高中数学知识要点及解题方法精粹.pdf

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1、 1 目录目录 目录 . 1 作者自序 . 3 专题 A 常用的数学思想和方法. 4 专题 B 常用化简技巧与常用公式 . 5 专题 C 数学解题经验谈 . 6 专题 1 集合(B1) . 7 练习 集合 . 9 专题 2 函数及其定义域(B1) . 12 练习 解不等式 . 14 练习 函数定义域 . 14 专题 3 函数解析式的求法(B1) . 16 练习 求函数解析式 . 18 专题 4 值域，最值(B1) . 21 练习 函数值域 . 23 专题 5 函数图象及其变换(B1) . 24 练习 函数图象 . 26 专题 6 单调性(B1) . 27 练习 函数单调性 . 29 专题 7

2、奇偶性、对称性(B1) . 31 练习 函数奇偶性 . 33 专题 8 周期性(B4) . 35 练习 周期性 . 37 专题 9 指数与指数函数(B1) . 39 练习 指数函数 . 40 专题 10 对数与对数函数(B1) . 42 专题 11 幂函数的图像与性质(B1) . 43 练习 对数函数 . 44 专题 12 抽象函数及定点问题(B1) . 48 练习 定点和定值问题、抽象函数问题 . 49 专题 13 成立与恒成立(B1) . 52 练习 恒成立、有解、无解问题 . 54 专题 14 函数与方程、二分法(B1) . 56 专题 15 二次方程根的分布(B1) . 57 练习 函

3、数与方程 . 58 专题 16 函数的应用(B1) . 60 练习 函数的应用 . 61 专题 17 常见函数题型的解题思路（1）(B1) . 63 练习 必修 1 教材经典习题精选 . 65 专题 18 空间几何体(B2) . 66 练习 空间几何体 . 68 专题 19 点、直线、平面之间的关系(B2) . 70 练习 立体几何 . 74 专题 20 直线方程(B2) . 82 练习 直线与方程 . 84 专题 21 曲线的对称性(B2) . 87 专题 22 圆的方程(B2) . 88 练习 圆与方程 . 91 练习 必修 2 教材经典习题精选 . 96 练习 综合训练（1） . 97

4、专题 23 算法、程序框图、程序(B3) . 101 专题 24 统计(B3) . 104 专题 25 概率(B3) . 107 练习 算法、统计、概率 . 109 专题 26 三角函数(B4) . 111 专题 27 三角函数的图象与性质(B4) . 114 专题 28 平面向量(B4) . 117 练习 平面向量 . 120 专题 29 两角和与差的公式(B4) . 123 专题 30 解三角形(B5) . 124 练习 三角函数 . 126 专题 31 数列(B5) . 129 专题 32 等差数列(B5) . 130 专题 33 等比数列(B5) . 131 专题 34 递推数列的通项

5、公式(B5) . 133 专题 35 数列求和(B5) . 136 专题 36 数列型不等式的证明(B5) . 137 练习 数列 . 138 专题 37 不等式的性质(B5) . 141 专题 38 解不等式(B5) . 142 专题 39 含参数不等式的解法(B5) . 143 专题 40 证明不等式常用方法(B5) . 144 专题 41 线性规划(B5) . 145 练习 线性规划 . 146 专题 42 常用逻辑用语X21 . 147 专题 43 椭圆、双曲线、抛物线X21 . 148 专题 44 直线交圆锥曲线的解题模式X21 . 150 专题 45 直线与圆锥曲线的综合知识X21

6、 . 151 专题 46 曲线中的最值，定值(点)，取值范围X21151 专题 47 求轨迹方程X21 . 152 练习 圆锥曲线（1） . 153 练习 圆锥曲线（2） . 157 专题 48 空间向量，距离与夹角(X21) . 160 专题 49 导数X22 . 161 练习 函数综合题 . 163 专题 50 定积分(X22) . 165 专题 51 常见函数题型的解题思路（2）(X22) . 166 练习 函数性质 . 179 练习 恒成立问题 . 180 专题 52 推理与证明X22 . 184 专题 53 复数X22 . 185 专题 54 排列与组合(X23) . 186 专题

