高中数学解析几何经典结论汇编 (1).pdf

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1、领世培优解析几何经典结论总结领世培优解析几何经典结论总结 第一节：极速秒杀法 第一节：极速秒杀法-椭圆经典结论椭圆经典结论 结论结论 1：椭圆焦点三角形周长：椭圆焦点三角形周长：12222 ,4PFFac MNFa周长周长；例题例题： （1）椭圆22131xy，点 A,B 经过椭圆左焦点，2ABF的周长。解：244 3ABFa周长。 （2）过椭圆221259xy左焦点作直线与椭圆交于 AB，若2212AFBFAB，求的值。 解：2AB=4a=12+ ABAB =8F周长。 结论结论 2：焦点三角形离心率：焦点三角形离心率：121222FFceaPFPF；1 22 1cos2= PFF= PF

2、Fcos2e（，）；例题例题： （1）过椭圆22221xyab左焦点作 x 轴的垂线与椭圆交于 P，若1260FPF，求离心率。解：1212233233FFcteaPFPFt。 （2）过椭圆22112mxy右焦点2F作 x 轴的垂线与椭圆交于 A,B，若1ABF为正三角形，求椭圆方程。解：3090coscos112-m22=8309032 3coscos22em。 （3）已知正方形 ABCD，求以 A，B 为焦点且过 C，D 的椭圆的离心率。 解：121222122FFcteaPFPFtt。 （4）在三角形 ABC 中，AB=BC，7cos18B ，求以 A,B 为焦点，且过 C 的椭圆的离心

3、率。解：21221225523593283FFttctACACetaPFPFt 。 （5）设222221Fxyab以的右焦点为圆心，且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为 M，若1FM与圆相切，求 e. 解：121222c3 123FFceaPFPFcc。 结论结论 3：焦点三角形之夹角：焦点三角形之夹角：1 22PFF12S=b tan,sin1= FPF22e，； 例题例题：已知椭圆22221xyab的两焦点，P 为椭圆上点且12120FPF，求离心率取值范围。 解：3sin1 ,122ee ， 。 结论结论 4：中点弦斜率：则：中点弦斜率：则2222220022222200 xx11axxy

4、byakkabaybby ；例题例题：(1) )已知椭圆2222x1ayb的焦点F050（ ，）被直线 y=3x-2 截得弦中点横坐标为12，求椭圆方程。 解：22222111a2-c503-112275252yxkb中点（ ， ），。 (2)已知椭圆22143xy，确定 m 取值范围，使得对于直线 y=4x+m，椭圆上总有不同两点关于该直线对称。解：00000013ABx-344xkyxy 设中点（ ，y ）,， 22m92 132 13-m -3m1431313mm 中点（，）在椭圆内。 结论结论 5：椭圆上任意不与：椭圆上任意不与 x 轴垂直弦轴垂直弦 AB 中点中点 M，O 为原点，则

5、为原点，则2221ABOMbkkea ； 例题例题：(1)过点 M（1,1）作斜率为1-2的直线与椭圆22221xyab交于 A,B 两点，且 M 为 AB 中点，求离心率。 解：221121,-222OMABABOMbkKkkea 。 （2）过椭圆22221xyab的右焦点直线30 xy交椭圆于 A,B 两点，且 p 为 AB 中点，OP 斜率为12，求椭圆方程。 解：222PABOM211k=-1,K=kkF30a6,312263OABbxyba （，）。 （3）椭圆22221xyab的右焦点 F(3,0),过 F 作直线交椭圆于 A，B 两点，若中点 M(1,-1),求椭圆方程。 解：2

6、222221191-113 2,3122189ABOMxykkeeeaba （ ）。 结论结论 6：椭圆上两关于原点对称点为：椭圆上两关于原点对称点为 A，B，任意点为，任意点为 P，则，则2221PAPBbkkea ； 例题例题：(1)已知椭圆2222x1yab的离心率 e=63,过椭圆上一点 M 作直线 MA，MB 分别交椭圆于 A,B 两点，且斜率分别为12k ,k，若 A，B 关于原点对称，求12k k的值。 解：222212221-13back keaa 。 (2)已知椭圆22x143y的左右顶点分别为 A，B，点 P 在椭圆上，且 PA 斜率取值范围：-2 -1，,直线 PB 的斜

