=+的最大值为 . 9.解析 2( )215f x + = 答案 5 10.(2016 新课标全国，6)若将函数 y+62sin2x的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A.y+42sin2x B.y+32sin2x C.y42sin2x D.y32sin2x 10.解析 函数 y+62sin2x的周期为 ， 将函数 y+62sin2x的图象向右平移14个周期即4个单位，所得函数为 y2+642sinx32sin2x，故选 D. 答案 D

12、 11.(2016 新课标全国卷， 3)函数 yAsin(x)的部分图象如图所示， 则 ( ) 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021A.y62sin2x B.y32sin2x C.y+62sin2x D.y+32sin2x 11 解析 由题图可知，T632，所以 2， 由五点作图法可知 232，所以 6， 所以函数的解析式为 y62sin2x，故选 A. 答案 A 12.(2016 四川，4)为了得到函数 y+3sinx的图象，只需把函数 ysin x 的图象上所有的点( ) A.向左平行移动3个单位长度 B.向右平行移动3个单位长度 C.向上平行

13、移动3个单位长度 D.向下平行移动3个单位长度 12.解析 由 ysin x 得到 ysin(x a)的图象，只需记住“左加右减”的规则即可. 答案 A 13(2015 新课标全国，8)函数 f(x)cos (x)的部分图象如图所示，则 f(x)的单调递减区间为( ) A.k14，k34，kZ B.2k14，2k34，kZ C.k14，k34，kZ D.2k14，2k34，kZ 13.解析 由图象知T254141， T2.由选项知 D 正确 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021答案 D 14.(2015 山东，4)要得到函数 y34sinx的图象，

14、只需将函数 ysin 4x 的图象( ) A向左平移12个单位 B向右平移12个单位 C向左平移3个单位 D向右平移3个单位 14.解析 y34sinx124sinx， 要得到函数 y34sinx的图象，只需将函数 ysin 4x 的图象向右平移12个单位 答案 B 15 （2018 江苏，7）已知函数 = sin(2 + )(2 2)的图象关于直线 =3对称，则的值是_ 解析 由题意可得sin(23 + ) = 1，所以23 + =2+ ， = 6+ ( )，因为2 0，在函数 y2sin x 与 y2cos x 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为 2 3，则 _. 20.解析 由y

15、2sin x，y2cos x，知 sin xcos x， 即 sin xcos x0， 24sinx0， x4k，x+k41kZ)， 两函数交点坐标为+2,41k(k0，2，4，)， 或+2,41kk，3，1，1，3，) 最短距离为（2 2）2222 3， 224， 2. 答案 2 21 （2018 北京，16)已知函数() = sin2 + 3sincos. （）求()的最小正周期； （）若()在区间3,上的最大值为32，求的最小值. 解析： （）() =1cos22+32sin2 =32sin2 12cos2 +12= sin(2 6) +12， 所以()的最小正周期为 =22= . （）

16、由（）知() = sin(2 6) +12. 因为 3,，所以2 6 56,2 6. 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021要使得()在3,上的最大值为32，即sin(2 6)在3,上的最大值为 1. 所以2 62，即 3. 所以的最小值为3. 22 （2018 江苏，17）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成已知圆的半径为 40米，点到的距离为 50米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形，大棚内的地块形状为 ，要求,均在线段上，,均在圆弧上设与所成的角为 （1）用分别表示矩形和 的面积，

17、并确定sin的取值范围； （2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 解析 （1）连结 PO 并延长交 MN于 H，则 PHMN，所以 OH=10 过 O 作 OEBC于 E，则 OEMN，所以COE=， 故 OE=40cos，EC=40sin， 则矩形 ABCD的面积为 2 40cos（40sin+10）=800（4sincos+cos）， CDP 的面积为12 2 40cos（4040sin）=1600（cossincos） 过 N 作 GNMN，分别交圆弧和 OE的延长线于 G和 K，则 GK

18、=KN=10 令GOK=0，则 sin0=14，0（0，6） 当 0，2）时，才能作出满足条件的矩形 ABCD， 所以 sin的取值范围是14，1） 答：矩形 ABCD的面积为 800（4sincos+cos）平方米，CDP的面积为 1600（cossincos），sin 的取值范围是14，1） （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 43， 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021设甲的单位面积的年产值为 4k，乙的单位面积的年产值为 3k（k0）， 则年总产值为 4k 800（4sincos+cos）+3k 1600（cossincos）

