2017—2019年真题解析（数学一）.pdf

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1、12017 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学(一一)试卷试卷一、选择题（18 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。）1若函数1 cos,0( ),0 xxf xaxb x在0 x 处连续，则（ ） 11( )22( )02A abB abC abD ab 2设函数( )f x可导，且( )( )0f xfx，则（ ） ( ) (1)( 1)(1)( 1)( )(1)( 1)(1)( 1)A ffB ffC ffDff3函数22( , , )f x y zx yz在点(1,2,0)处沿向量1,2,2n 的方向导数

2、为（ ）( )12( )6( )4( )2ABCD4甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线1( )vv t（单位：/m s） ，虚线表示乙的速度曲线2( )vv t，三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t（单位：s） ，则（ ）0000( )10( )1520( )25( )25A tBtC tD t5设是n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（ ）2 ( )( )22TTTTABCDEEEE不可逆不可逆不可逆不可逆6设矩阵200210100021 ,020 ,020001001002ABC,则（ ） (A)

3、A C , B C B A C , B C (C) A C , B C D A C , B C 与相似与相似与相似与不相似与不相似与相似与不相似与不相似7设,A B为随机事件，若0( )1,0( )1P AP B，则()()P A BP A B的充分必要条件是（ ）( ) ()()( ) ()()( ) ()()() ()()A P B AP B AB P B AP B AC P B AP B AD P B AP B A8设12,(2)nXXXn为来自总体( ,1)N的简单随机样本，记11niiXXn，则下列结论中不正确的是（ ） 22221122221( )()2()( )()()ninin

4、iiAXBXXCXXD n X服从分布服从分布服从分布服从分布二、填空题（914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在题中横线上。）9设21( )1f xx，则(3)(0)f=_10微分方程230yyy的通解为y _11 若 曲 线 积 分221Lxdxaydyxy在 区 域22( , )|1Dx yxy内 与 路 径 无 关 ， 则a _12幂级数111( 1)nnnnx在区间( 1,1)内的和函数( )S x _313设矩阵101112011A，123, 为线性无关的 3 维列向量组，则向量组123,A A A的秩为_14设随机变量X的分布函数为4( )0.5 ( )0.5 (

5、)2xF xx，其中( ) x为标准正态分布的分布函数，则E X （ ）_三、解答题（1523 小题，共 94 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）15（本题满分 10 分）设函数( , )f u v具有 2 阶连续偏导数，(,cos )xyf ex，求0 xdydx，220 xd ydx16（本题满分 10 分）求21limln 1nnkkknn17（本题满分 10 分）已知函数( )y x由方程333320 xyxy确定，求( )y x的极值418（本题满分 10 分）设函数( )f x在区间0,1上具有 2 阶导数，且0( )(1)0, lim0 xf xfx.证明：( ) 方

6、程( )0f x 在区间(0,1)内至少存在一个实根；()方程2( )( )( )0f x fxfx在区间(0,1)内至少有两个不同的实根。19（本题满分 10 分）设薄片型物体S是圆锥面22zxy被柱面22zx割下的有限部分， 其上任一点的密度为222( , , )9x y zxyz。记圆锥面与柱面的交线为C( ) 求C在xOy平面上的投影曲线方程；()求S的质量M。20（本题满分 11 分）设 3 阶矩阵123,A 有 3 个不同的特征值，且3122。( ) 证明( )2r A ；()若123，求方程组A x的通解。521（本题满分 11 分）设二次型222123123121323( ,)

7、2282f x x xxxaxx xx xx x在正交变换XQY下的标准型为221122yy，求a的值及一个正交矩阵Q22（本题满分 11 分）设随机变量,X Y相互独立，且X的概率分布为1(0)(2)2P XP X，Y的概率密度为201( )0,Yyyfy，其他( ) 求P YE Y （ ）()求ZXY的概率密度。23（本题满分 11 分）某工程师为了解一台天平的精度， 用该天平对一物体的质量做n次测量， 该物体的质量是已知的，设n次测量结果12,nXXX相互独立且均服从正态分布2( ,)N 。该工程师记录的是n次测量的绝对误差(1,2,)iiZXin，利用12,nZ ZZ估计。( ) 求i