7、率取值范围。 解：212233 3k kk2, 1 =-,48 4bka 。 结论结论 7：焦点弦：设通径长为：焦点弦：设通径长为 H， 则则222222222222H2abH2abAB =(xAB =(cossin1-e cos1-e sinacac焦点在 轴）；焦点在y轴）； 例题例题：(1)已知斜率为 1 的直线过椭圆22x14y焦点交椭圆于 A，B 两点，求AB。 解：222282351-sin1-sin 454HABe； (2)已知过椭圆 221132xyF 的左焦点的直线叫椭圆于 B，D 两点，过2F右焦点的直线交椭圆于 A，C 两点，且ACBD,垂足为 P，求四边形 ABCD 的

8、面积最小值。 解：ABCD2224411969633S=min112224sin 2251-cos1- sin33ABDBCDSSBDAC. 结论结论 8：焦半径：焦半径： 则则2222bbbbAF =AF =(xBFBF(cos+ cossin+ sinaca caca c；焦点在 轴）；焦点在y轴）； 例题例题：已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆2222x1yab左焦点1F交椭圆于 A，B 两点，其中22AFAB BF，成等差数列，求椭圆离心率。 解：22222222AF + BF =2 AB422ABAF + BF + AB =4a32cos4aabeac 。 结论结论 9：焦半径之比：

9、焦半径之比：2111ek（焦点在（焦点在 x 轴） ；轴） ；2111)k1e（焦点在（焦点在 y 轴）轴）; 例题例题：(1)连接椭圆22221xyab右焦点 F 和短轴端点 A 交椭圆于另点 B,且2AFFB，求离心率。 解：22111 2 1311112 13bekece 。 (2)已知22221xyba的离心率22e ，直线 l:y=kx+1 过上焦点 F 与椭圆交于 A，B 两点,若 A 到 y 轴距离是点 B到 y 轴距离的 2 倍，求 k。 解：221112 12141)1)kk1k2 127e（ 。 结论结论 10：焦半径之比求离心率取值范围：焦半径之比求离心率取值范围：111

10、e椭圆：，； 例题例题：已知椭圆22221xyab的两焦点，P 为椭圆上点且123PPFF，求离心率取值范围。 解：111112ee ， 。 结论结论 11：仿射变换求斜率：仿射变换求斜率：222222x1PAPBybk kaba 椭圆：； 例题例题： （1）已知 P 是椭圆22221axyb上一点，且 A，B 为椭圆左右顶点，求 PA，PB 两直线斜率之积。 解：222222xa+y1,1PAPBPAPBPAPBxabxk kk kk kybayb 。 （2）已知 P 是椭圆22143xy上一点，且 A，B 为椭圆左右顶点，且 PB 斜率取值范围为【-2，-1】 ，求 PA 斜率取值范围。

11、解：333-2k1k484PAPBPBPAk k ， 。 结论结论 12：仿射变换求面积：仿射变换求面积：2222x1ySabSab 椭圆：； 例题例题： （1）已知椭圆22y14x，且 A（2,0） ，B（0,1） ，直线 y=kx(k0)与 AB 相交于 D，于椭圆相交于 EF，求四边形 AEBF 面积最大值。 解：22maxmaxx1+y1,222(EFS2 12=2 222xxSAByy ） 。 （2）已知椭圆22y143x，且四边形 EFGH 四个顶点都在椭圆上，且 EG，FH 过原点，若3k4EGFHk ，求证：四边形 EFGH 面积为定值。 解：22121212121212x33

12、332+y1,1,y44223xyyyyyyxxxxxxxy 则对角线垂直 ， 1S2 2=2S=232=4 32 。 结论结论 13：直线与椭圆位置关系：直线与椭圆位置关系： 222222222222222c(c(c(A aB bA aB bA aB b相切）；相离）；相交）； 例题例题： （1）求直线 y=2x+1 与椭圆221416xy的位置关系_。 解：14 4 1 16 ，则相交。 （2）求直线 x+y-3=0 与椭圆2214xy的位置关系_。 解：94 1 1 1 ，则相离。 第二节：极速秒杀法 第二节：极速秒杀法-双曲线经典结论双曲线经典结论 结论结论 1：双曲线焦点三角形周长：