19、=8000k（sincos+cos），0，2） 设 f（）= sincos+cos，0，2）， 则() = 2 sin2 sin = (22 + sin 1) = (2 1)( + 1) 令()=0，得 =6， 当 （0，6）时，()0，所以 f（）为增函数； 当 （6，2）时，()0，|2在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表： x 0 2 32 2 x 3 56 Asin(x) 0 5 5 0 (1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 f(x)的解析式； (2)将 yf(x)图象上所有点向左平移6个单位长度，得到 yg(x)的图象，求 yg(x)的图象

20、离原点 O 最近的对称中心 解 (1)根据表中已知数据，解得 A5，2，6.数据补全如下表： x 0 2 32 2 x 12 3 712 56 1312 Asin(x) 0 5 0 5 0 且函数表达式为 f(x)5)62sin(x. (2)由(1)知 f(x)5)62sin(x， 因此 g(x)5)6)6(2sin(+x5)62sin(+x. 因为 ysin x 的对称中心为(k，0)，kZ. 令 2x6k，解得 xk212，kZ. 即 yg(x)图象的对称中心为k212，0 ， kZ， 其中离原点 O 最近的对称中心为12，0 . 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e

21、We i Yi 2021考点考点 3 三角恒等变换三角恒等变换 1 （2018 全国卷，4）若sin =13，则cos2 = A89 B79 C79 D89 解析：cos2 = 1 22 = 1 29=79 故答案为 B. 答案 B 2.(2016 新课标全国，6)若 tan 13，则 cos 2( ) A.45 B.15 C.15 D.45 2.解析 tan 13，则 cos 2cos2sin2cos2sin2cos2sin21tan21tan245. 答案 D 3.(2016 新课标全国，11)函数 f(x)cos 2x6cos2x 的最大值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 3.解

22、析 因为 f(x)cos 2x6cos2x 12sin2x6sin x2sin x322112， 所以当 sin x1 时函数的最大值为 5，故选 B. 答案 B 4.(2015 重庆，6)若 tan 13，tan()12，则 tan ( ) A.17 B.16 C.57 D.56 4.解析 tan tan()tan（）tan 1tan（）tan 12131121317. 答案 A 5 （2018 全国卷 II，15)已知tan( 54) =15，则tan =_ 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021解析：tan( 54) =tantan541+ta

23、ntan54=tan11+tan=15， 解方程得tan =32. 答案 32 6.(2016 浙江， 11)已知 2cos2xsin 2xAsin(x)b(A0)， 则 A_， b_. 6.解析 2cos2xsin 2xcos 2x1sin 2x 222cos 2x22sin 2x 1 2sin2x41 Asin(x)b(A0)， A 2，b1. 答案 2 1 7 （2018 江苏，16）已知,为锐角，tan =43，cos( + ) = 55 （1）求cos2的值； （2）求tan( )的值 解析（1）因为tan =43，tan =sincos，所以sin =43cos 因为sin2 +

24、cos2 = 1，所以cos2 =925， 因此，cos2 = 2cos2 1 = 725 （2）因为,为锐角，所以 + (0,) 又因为cos( + ) = 55，所以sin( + ) = 1 cos2( + ) =255， 因此tan( + ) = 2 因为tan =43，所以tan2 =2tan1tan2= 247， 因此，tan( ) = tan2 ( + ) =tan2tan(+)1+tan2tan(+)= 211 8.（2017 北京，16）已知 函数( )3cos(2)2sin cos3f xx-xx=. （I）f(x)的最小正周期； （II）求证：当,4 4x 时，( )12f

25、 x 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 20218.解析 （）3313( )cos2sin2sin2sin2cos2sin(2)22223f xxxxxxx=+=+=+. 所以( )f x的最小正周期22T =. （）因为44x， 所以52636x+. 所以1sin(2)sin()362x+= . 所以当 ,4 4x 时，1( )2f x . 答案 （） ；（）详见解析. 9.(2016 山东，17)设 f(x)2 3sin(x)sin x(sin xcos x)2. (1)求 f(x)的单调递增区间； (2)把 yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原

26、来的 2 倍(纵坐标不变)， 再把得到的图象向左平移3个单位，得到函数 yg(x)的图象，求6g的值. 9.解 (1)由 f(x)2 3sin(x)sin x(sin xcos x)2 2 3sin2x(12sin xcos x) 3(1cos 2x)sin 2x1 sin 2x 3cos 2x 31 2sin2x3 31. 由 2k22x32k2(kZ)，得 k12xk512(kZ). 所以 f(x)的单调递增区间是k12，k512(kZ)或k12，k512（kZ） . (2)由(1)知 f(x)2sin2x3 31， 把 yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，