7、55 二项式定理(X23) . 187 2 专题 56 随机变量及其分布(X23) . 188 专题 57 回归分析、独立性检验X23 . 190 练习 排列与组合 . 191 练习 概率与统计（1） . 191 练习 概率与统计（2） . 194 专题 58 几何证明(X41) . 196 专题 59 坐标系，参数方程X44 . 197 专题 60 柯西不等式、排序不等式(X45) . 199 练习 不等式 . 200 练习 教材经典习题精选 . 201 练习 综合训练（2） . 207 专题 D 数学解题表 . 209 后记 . 210 【说明说明】括号中的 B1 表示必修 1，以此类推！

8、括号中 X21 表示选修 2-1，以此类推！ （注意：X11、X12 的内容在加中括号的 X21、X22、X23 中） 任何一种简洁的解题方法都离不开准确快速的运算做支撑！任何一种简洁的解题方法都离不开准确快速的运算做支撑！ 可以说，得运算者得数学，得数学者得天下！可以说，得运算者得数学，得数学者得天下！ 数学其实也是一门游戏，先掌握好规则数学其实也是一门游戏，先掌握好规则， （规则：数学规则：数学定义、定理定义、定理、运算法则等）、运算法则等） 再再学习学习如何用好规则，就能取得如何用好规则，就能取得好成绩好成绩！ 高考数学能力要求高考数学能力要求 空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、

9、数据处理能力、以及应用意识、创新意识空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力、以及应用意识、创新意识 其中，其中，运算求解能力是最基础的又是应用最广的一种能力：运算的合理性，运算的准确性，运算的运算求解能力是最基础的又是应用最广的一种能力：运算的合理性，运算的准确性，运算的熟练性，运算的简洁性它体现了思维的灵活性、敏捷性、深刻性不仅包括对数的运算，也包括对式熟练性，运算的简洁性它体现了思维的灵活性、敏捷性、深刻性不仅包括对数的运算，也包括对式的运算，兼顾对算理和逻辑推理的考查的运算，兼顾对算理和逻辑推理的考查 总结细致入微，促你于无声处常顿悟！ 归纳全面突破，助你求知路上拔头筹！

10、 版权归原作者所有，请尊重版权作者：陈永清高中数学知识要点及解题方法精粹打开成功大门的金鈅匙 3 作者自序作者自序 这是一本极具个性和特色的高中数学知识要点和解题方法的辅导工具书！这是一本极具个性和特色的高中数学知识要点和解题方法的辅导工具书！ 它是来自于长期在教学一线并从事高三数学教学多年的教师的心血之作！它是来自于长期在教学一线并从事高三数学教学多年的教师的心血之作！ 它站在实用的立场，瞄准高考，几乎一网打尽高考数学解题方法和策略！它站在实用的立场，瞄准高考，几乎一网打尽高考数学解题方法和策略！ 一、大开本页面排版，使得每个专题的知识点、题型方法在一面上就能集中连贯流畅的显示，阅读起来非常

11、方便；它避免了同学们在笔记本上因东抄西写而不成系统的缺陷，因此使用起来效率更高 二、编排上不同于一些数学知识手册，它不是简单地将课本上的概念、定义、公式、定理简单罗列，而是将有规律性的数学结论（如周期性、等比型递推数列、线性规划中目标函数的类型等）集中在一起，有些结论给出了详尽的推导过程，还有一些给出了方法提示，阅读的时候若能比较、鉴别、思考，就能悟出许多解题方法 三、将平常练习与考试中经常遇到的问题归结为一个题型，或进一步提供解题思路、或进一步归纳解决这一类问题的理论依据，以达到训练思维的作用如： “1 ，2 ，使得方程g(2) = (1)成立” ，这句话的含义就是“*| = ()， + *

12、| = g()， +” ，如果悟出了这个含义，涉及它的问题不就很容易解决了吗！ 如果平时如果平时没有没有学会学会这些这些命题或语句的转化命题或语句的转化，临到考试时岂不是束手无策，临到考试时岂不是束手无策？本书本书（如专题（如专题“成立与恒成立”“成立与恒成立” ）收收集了众多这种能训练思维、清晰解题思路的命题或语句，如果平时能多悟一悟，解题能力必将上一新台阶集了众多这种能训练思维、清晰解题思路的命题或语句，如果平时能多悟一悟，解题能力必将上一新台阶！ 四、强调知识、方法应用的可操作性作者在归纳中，强调通则通法的掌握运用，并不归纳怪、偏、难的方法，如专题“常见函数题型的解题思路（1） （2）