8、Z的概率密度；()利用一阶矩求的矩估计量()求的最大似然估计量62018 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学(一一)试卷试卷一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项的字母填写在答题纸指定位置上.1.下列函数中，在 x=0 处不可导的是（ ）A.( )sinf xxxB.( )sinf xxxC.( )cosf xxD.( )cosf xx2.过点（1,0,0）与（0,1,0）且与曲面22zxy相切的平面方程为（ ） 。A.0z 与1xyzB.0z 与222xyzC.yx与1xyzD.yx与

9、222xyz3.023( 1)(21)!nnnn（ ）A.sin1 cos1B.2sin1 cos1C.2sin1 2cos1D.3sin1 2cos14.22222222(1)1,(1cos )1xxxMdx Ndx Kx dxxe，则 M,N,K 大小关系为（ ）A.MNKB.MKNC.KMND.KNM5.下列矩阵中，与矩阵110011001相似的为（ ）A.111011001B.101011001C.111010001D76.设A，B为n阶矩阵，记()r X为矩阵X的秩，(, )X Y表示分块矩阵，则（ ）A.( ,)( )r A ABr A.B.( ,)( )r A BAr AC.(

10、,)max( ), ( )r A Br Ar B.D.( , )(,)TTr A Br AB.7.设( )f x为某分布的概率密度函数，(1)(1)fxfx，20( )0.6f x dx ，则0P X （ ） 。A.0.2B.0.3C.0.4D.0.68.设总体 X 服从正态分布 N（，2）.X1，X2，Xn是来自总体 X 的简单随机样本，据此样本检验假设：00:H,10:H,则（ ）A .若在显著性水平0.05时拒绝0H，则0.01时也拒绝0H.B. 若在显著性水平0.05时接受0H，则0.01时拒绝0H.C. 若在显著性水平0.05时拒绝0H，则0.01时接受0H.D. 若在显著性水平0.

11、05时接受0H，则0.01时也接受0H.二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案卸载答题纸指定位置上.9.1sin01tanlim,1tankxxxex则k _.10.设函数具有 2 阶连续导数，若曲线( )yf x过点（0,0）且与曲线2xy 在点（1,2）处相切，则10( )xfx dx=_.11.( , , )F x y zxyiyzjxzk.求Frot(1,1,0)=_.12.设L为球面2221xyz与平面0 xyz的交线，求Lxyds =_813.设二阶矩阵 A 有两个不同特征值，1，2是 A 的线性无关的特征向量，且满足21212()()A，则A=_.14

12、.设随机事件 A 与 B 相互独立，A，C 相互独立，BC ，1( )( )2P AP B，1(|)4P AC ABC，则( )P C=_.三、解答题：15-23 小题，共 94 分，请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分 10 分）求不定积分2arctan1xxeedx16.（本题满分 10 分）将长为 2m 的铁丝分成三段，依次围成圆、正三角形与正方形，这三段分别为多长时所得面积之和最小，求出该最小值17.（本题满分 10 分）设是曲面22133xyz的前侧，计算曲面积分33()xdydzyz dxdzz 918.（本题满分 10 分）已知微

13、分方程( )yyf x,其中( )f x是 R 上的连续函数（1）当( )f xx时，求微分方程的通解（2）当( )f x为周期函数时，试证微分方程有解与其对应，且该解也为周期函数19.（本题满分 10 分）设数列 nx满足，10 x ，11nnxxnx ee(1,2,.)n .证明 nx收敛，并求limnnx20.（本题满分 11 分）设实二次型2221231232313( ,)()()()f x x xxxxxxxax，其中a是参数。（1）求123( ,)0f x x x的解（2）求123( ,)f x x x的规范形1021.（本题满分 11 分）已知a是常数，且矩阵1213027aAa