13、双曲线焦点三角形周长：222-4 ,42MFNFMNaMNFaMN周长; 例题例题：(1)双曲线22143xy，M，N 都在双曲线上，且 MN 过左焦点1F，求22MF + NF - MN。 解：由题：22-48MFNFMNa。 (1)双曲线221169xy，M，N 都在双曲线上，且 MN 过左焦点1F，且2MN =5MNF，求周长。 解：由题：24216 1026MNFaMN周长。 结论结论 2：焦点三角形离心率：焦点三角形离心率：121222FFceaPFPF；sin2sin2e； 例题例题：(1)过双曲线22221xyab左焦点作倾斜角为30的直线交双曲线右支为 M，且2FxM 轴，求离

14、心率。 解：12122332-2tFFcteaPFPFt。 (2)P 在双曲线22221xyab上，且1 212PFF =15FPF =90，求双曲线的离心率。 解：1575sinsin22= 21575sinsin22e。 (3) 抛物线22ycx的准线与双曲线22221xyab左支交于 A,B 两点，且AOB=120，求离心率。 解：121222312-3FFcceaPFPFcc。 结论结论 3：焦点三角形面积：焦点三角形面积：1 22121 2PFFPF+PF +FFS=r(=b cot22Pc y内切圆）; 例题例题： （1）已知双曲线22x1y，点 P 在双曲线上，若1260FPF，

15、求点 P 到 x 轴的距离。 解：1 22PFF606c= 2,S=b cot22PPc yy。 （2）已知双曲线22x1y，点 P 在双曲线上，若1260FPF，求12PF PF的值。 解：1 22PFF12121S=b cotPF PF sinPF PF422。 （3）已知双曲线22yx112，点 P 在双曲线上，若12PF3=PF2，求1 2PFFS的值。 解：1 212121 2PFF121PF - PF =2PF =6 PF =4 FF =2 13,cos =90SPF PF sin122，。 （4）已知双曲线2222xy1ab右焦点为 F，过原点直线 l 交双曲线于 M，N 两点，

16、且MF NF=0，MNFS=ab,求离心率。 解：12MNFMFFSS=abcot45,2bab e 。 结论结论 4：双曲线渐近线：双曲线渐近线：21 k ( :ek渐近线的斜率）； 例题例题：已知双曲线22221xyab右顶点 A，以 A 为圆心，b 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于 M,N 两点，若 60MAN，求离心率。 解：60MANMAx=30MAN为正三角形轴，222 31tan1tan303e 。 结论结论 5：过焦点直线与两支分别相交：过焦点直线与两支分别相交：21+ke，+，k:直线斜率；直线斜率； 例题例题：过双曲线22221xyab右焦点 F 作倾斜角60的直线与左右

17、两支有且仅有一个交点，求离心率取值范围。 解：221+k1+ 3eee ，+，+2，+。 结论结论 6：双曲线上两关于原点对称点为：双曲线上两关于原点对称点为 A，B，任意点为，任意点为 P，则，则222kk=e1PAPBba ； 例题例题：(1)已知双曲线2222x-1yab的两顶点为 A，B,P 为双曲线上任一点，且PAPBk=2k，求离心率。 解：222kk=2=e13PAPBbea 。 (2)已知双曲线2222x-1yab两顶点为 A，B,P 为双曲线上任一点，且 ABP 为等腰三角形，顶角为120，求离心率。 解：2223AB = PBPAB=30PBA=120kk3=e123PAP

18、Bbea ，。 结论结论 7：中点弦：中点弦：21ABOMkke； 例题例题：已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线22221xyab相交于 A，B 两点，中点 M（1，3） ，离心率。 解：22k1 1 312ABOMkeee 。 结论结论 8：中点弦斜率：则：中点弦斜率：则2222220022222200 xx-1-1axxybyakkabaybby ； 例题例题：直线 l 与双曲线2222x1yab交于 A，B 两点，若 P（b,m)满足AP=PB，过右焦点 F 的直线与 l 垂直，求双曲线离心率 e。 解： 22202220bb015=12xbbbmkeaya ma mbc . 结论结论