13、” ，可使学生在模仿解题中感悟，在感悟中收获还有些知识点，通过作者的反复揣摩，归纳出可操作性的步骤和结论，掌握之后，再全面理解整个知识点的发生过程就容易多了 五、将教师在教学中常常需要强调的东西形成文字，便于学生反复阅读，从而加深印象将教师在教学中常常需要强调的东西形成文字，便于学生反复阅读，从而加深印象它也将许多散见于各种资料中和师生面授相传中的好方法汇集在其中 六、本书归纳的方法、结论、解题规律确实很多，除少部分常用结论和方法要铭记于心之外，大部分只要通本书归纳的方法、结论、解题规律确实很多，除少部分常用结论和方法要铭记于心之外，大部分只要通过反复体会和运用就能掌握，无需死记呆背过反复体会

14、和运用就能掌握，无需死记呆背为了帮助同学们掌握方法和记忆重要结论，或直观理解一些结论，作者编配了一些顺口溜，绘制了一些对应的图象 七、本书全面配合高考数学考点的复习安排，因此在一轮复习时若能及时同步消化吸收，必将奠定夺取高分本书全面配合高考数学考点的复习安排，因此在一轮复习时若能及时同步消化吸收，必将奠定夺取高分的坚固基石的坚固基石；本书也是二三轮复习，乃至考前必读材料；高中数学有十多本教材，考前不可能再一一翻阅，正是由于本书全面配合高考数学考点的复习安排，因此考前对于自己感觉薄弱的地方，及时查阅强化不无裨益便捷 八八、同时本书又适于高一、高二学生作为工具书使用，同步积累知识和方法，为高考打下

15、坚实的基础同时本书又适于高一、高二学生作为工具书使用，同步积累知识和方法，为高考打下坚实的基础 九、本书配备了一些题组训练，它们主要来自于近几年高三学生在平时的练习或考试（试题主要来源于湖南四大名校的试卷）中容易出错、或不会解答的题，但并非怪题、难题，它们甚至可以说是具有代表性的经典题、综合题，如果我们能在平时一一攻克，必将使我们的数学思维能力得到极大的锻炼和提高，解题能力产生质的飞跃；或期望读者通过对解题过程的理解， （客观题有关键性提示和答案，解答题则有详尽的解答过程） ，进一步掌握解题方法和思路，能够举一反三，避免在考试中失误正所谓，它山之石，可以攻玉 作者：陈永清 态度决定人生的高度！

16、 记性、悟性、自觉性决定了你学习上的收获！ 高分数、好成绩是靠自己悟出来的！正所谓：师傅领进门，修行在个人！不怕难题不得分，就怕每题扣点分！ 4 专题专题 A 常用的数学思想和方法常用的数学思想和方法 一数学思想：1数形结合的思想；2分类与整合的思想；3函数与方程的思想；4转化与化归的思想； 5特殊与一般的思想；6有限与无限的思想；7或然与必然的思想；8正难则反的思想 二数学基本方法：配方法、换元法、反证法、割补法、待定系数法；分析法、比较法、综合法、归纳法、观察法、定义法、等积法、向量法、解析法、构造法、类比法、放缩法、导数法、参数法、消元法、不等式法、判别式法、数形结合法、分类讨论法、数学

17、归纳法、分离参数法、整体代换、正难则反、设而不求、设而求之 【解题时：方法多，思路广，运算准，化简快 】 三数学逻辑方法：分析与综合、归纳与演绎、比较与类比、具体与抽象等 【也称数学思维方法 】 四选择题的方法：四个选项有极大的参考价值！千万不要小题大做！ 求解对照法(直接法)；逆推代入法(淘汰法)；数形结合法(不要得意忘形)；特值检验法(定值问题)； 特征分析法(针对选项)；合理存在性法(针对选项)；逻辑分析法(充要条件)；近似估算法(可能性) 五填空题的方法：直接法；特例法(定值问题)；数形结合法；等价转化法 六熟练掌握数学语言的三种形式：自然语言、符号语言、图形语言的相互转化 七计算与化