14、可经初等变换化为矩阵12011111aB（1）求a.（2）求满足APB的可逆矩阵P22.已知随机变量,X Y相互独立，X的概率分布为1(1)(1)2P XP X ，Y服从参数为的泊松分布，ZXY.(1)求(,)Cov X Z(2)求Z的分布律23.已知总体X的概率密度为 1( ;)2xf xe，x 其中(0,)为未知参数,12,nXXX为来自总体X的简单随机样本，记的最大似然估计量为(1)求(2)求( )E，( )D112019 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学(一一)试卷试卷一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分下列每题给出的四个选项中，只有一个

15、选项是符合题目要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上1、当0 x时，若xxtan与kx是同阶无穷小，则k（）(A) 1(B) 2(C) 3(D) 42、设函数0 ,ln0 |,|)(xxxxxxxf，则0 x是)(xf的（）(A) 可导点，极值点(B) 不可导点，极值点(C) 可导点，非极值点(D) 不可导点，非极值点3、设nu是单调递增的有界数列，则下列级数中收敛的是（）(A)1nnnu(B)11) 1(nnnu(C)11)1 (nnnuu(D)1221)(nnnuu4、设函数2),(yxyxQ，如果对上半平面)0(y内的任意有向光滑封闭曲线 C 都有0d),(d),(CyyxQxyx

16、P，那么函数),(yxP可取为 （）(A)32yxy (B)321yxy(C)yx11(D)yx15、 设 A 是 3 阶实对称矩阵， E 是 3 阶单位矩阵， 若EAA22， 且4|A， 则二次型xAxT的规范形为（）(A)232221yyy(B)232221yyy(C)232221yyy(D)232221yyy6 、 如 图 所 示 ， 有 3 张 平 面 两 两 相 交 ， 交 线 相 互 平 行 ， 它 们 的 方 程iiiidzayaxa321)3, 2, 1( i组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为AA,，则（）(A)3)(, 2)(ArAr(B)2)(, 2)(ArAr(

17、C)2)(, 1)(ArAr(D)1)(, 1)(ArAr7、设BA,为随机事件，则)()(BPAP的充分必要条件是（）(A)()()(BPAPBAP(B)()()(BPAPBAP(C)()(ABPBAP(D)()(BAPBAP128、设随机变量YX,相互独立，且都服从正态分布),(2N，则1| YXP（）(A) 与无关，而与2有关(B) 与有关，而与2无关(C) 与2,都有关(D) 与2,都无关二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分请将答案写在答题纸指定位置上9、设函数)(uf可导，yxxyfz)sin(sin，则yzyxzxcos1cos110、微分方程0222yyy满足条

18、件1)0(y的特解y。11、幂级数0! )2() 1(nnnxn在), 0(内的和函数)(xS。12、设为曲面44222zyx)0( z的上侧，则yxzxdd4422。13、设),(321A为三阶矩阵，若21,线性无关，2132，则线性方程组0Ax 的通解为。14、设连续型随机变量X的概率密度为其他 , 020 ,2)(xxxf，)(xF为X的分布函数，EX为 X 的数学期望，则1)(EXFP。三、解答题：1523 小题，共 94 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将答案写在答题纸指定位置上15、 （本题满分 10 分）设函数)(xy是微分方程22exyxy满足条件0)0(y的特解。（

19、1）求)(xy；（2）求曲线)(xyy 的凹凸区间及拐点。1316、 （本题满分 10 分）设ba,为实数，函数222ybxaz在点)4, 3(处的方向导数中，沿方向jil43 的方向导数最大，最大值为 10。（1）求ba,；（2）求曲面222ybxaz)0( z的面积。17、 （本题满分 10 分）求曲线xyxsine)0( x与 x 轴之间图形的面积。18、 （本题满分 10 分）设102d1xxxann), 2, 1, 0(n（1）证明：na单调减少，且221nnanna), 3, 2(n；（2）求1limnnnaa。1419、 （本题满分 10 分）设是由锥面222)1 ()2(zyx