27、 得到 y2sinx3 31 的图象. 再把得到的图象向左平移3个单位，得到 y2sin x 31 的图象， 即 g(x)2sin x 31. 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021所以 g62sin 6 31 3. 10.(2016 北京，16)已知函数 f(x)2sin xcos xcos 2x(0)的最小正周期为 . (1)求 的值； (2)求 f(x)的单调递增区间. 10.解 (1)f(x)2sin x cos xcos 2x sin 2xcos 2x 222sin 2x22cos 2x 2sin2x4 由 0，f(x)最小正周期为 得22

28、， 解得 1. (2)由(1)得 f(x) 2sin2x4， 令22k2x422k，kZ， 解得38kx8k，kZ， 即 f(x)的单调递增区间为38k，8k (kZ). 11.(2015 广东，16)已知 tan 2. (1)求 tan4的值； (2)求sin 2sin2sin cos cos 21的值 11.解 (1)tan4tan tan 41tan tan 4tan 11tan 21123. (2)sin 2sin2sin cos cos 21 2sin cos sin2sin cos （2cos21）1 2sin cos sin2sin cos 2cos2 2tan tan2tan

29、2 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 20212 22222 1. 12.(2015 北京，15)已知函数 f(x)sin x2 3sin2x2. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在区间0，23上的最小值 12.解 (1)因为 f(x)sin x 3cos x 3. 2sinx3 3. 所以 f(x)的最小正周期为 2. (2)因为 0 x23时，所以3x3. 当 x3，即 x23时，f(x)取得最小值 所以 f(x)在区间0，23上的最小值为 f23 3. 13.(2015 福建，21)已知函数 f(x)10 3sin x2cos

30、x210cos2x2. (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)将函数 f(x)的图象向右平移6个单位长度，再向下平移 a(a0)个单位长度后得到函数 g(x)的图象，且函数 g(x)的最大值为 2. 求函数 g(x)的解析式； 证明：存在无穷多个互不相同的正整数 x0，使得 g(x0)0. 13.(1)解 因为 f(x)10 3sin x2cos x210cos2x2 5 3sin x5cos x5 10sinx65， 所以函数 f(x)的最小正周期 T2. (2)证明 将 f(x)的图象向右平移6个单位长度后得到 y10sin x5 的图象，再向下平移 a (a0)个单位长度后得到 g

31、(x)10sin x5a 的图象 又已知函数 g(x)的最大值为 2，所以 105a2，解得 a13. 所以 g(x)10sin x8. 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x0，使得 g(x0)0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x0，使得 10sin x080，即 sin x045. 由4532知，存在 003，使得 sin 045. 由正弦函数的性质可知，当 x(0，0)时，均有 sin x45. 因为 ysin x 的周期为 2， 所以当 x(2k0，2k0)(kZ)时，均有 sin x45. 因

32、为对任意的整数 k，(2k0)(2k0)2031， 所以对任意的正整数 k，都存在正整数 x0(2k0，2k0)，使得 sin xk45. 亦即，存在无穷多个互不相同的正整数 x0，使得 g(x0)0. 考点考点 4 正正, 余弦定理及解三角形余弦定理及解三角形 1 （2018 全国卷，11） 的内角，的对边分别为，若 的面积为2+224，则 = A2 B3 C4 D6 解析：由题可知=12 =2+224， 所以2+ 2 2= 2absinC， 由余弦定理2+ 2 2= 2， 所以sinC = cosC， C (0,)， C =4。 故选 C。 答案 C 2.（2017 课标 1，11）ABC

33、 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c已知sinsin (sincos )0BACC+=，a=2，c=2，则 C= （ ） A12 B6 C4 D3 解 析 因 为sinB+sinA(sinC-cosC)=0, 所 以sin(A+C)+sinA sin C-sinA cosC=0, 所 以sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0, 整 理 得sinC(sinA+cosA)=0, 因 为sinC0, 所 以更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021sinA+cosA=0,所以 tanA=-1,因为 A(0,),所以

34、 A=,由正弦定理得 sin C=,又 0C ,所以 C= .故选 B. 答案 B 3.(2016 新课标全国，4)ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 a 5，c2，cos A23，则 b( ) A. 2 B. 3 C.2 D.3 3.解析 由余弦定理，得 5b2222 b 223，解得 b3b13舍去 ，故选 D. 答案 D 4.(2016 山东，8)ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 bc，a22b2(1sin A)，则 A( ) A.34 B.3 C.4 D.6 4.解析 在ABC中，由余弦定理得 a2b2c22bccos A， bc，a22