18、简：这是一个值得十分注意的问题！平时的训练中，要多思考如何快速准确的计算和熟练的化简！ 八学会自学！课堂上不可能把所有的题型都讲到！所以要多看例题，多思考！看之前一定要想自己会怎么做！ 怎么看：一看解题思路【看完后要归纳步骤、总结方法】 ，二看规范表达【尽量学会使用数学语言、符号】 学会总结归类：从数学思想上归类；从知识应用上归类；从解题方法上归类；从题型类型上归类 【特别提醒】 1一道题有没有简便解法，关键就在于你能不能发现其中的一些条件的特殊性条件的特殊性，并能加以灵活运用！ （灵机一动） 【转化、联想、换元等，另外，解题时有时对一些细节的处理也很关键，会起到峰回路转、柳暗花明的作用 】

19、2解函数、解析几何、立体几何的客观题，应特别注意数形结合思想的运用！但在解答题中，不能纯粹只凭借图象来解答问题；图象只起到帮助找到解题思路的作用【图象尽量画准，甚至在有时给出图象时也需要自己重新准确画一遍】 ；解题过程还是要进行严谨的理论推导【用数学语言表达】 ，不能纯粹以图象代替推理、证明 3转化数量关系时，若是写不等式，则要注意是否可以取“=” 特别是求取值范围时，端点一定要准确处理 4平常做解答题应该做完整：解题过程的表达是否流畅、简洁否则到考试时，还需为如何组织语言表达去思考而耽误时间这是平时训练值得注意的【条理分明、言简意赅、字迹工整】！表达也是思维的一部分！ 5在解答题中，某些局部

20、问题解答过程的书写的详略，取决于整个解题书写过程的长短：长则略写，可用易证、易知等字眼；短则详写如果要应用教材中没有的重要结论，那么在解题过程中要给出简单的证明 6在设置有几问的解答题中，后面问题的解决有时候依赖于如何灵活运用前面已解决的问题的结论 有些解答题某一问貌似与前面无关，实则暗【明】示你必须把它与前面联系起来，才能解决问题 7平常要多积累解题经验和解题技巧熟记一些数学规律和数学小结论对解题也是很有帮助的 8数学总分上不上得去，很大程度上取决于选择题、填空题得分高不高而选择题、填空题更注重对基础知识，基本数学思想、方法和技能的全面考察因此，要熟练掌握解选择题、填空题的特有方法：在解选择

21、题或填空题时，优秀的解题方法更显得重要建议每天做一份选择、填空题，花大力气提高解选择、填空题的准确率和速度 【注意：选择题的四个选项中有且只有一个是正确的，是一个需要特别重视的已知条件 】 9可以在专门的笔记本上，收集作业、考试中的错题，学习中遇到的经典题，便于日后考前复习巩固 作业本上的错题作业本上的错题、试卷上的错题、试卷上的错题一定要及时更正！做错了不可怕，可怕的是做错了不去纠正！一定要及时更正！做错了不可怕，可怕的是做错了不去纠正！我的成功归功于精细的思考，只有不断地思考，才能到达发现的彼岸。牛顿 5 专题专题 B 常用化简技巧与常用公式常用化简技巧与常用公式 1繁分式化简分式：1+2

22、+13;1+4=(1+2+1)(3;1+4)=:2:3;:4 ( (同乘同乘) ) 2分式中的负指数幂化成正指数幂：:;=(:)(;)=2:12;1 ( (同乘同乘) ) 3齐次式变形： =:33:； =22:4;322:2；2 5 + 42 0 ( (同除同除) ) 4除法分配律（分数裂项） ：:=+；;=11 ( (分式变形时常用分式变形时常用) ) 5分子常数化： =2;1;1=(2;2):1;1=1;1+ 2； =2:4=21:4( 0)； =;1:1=(:1);2:1= 1 2:1； =22;4:3;1=2(;1)2:1;1= 2( 1) +1;1（或用换元法令分母为后，达到分子常数

23、化要求） 6分母有理化：1:=1(;)(:)(;)=;； 12:1;=1(2:1:)(2:1;)(2:1:)= 2+ 1 + ； 分子有理化： =(;)(:)1(:)=;:； 2+ 1 =2:1;1=(2:1;)(2:1:)1(2:1:)=12:1:； 7配方：2 + 2= ( 2)2+342； 2+ 2= ( + )2 2； 2+12= ( +1)2 2； = 2+ + = ( +2)2+4;24( 0)； 2+ 2+ 2 =12,( )2+ ( )2+ ( )2- 8因式分解、乘法公式： 2 2= ( )( + )； ( + + )2= 2+ 2+ 2+ 2 + 2 + 2； 2 2 +