20、) 10( z与平面0z围成的锥体，求的形心坐标。20、 （本题满分 11 分） 设向量组1211，2312，313a为3R的一个基，111在这个基下的坐标为1cb。（1）求cba,；（2）证明,32为3R的一个基，并求,32到321,的过渡矩阵。1521、 （本题满分 11 分）已知矩阵20022122xA与矩阵yB00010012相似，（1）求yx,；（2）求可逆矩阵 P，使得BAPP1。22、 （本题满分 11 分）设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 服从参数为 1 的指数分布，Y 的概率分布为pYP1，pYP11，令YXZ 。 （1）求 Z 的概率密度； （2）p 为何值时，X 与

21、Z 不相关； （3）X 与 Z 是否相互独立？23、 （本题满分 11 分）设总体 X 的概率密度为xxAxfx , 0 ,e);(222)(2，是已知参数，0是未知参数，A 是常数，nXXX,21是来自总体 X 的简单随机样本，（1）求 A；（2）求2的最大似然估计量。162017 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学(一一) 试题解析试题解析一、选择题1.【答案】A【考点】连续的定义；等价无穷小【解析】00011 cos12lim( )limlim2xxxxxf xaxaxa，0lim( )(0)xf xbf，要使函数在0 x 处连续，必须满足1122baba所

22、以应该选（A）2.【答案】C【考点】导数【方法一】构造函数2( )( )F xfx，求导得( )2 ( )( )F xf x fx，由已知条件知函数数()F X单调递增，即(1)( 1)FF，代入得22(1)( 1)ff，即(1)( 1)ff【方法二】( )0( )( )0,(1)( )0f xf x fxfx或( )0(2)( )0f xfx，只有 C 选项满足(1)且满足(2)，所以选 C。3.【答案】D【考点】方向导数【解析】计算方向余弦得：1cos3，2coscos3，偏导数( )2fxxy，2f yx ，2f zz ，(1,2,0)4,1,0gradf，得coscoscosff xf

23、 yf zu1224102333 ，选 D.4.【答案】C【考点】定积分的几何意义17【解析】从 0 到?时刻，甲乙的位移分别为010( )tv t dt与020( )tv t dt根据图像，00t 时，甲在乙前方 10m， 由定积分的几何意义知， 乙追上甲满足方程：0210( )( )10tv tv t dt 而在025t 时，乙比甲多跑 10m，满足题意，故025t 5.【答案】A【考点】行列式与特征向量得关系；可逆矩阵与行列式的关系【方法一】举例子，设(1,0,0)，则的特征值为1,0,0，易得E的特征值为0,1,1， 所以0 1 110E ， 又A为可逆矩阵的充要条件是0A ，所以E不

24、可逆【方法二】选项 A,由()0TE得()0TEx有非零解，故0TE。 即TE不可逆。 对于选项 B,由()1Tr得T的特征值为 n-1 个 0，1.故TE的特征值为 n-1 个 1 和 2.故可逆。其它选项类似理解。6.【答案】B【考点】相似【解析】由()0EA可知 A 的特征值为 2,2,1因为0002001001EA，(2)1rEA，也就是矩阵A属于特征值2存在两个线性无关的特征向量，A 有 3 个线性无关的特征向量，A 可相似对角化，且100 020002A由0EB可知 B 特征值为 2,2,1.因为0102000001EB，(2)2rEB，B 不可相似对角化。观察知 C 为对角矩阵，

25、AC，且 B 不相似于 C187.【答案】A【考点】概率公式计算【解析】 【方法一】画简图如下：(|)+ P A B(|)P A B +(|)(|)P A BP A B+ 对 A：(|)P B A +，(|)P B A +因此+与题同条件等价而 B 的大于小于号正好和 A 相反，不选。对 C：(|)P B A +(|)P B A +，不选。对 D：和 C 类似得到，不选。【方法二】因为|(|)P A BP A B，得 ()()()( )( )1( )P AP ABP ABP ABP BP BP B化简得)()()(BPAPABP19对于 A 项， ()|,|1( )P ABP BP ABP B