35、b2(1cos A)，又a22b2(1sin A)， cos Asin A，tan A1， A(0，)，A4，故选 C. 答案 C 5.(2015 广东,5)设ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a2,c2 3,cos A32,且 bc,则 b( ) A. 3 B.2 2 C.2 D. 3 5.解析 由余弦定理 a2b2c22bccos A，得 4b2122 b 2 332，即 b26b80，b4 或 b2，又 bc，b2. 答案 C 6 （2018 全国卷 I，16)的内角，的对边分别为，已知sin +更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Y

36、i 2021sin = 4sinsin，2+ 2 2= 8，则的面积为_ 解析： 因为sin + sin = 4sinsin， 结合正弦定理可得sinsin + sinsin = 4sinsinsin， 可得sin =12，因为2+ 2 2= 8， 结合余弦定理2= 2+ 2 2， 可得2cos = 8， 所以 A 为锐角，且cos =32， 从而求得 =833， 所以的面积为 =12sin =1283312=233，故答案是233. 答案 233 7 （2018 北京， 14)若 的面积为34(2+ 2 2),且C为钝角， 则B=_；的取值范围是_. 解析： =34(2+ 2 2) =12s

37、in， 2+222=sin3，即cos =sin3， sincos= 3, =3， 则=sinsin=sin(23)sin=32cos(12)sinsin=321tan+12， 为钝角， =3, 0 6， tan (0,33),1tan (3,+)，故 (2,+). 故答案为3，(2,+). 答案 3，(2,+) 8 （2018 江苏，13）在 中，角,所对的边分别为,， = 120，的平分线交于点 D，且 = 1，则4 + 的最小值为_ 8. 9 由题意可知，= + ,由角平分线性质和三角形面积公式得12sin120 =12 1 sin60 +12 1 sin60，化简得 = + ,1+1=

38、 1，因此4 +更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 = (4 + )(1+1) = 5 +4 5 + 24= 9,当且仅当 = 2 = 3时取等号， 则4 + 的最小值为9. 9（2018 浙江， 13） 在ABC中， 角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c 若 = 7，b=2，A=60 ，则 sin B=_，c=_ 解析：由正弦定理得=,所以 =27 3=217,由余弦定理得2= 2+ 22, 7 = 4 + 2 2, = 3（负值舍去）. 答案 217 3 10.(2016 新课标全国，15)ABC的内角 A，B，C 的对边分别为

39、a，b，c，若 cos A45，cos C513，a1，则 b_. 10.解析 在ABC 中由 cos A45，cos C513，可得 sin A35，sin C1213，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C6365，由正弦定理得 basin Bsin A2113. 答案 2113 11.(2016 北京，13)在ABC中，A23，a 3c，则bc_. 11.解析 由asin Acsin C得 sin Ccsin Aa133212， 又 0C3，所以 C6，B(AC)6. 所以bcsin Bsin Csin6sin61. 答案 1 12.(2015 北京，11)在A

40、BC中，a3，b 6，A23，则B_. 12.解析 由正弦定理得 sin Bbsin Aa6sin23322，因为A 为钝角，所以B4. 答案 4 13.(2015 重庆，13)设ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2，cos C14，更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 20213sin A2sin B，则 c_. 13.解析 由 3sin A2sin B，得 3a2b，b32a32 23， 在ABC 中，由余弦定理得，c2a2b22abcos C22322 2 31416， 解得 c4. 答案 4 14.(2015安徽，12)在AB

41、C 中，AB 6，A75，B45，则 AC_. 14.解析 已知C60 ，由正弦定理得ACsinBABsinC， AC6sin 45sin 60622322. 答案 2 15.(2015湖北，15)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30 的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75 的方向上，仰角为 30 ，则此山的高度 CD_m. 15.解析 依题意，在ABC 中，AB600，BAC30，ACB45， 由正弦定理得600sin 45BCsin 30，得 BC300 2， 在 RtBCD 中，CDBCtan 301

42、00 6(m) 答案 100 6 16 （2018 天津，16)在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知sin =cos( 6). （1）求角 B的大小； （2）设 a=2，c=3，求 b和sin(2 )的值. 解析：（）在ABC中，由正弦定理=，可得 = ， 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021又由 = ( 6)，得 = ( 6)， 即 = ( 6)，可得 = 3 又因为 (0，)，可得 B=3 （）在ABC 中，由余弦定理及 a=2，c=3，B=3， 有2= 2+ 2 2 = 7，故 b=7 由 = ( 6)，可得 =37因为