19、 9：焦点弦：设通径长为：焦点弦：设通径长为 H， 则则22222222222222(cossin1-cos1-sinHabHabABxAByacacee焦点在 轴）；焦点在 轴）； 例题例题：过双曲线22x13y左焦点 F 作倾斜角为6的直线交双曲线于 A,B 两点，求AB。 解：222H6AB =31-e cos1-4cos6 ； 结论结论 10：焦半径：焦半径： 则则2222bbbbAF =AF =(xBFBF(cos+ cossin+ sinaca caca c；焦点在 轴）；焦点在y轴）； 结论结论 11：焦半径之比：焦半径之比：2111ek（焦点在（焦点在 x 轴） ；轴） ；21

20、11)k1e（焦点在（焦点在 y 轴）轴）; 例题例题：过双曲线22211xyc的右焦点 F，斜率为3直线与双曲线交于 A,B 两点，且A4 BFF，求 c 的值。 解：224 166 1113=4 1511c1cec 。 结论结论 12：焦半径之比求离心率取值范围：焦半径之比求离心率取值范围：+11-1e双曲线，； 例题例题：已知双曲线22221xyab的两焦点，P 为椭圆上点且122PFPF，求离心率取值范围。 解：+111-1ee ，3 。 第三节：极速秒杀法第三节：极速秒杀法-抛物线经典结论抛物线经典结论 结论结论 1：焦半径：焦半径： ppAF =(x; BF =(Bx;1 cos1

21、 cosA： 轴上方）： 轴下方） 例题例题：(1)直线过抛物线24yx的焦点 F 且交抛物线于 A,B 两点，A 在 x 轴上方，若AF =5，求BF。 解：2325AF =5cos =BF=31-cos5415. （2）直线过抛物线24yx的焦点 F 且交抛物线于 A,B 两点，A 在 x 轴上方，直线倾斜角为60求FOAS。 解：AOF213AF =4S=OF AF= 31221-2. 结论结论 2：焦点弦：焦点弦：2pp2=F +F =1 cos1 cossinpABAB； 例题例题：(1)若抛物线23yx，过焦点 F 作倾斜角为30的直线与抛物线交于 A,B，求AB。 解：222p3

22、121sin( )2AB. （2）直线过抛物线22yx的焦点 F 且交抛物线于 A,B 两点，若25AB =AF12BF，求AF。 解：22252 6115AB =sin,cos1sin1255615AF. （3）若抛物线24yx，过焦点 F 作两条互相垂直的直线分别于抛物线交于 A,B 和 C，D，求ABCDmin。 解：222222min16sin 2sincos4pppABCD. 结论结论 3：焦半径之比：焦半径之比：2111ek（焦点在（焦点在 x 轴） ；轴） ；2111)k1e（焦点在（焦点在 y 轴）轴）; 例题例题：若抛物线24yx，过焦点 F 作直线与抛物线交于 A,B，若F

23、 =3 BFA，求直线 l 方程。 解：AF1 cos13costan3, :3(1)BF1-cos2kl yx . 结论结论 4：焦点弦：焦点弦：1.2=2sinOABpS；2.OAFOBFSAFSBF； 例题例题：若抛物线23yx，过焦点 F 且倾斜角为30的直线交抛物线于 A,B 两点，求OABS。 解：22392=2sin2sin304OABpS（ ）. 结论结论 5：中点弦斜率：中点弦斜率： 则则222200002222xxppypxkypxkxpykxpykyypp ； 例题例题：斜率为 k 的直线与抛物线24yx交于 A，B 两点，O 为原点,M 为 AB 中点，且OFMS=2，求 k。 解：FM1211 y24,242OSyk . 结论结论 6：焦点弦：焦点弦：1.112+=AFBFP；2. 22sin2ppABAFBF；3.2124px x ；4.212y yp ;