26、 AP B AP AP A，|(|)P B AP B A，化简得( ) ( )P ABP A P B，所以两者等价。8.【答案】B【考点】2分布【解析】221( ,1),(0,1)()( ),niiiXNXNXn A正确B 项，22111 N 0,20,1(1)22nnnXXXXXXN，即212(1)2nXXC 项，由22222111,(1)() (1)1nniiiiSXXnSXXnnD 项，1 ( , ),X Nn1(0,)XNn， 则(0,1)n XN， 所以22() (1)n X二、填空题9.【答案】0【考点】泰勒公式；导数【解析】方法一:因为 24622011( 1)1nnnf xxx

27、xxx ，求三阶导数得 23012 (21)(22)nnnfxnnnx，代入得 300f方法二:根据求导改变奇偶性的性质,因为( )f x为偶函数,所以(3)( )fx为奇函数,故(3)(0)0f.10.【答案】12(22 )xec cosxc sinx【考点】利用特征方程求解微分方程通解20【解析】由微分方程知，特征方程为2230，解得12i ，得通解为12(22 )xyec cosxc sinx11.【答案】1【考点】曲线积分与路径无关的充要条件【解析】2222,11xayP x yQ x yxyxy，曲线积分与路径无关等价于PQyx，又22222222,(1)(1)PxyQaxyyxyx

28、xy，计算得1a 12.【答案】21(1) x【考点】幂级数的和函数【解析】1112111( 1)11(1)nnnnnnxnxxxx13.【答案】2【考点】矩阵的秩【解析】因为123123(,)(,)AAAA ，且101101101A112011011011011000故 =2r A，又123, 线性无关， 123,r Ar A ,所以123(,)AAA的秩为 214.【答案】2【考点】期望的计算【解析】0.54( )0.5 ( )()22xF xx，故0.540.5( )()22xE Xxx dxxdx（ ）21首先，( )0 xx dxEX.令42xt，则4()2xxdx=242( )8

29、14( )8 tt dttt dt因此()2E X .三、解答题15.【考点】复合函数的求导解：因为(,cos )xyf ex，所以1212xxdyfefcosxf ef sinxdx即01|(1,1)xdyfdx由上述过程知21211121212222()()xxxxxd yf ef sinxf ef sinx ef ef ef sinx sinxf cosxdx所以2011122|1,11,1(1,1)xd yfffdx16.【考点】利用定积分的定义计算极限解：由定积分的定义知121101limln(1)limln 1ln 1nnnnkkkkkkxx dxnnnnn再利用分部积分法知法知1

30、1200ln 1ln 12xxx dxx d122100ln 1|(ln 1)22xxxdx12011222 1xlndxx120111 12221xlndxx 221100111121222 1lnxdxdxx101112ln(1)|242lnx1417.【考点】极值【解析】在方程两边同时对x求导，得2233330 xy yy （1）在（1）两边同时对x求导，得2222 ()0 xy yy yy也就是222( ) )1xy yyy 令（1）中0y，得1x 当11x 时，代入原方程得11y ；当21x 时，代入原方程得20y 当11x 时，0y，10y ，函数( )yy x取极大值11y ；当

31、21x 时，0y，10y 函数( )yy x取极小值20y 18.【考点】零点定理；罗尔定理；罗尔定理中的还原法（本质是微分方程）；解：1）由于0( )lim0 xf xx，根据极限的保号性得0,(0, )x 有( )0f xx，即( )0f x 即 (0, )0cf c 有又由于( )f x二阶可导，所以( )f x在0,1上必连续那么( )f x在c,1上连续，由(c)0, (1)0ff根据零点定理得：至少存在一点(c,1)，使( )0f，即得证（II）由（ 1）可知(0)0f，(0,1),( )0f 使，令( )( ) ( )F xf x fx，则23(0)( )0ff由罗尔定理(0,