43、 a0). 则 aksin A，bksin B，cksin C. 代入cos Aacos Bbsin Cc中，有cos Aksin Acos Bksin Bsin Cksin C， 变形可得：sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB). 在ABC 中，由 ABC，有 sin(AB)sin(C)sin C， 所以 sin Asin Bsin C. (2)解 由已知，b2c2a265bc， 根据余弦定理，有 cos Ab2c2a22bc35. 所以 sin A 1cos2A45. 由(1)知，sin Asin Bsin Acos Bcos Asin B， 所以45s

44、in B45cos B35sin B，故 tan Bsin Bcos B4. 22.(2015 江苏，15)在ABC 中，已知 AB2，AC3，A60 . (1)求 BC 的长； (2)求 sin 2C 的值 22.解 (1)由余弦定理知，BC2AB2AC22AB AC cos A492 2 3127， 所以 BC 7. (2)由正弦定理知，ABsin CBCsin A， 所以 sin CABBC sin A2sin 607217. 因为 ABBC，所以 C 为锐角， 则 cos C 1sin2C1372 77. 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 202

45、1所以 sin 2C2sin C cos C22172 774 37. 23.(2015 新课标全国，17)在ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分BAC，BD2DC. (1)求sinBsinC； (2)若BAC60 ，求B. 23.解 (1)由正弦定理得ADsinBBDsinBAD，ADsinCDCsinCAD. 因为 AD 平分BAC，BD2DC，所以sinBsinCDCBD12. (2)因为C180 (BACB)，BAC60 ， 所以 sinCsin(BACB)32cosB12sinB. 由(1)知 2sinBsinC， 所以 tanB33，即B30 . 24.(2015 天津，1

46、6)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知ABC 的面积为 3 15，bc2，cos A14. (1)求 a 和 sin C 的值； (2)求 cos2A6的值 24.解 (1)在ABC中，由 cos A14，可得 sin A154. 由 SABC12bcsin A3 15，得 bc24， 又由 bc2，解得 b6，c4. 由 a2b2c22bccos A，可得 a8. 由asin Acsin C，得 sin C158. (2)cos2A6cos 2A cos 6sin 2A sin6 32(2cos2A1)12 2sin A cos A 157 316. 25.(2

47、015 山东，17)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 cos B33， sin (AB)69，ac2 3， 求 sin A 和 c 的值 25.解 在ABC 中，由 cos B33，得 sin B63. 因为 ABC，所以 sin Csin(AB)69. 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021因为 sin Csin B，所以 CB，可知 C 为锐角， 所以 cos C5 39. 所以 sin Asin(BC) sin Bcos Ccos Bsin C 635 393369 2 23. 由asin Acsin C，可得 a

48、csin Asin C2 23c692 3c， 又 ac2 3，所以 c1. 26.(2015 湖南，17)设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，abtan A. (1)证明：sin Bcos A； (2)若 sin Csin Acos B34，且 B 为钝角，求 A，B，C. 26.解 (1)由正弦定理知asin Absin Bcsin C2R， a2Rsin A，b2Rsin B， 代入 abtan A，得 sin Asin Bsin Acos A， 又A(0，)，sin A0， 1sin Bcos A，即 sin Bcos A. (2)由 sin Csin Acos B

49、43知，sin(AB)sin Acos B43， cos Asin B34. 由(1)知 sin Bcos A，cos2A34， 由于 B 是钝角，故 A0，2， cos A32，A6，sin B32，B23， C(AB)6. 27.(2015 浙江，16)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 tan4A 2. (1)求sin 2Asin 2Acos2 A的值； (2)若 B4，a3，求ABC 的面积 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 202127.解 (1)由 tan4A 2，得 tan A13， 所以sin 2Asin 2

50、Acos2A2tan A2tan A125. (2)因为 tan A13，A0，)， 所以 sin A1010，cos A3 1010. 又由 a3，B4及正弦定理asin Absin B得 b3 5. 由 sin Csin(AB)sinA4得 sin C2 55， 设ABC 的面积为 S，则 S12absin C9. 28.(2015 新课标全国,17)已知 a,b,c 分别为ABC 内角 A,B,C 的对边,sin2B2sin Asin C. (1)若 ab,求 cos B； (2)设 B90 ,且 a 2,求ABC 的面积 28.解 (1)由题设及正弦定理可得 b22ac. 又 ab22