32、),( )0f 使，则(0)( )( )0FFF，对( )F x在(0, ),( , ) 分别使用罗尔定理：12(0, ),( , ) 且1212,(0,1), ，使得12()()0FF，即2( )( )( )( )0F xf x fxfx在(0,1)至少有两个不同实根。得证。19.【考点】二重积分的应用与计算解：（I）C 的方程为2222zxyzx ，投影到 xOy 平面的方程为2220 xyxz，即22(1)10 xyz（2）S 的质量222, ,9ssmx y z dSxyz dS将22zxy代入上式得2229smxyz dS22229 21()()Dzzxydxdyxy2218Dxy

33、dxdy其中 D 为平面区域22(x,y)|2xyx令xrcosysin，易得( , )|02,22rrcos所以2cos222332220022181848cos96cosDmxy dxdydr rdrdd 因为In的定积分公式242200133 1 24 2 2sincos 134 2 125 3nnnnnnnnIxdxxdxnnnnn 为正偶数为大于的正奇数所以3202m96cos96643d 20.【考点】矩阵的秩；基础解系；通解解：（I）【方法一】证明：由3122可得12320，即123, 线性相关，因此，1230A ，即 A 的特征值必有 0。又因为 A 有三个不同的特征值，则三个

34、特征值中只有 1 个 0，另外两个非 0.且由于 A 必可相似对角化，则可设其对角矩阵为1212,00 ( )( )2r Ar 【方法二】设 A 的特征值为123, ，因为 A 有 3 个不同的特征值，所以 A 可以相似对角化，即存在可逆矩阵 P，使得1123P AP因为?两两不同，所以( )2r A 又因为3122，所以123, 线性相关，从而( )3r A ，得( )2r A （II）( )2r A ，知3( )1r A，所以0Ax 的基础解析只有一个解向量又因为312=2，12320可得12311,22011A 25得0Ax 的基础解析的解向量为121，同理由123， 得12311,11

35、11A ， 得Ax的一个特解为111 ，综上，Ax的通解为1121 ,11kkR 21.【考点】利用正交变换化二次型为标准形解：123(,)Tf x xxX AX，其中21411141Aa由于123(,)Tf x xxX AX经正交变换后，得到的标准形为221122yy，故214( )2| 01110241r AAaa，将2a 代入，满足( )2r A ，因此2a 符合题意，此时214111412A，则123214|11103,0,6412EA ，由( 3)0EA x，可得 A 的属于特征值-3 的特征向量为1111 ；由(6)0EA x，可得 A 的属于特征值 6 的特征向量为2101由(0

36、)0EA x，可得 A 的属于特征值 0 的特征向量为3121 26令123,P ，则1360P AP，由于123, 彼此正交，故只需单位化即可：1231111, 1,1,1,0,1,1,2,1,326TTT，则12311132612036111326Q ，360TQ AQ221236x Qyfyy 22.【考点】期望、概率、概率密度解：（I）计算得 102( )23E Yyfy dyyydy则2233024P YEYP Y( )239f y dyydy（II 方法一：Z 的分布函数为 ZzZFzPP XYzX0P XYz,X2，P X0,YzP X2,Y2z1P YzP Yz22 12 2y

37、yFzFz故 Z 的概率密度函数为270001011( )( ) ( )(2)2230122022303zzzzzzfzF z zf zf zzzzzzz其他方法二：( )zfzP ZzP XYz，当0z 时，( )0;ZFz 当3z 时，( )1;ZFz 当01z时，( )0,0,ZFzP XYzP XYz2010 2;22zzP XP Yzydy当12z时，1( )0,0 12ZFzP XYzP XP Y当23z时，( )0,2,20 1ZFzP XYzP XZzP XP Y22011112 22(2)2222zP XP Zzydyz即220,0,012( )11(1) ,23221,3Z

38、zzzFzzzz密度为,01( )2,230,Zzzfzzz其他23.【考点】概率密度；矩估计量；最大似然估计量【解析】 （I）( )()()iziiFzP ZzP Xz当0,( )0izzFz当0,( )()()()()iziiXzFzPzXzPzXzFzFz 当0z 时，28222222222112( )( )()()222iizzzzzxxfzFzfzfzeee综上2222,0( )20,0izzezfzz.（）22222220021()22zziE Zzedzedz2222220222()222zzed令1111()nniiiiiE ZZZZXnn，而由此可得的矩估计量112niiXn

39、（III）对总体X的n个样本12,nXXX，则相应的样本绝对误差为12,nZ ZZ,1,2. ,iiZXu in令其样本值为12,niiz zzzxu则对应的似然函数22122z22121i22=,z ,0( )220 ,niiiznnneezzL其他两边取对数，当12z ,0nzz时22121ln ( )ln22niiLnZ令231ln ( )10niidLnZd 所以，221111()nniiiiZXunn为所求的最大似然估计。292018 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学(一一) 试题解析试题解析一、选择题1.【答案】D【解析】A 可导00sinsin()

40、(0)limlim0 xxxxxxfxx，00sinsin( )(0)limlim0 xxxxxxfxxB 可导00sinsinlimlim0 xxxxxxfxx 00sinsinlimlim0 xxxxxxfxx C 可导2001cos12(0)limlim0 xxxxfxx2001cos12(0)limlim0 xxxxfxxD 不可导001()cos112limlim2xxxxfxx 001()cos112limlim2xxxxfxx (0)(0)ff2.【答案】B【解析】因为平面过点（1,0,0）与（0,1,0） ，故 C、D 排除，曲面22zxy的法向量为30（2 ,2 , 1xy

41、） ，因为平面过（1,0,0） ，则平面方程为2 (1)20 x XyYZ，又因为平面过（0,1,0） ，故xy，切点2( , ,2)x xx，由此，取特殊值：令1x ，则法向量为（2,2,-1） ，切点(1,1,2)故 B 选项正确。而对于 A 选项，取12x才会出现其方程关系，但其切点为1 1 1( , )2 2 2，该平面不过切点，所以错误。3.【答案】B.【解析】 【方法一】2121002121002210023212( )( 1)( 1)(21)!(21)!212( 1)( 1)(21)!(21)!11( 1)2( 1)(2 )!(21)!cos2sin nnnnnnnnnnnnnn

42、nnnnnnS xxxnnnxxnnxxxnnxxx023( 1)(1)cos12sin1(2 +1)!nnnSn【方法二】21023( )( 1)(21)!nnnnS xxn2023( )( 1)(2 )!nnnnS xxn221011( 1)3( 1)(21)!(2 )!nnnnnnxxnnsin3cosxxx ( )cos2sinS xxxx023( 1)(1)cos12sin1(2 +1)!nnnSn4.【答案】C【解析】31222222(1)11xMdxdxx,2 2x 时，1cos1x，所以KM对于 N 的处理，可以画函数曲线，快速得到大小关系也可取辅助函数，令( )1xf xxe

43、 ，(0)0f，( )1xfxe 当0,2x时，( )0fx ；当,02x 时，( )0fx 所以,2 2x 时，有( )0f x ，从可有11xxe（等号只在 0 点成立） ，由比较定理得NM，故选 C.5.【答案】A【解析】方法一：定义法看题目中的数字可以设想，若存在可逆矩阵 P，使得1P APB，那么猜想这个 P 可能是初等矩阵， 那不妨一试。 接下来想是哪个初等矩阵呢？对换、 倍乘、 倍加这三种中的哪个呢？若是对换矩阵，一定会导致变换之后不是上三角矩阵，而选项都是上三角，所以不是对换；若是倍乘矩阵，一定会导致变换后数字不再是1，但选项中的数都是1，所以不是倍乘；最后就只剩倍加了， 那么

44、是把哪一行的多少倍加到哪一行呢？观察选项的右上角， 也就是13b的位置都是1,所以是某行的1倍加到第 1 行了，那么是第 3 行的1倍加到第 1 行吗？试了下，不行，于是只能是第 2 行的1倍加到第 1 行了，因此令1110010001P，一旦1P选定，P就定了，110010001P1110111011011001001PP32所以110011001与111011001相似，故选（A）方法二：排除法令 Q=110011001,特征值为 1,1,1()2r EQ选项 A：令111011001A，A 的特征值为 1,1,1，011()0012000r EAr选项 B：令101011001B，B 的

45、特征值为 1,1,1，001()0011000r EBr选项 C：令111010001C，C 的特征值为 1,1,1，011()0001000r ECr选项 B：令101010001D，D 的特征值为 1,1,1，001()0001000r EDr若矩阵Q与J相似，则矩阵EQ与EJ相似，从而()()r EQr EJ，故选（A）6.【答案】A.【解析】方法一:( ,)( ,)( ,)( )r E Bnr A ABr A E Br A,故 A 正确.方法二: 易知( ,)( )r A ABr A.又由分块矩形的乘法,可知( ,)( ,)A ABA E B,因此( ,)min ( ), ( ,)r

46、A ABr A r E B从而( ,)( )r A ABr A所以( ,)( )r A ABr A,故选项(A)正确方法三:排除法对选项(B),取1001,0010AB,则( )1, ( ,)2r Ar A BA33对选项(C),取1000,0001AB,则( )( )1, ( ,)2r Ar Br A B对选项(D),取1001,0000AB,则( ,)1, (,)2TTr A Br AB7.【答案】A.【解析】 【方法一】利用随机变量的概率密度函数所满足的性质及给定的条件求解因为(1)(1)fxfx,所以( )f x的图形关于1x 对称,因此:(0)(2)P XP X又因为20( )0.6

47、f x dx ,所以(0)(2)2 (0)1 0.60.4P XP XP X 从而(0)0.2P X ,故选(A)【方法二】特殊值法：由已知可将( )f x看成随机变量21,XN的概率密度，根据正态分布的对称性，(0)0.2P X 8.【答案】D【解析】结合图示进行解答解如上图所示,/2aZ表示标准正态分布的上2a分位数,即图中阴影部分的面积为2a,区间/2/2(,)aaZZ是在显著性水平下的接受域.若显著性水平0.05时接受0H即表示检验统计量0/XZn的观察值落在接受域0.0250.025(,)ZZ内.区间0.0050.005(,)ZZ包含0.0250.025(,)ZZ,因此其观察值也落在

48、区间340.0050.005(,)ZZ内,即落在接受域内,所以选项(D)正确,(B)错误.0.05时拒绝0H,即Z的观察值落在拒绝域0.0250.025(,)ZZ 内;但区间0.0050.005(,)ZZ 包含于0.0250.025(,)ZZ ,因此无法判断观察值是否落在区间0.0050.005(,)ZZ 内,选项(A),(C)无法确定,故选(D).二、填空题9.【答案】2k .【解析】1 tanln()1 tansin01 tanln()11 tanlimsinsin001 tanlim()lim1 tanxxkxxxxkxkxxxxeeex0001tan2tanln()2tan21tan1

49、tanlim1limlim1sin(1tan )xxxxxxxxkxkxkxxk 2k ，10.【答案】2ln 22【解析】(0)0f，(1)2f，1(1)2 ln22ln2xxf1111100000( )( )( )( )(1)( )xfx dxxdfxxfxfx dxffx dx2ln 2(1)(0)2ln 22ff11.【答案】 （1，0，-1）【解析】令Pxy，Qyz ，Rxz则(0,0,0)( ,)ijkijkrotFyzxyzxxyzxyzPQRxyyzxz故(1,1,0)(1,0, 1)rotF12.【答案】3.【解析】352222211()20 xyzxyxyxyz222221

50、121()()()22363xydsxydsdsxyzdsds 轮换对称性.13.【答案】1【解析】222221212112212()AAA 从而221122(1)(1)01，2无关，2110 ，2210 11，21 ，或11 ，21，1A 14.【答案】14.【解析】()()()()()()()PACABACCP ACABCP ABCACP AC ABCP ABCP ABCP ABC=()()()()( )()P ABCP ACP ABCP ABP CP ABCBC ，从而ABC ()()()()( )()P ABCP ACP ABCP ABP CP ABC=( ) ( )( ) ( )(