24、2= ( )2； 2+ 2 + 2= ( + )2； 3 3= ( )(2+ + 2)； 3+ 3= ( + )(2 + 2)； ( )3= 3 32 + 32 3； ( + )3= 3+ 32 + 32+ 3 9设2+ + = 0的两根为1，2，令= 2 4， 求根公式：1，2=;2;42( 0)另有|1 2| = (1 2)2= (1+ 2)2 412=| 根与系数的关系（韦达定理） ：1+ 2= ，12= 【注意：解此类方程组时可构造方程2+ += 0再解】 因式分解：2+ + = ( 1)( 2) 【十字交叉法分解因式要熟练！ 】 三角形中的三边、边角不等关系，外角定理，=12=12s

25、in，面积 = sin 边形内角和：( 2) 180；边形外角和：360 角平线定理：在中，的平分线交边于，则= 重心性质：设的三条中线，相交于点，则 = 2， = 2， = 2 若关于成反比，则 =；若关于成正比，则 = 【其中 为待定系数】 若关于成正比，且关于成反比，则 = 你会解这两个方程吗？ + = 0；2+ + = 0. + = 0； + = 0对于 或， 恒成立 = 0， = 0 2+ + = 0；2+ + 2= 0 对于 或， 恒成立 = 0， = 0， = 0 准确作图，对解题是有很大帮助的因此作图工具要备好：圆规、三角板、量角器、铅笔 说明：分子常数化分子常数化手段，对于我

26、们了解分式函数单调性，图象，求数列最大项、最小项，整数解问题等都有极大的帮助。 不怕难题不得分，就怕每题扣点分！ 6 专题专题 C 数学解题经验谈数学解题经验谈 1善于学习的人，就要会归纳总结 2函数、方程、不等式的整理要规范化简、变形应有目的，要避免盲目性、随意性： 分式是否要通分，整式是否要（展开）去括号，多项式是否要提公因式，怎样移项， 3既要学会分类讨论，也要学会避免讨论 4题中的条件都化简、转化了吗？问题（还）能转化吗？ 有些问题的后续思路往往在边计算边化简中发现的，因此计算、化简的准确性非常重要！ 5解题的最高境界就是揣摩出命题者的意图，从而巧妙解题 （智取远胜硬拼！ ） 6换元法

27、使复杂问题简单化；待定系数法用于非设不可的题型，即不设就不易表达数量关系而无法求解 7含参数问题中，给出某个结果(值域、最值等)，往往需要主动再求出这个结果，利用它们要吻合，解决问题 8数学不是靠老师教会的，而是在老师的引导下，靠自己的主动思维活动去获取的；学习数学必须要有自己的体会，自己悟透了才可以学好平时要养成对重点题目以及考试中的错题一定要算出答案的习惯，哪怕问了或者看了解答或老师作了讲评，也应该自己再动手完整演算、书写一遍，即做到“考后满分” 9准确计算准确计算，并注意计算结果的合理性，如椭圆、双曲线、抛物线方程中2，2，的值通常为一些正整数，点的坐标已确定的平面的法向量的坐标值比较简

28、单等，如数值反常，则要考虑是否计算粗心出错高考题一般不会人为加大计算量，高考要求控制计算量、加大思维量 流畅、简洁地表达解题过程，也是数学思维的一部分；要做到：会解题，会表达会解题，会表达 要掌握一些常规解答题的解答步骤和规范、简洁的答题模式，养成良好书写习惯 错题本上的习题你都会做了吗？经典题的解题思路你都掌握了吗？ 向老师请教时，你的准备工作做好了没有？该画的图象画了没有？可以化简或转化的，你化简或转化没有？ 解题若无思路，则更应做好上述工作！因为往往在此过程中，解题思路自然就清晰起来了 要重视基础题的训练，不要一味的去攻克难题，基础不落实，往往会事倍功半 平时计算不要依赖计算器，因为高考

29、毕竟不允许使用计算器，而且平时养成心算或笔算，也能训练解题速度 为便于自学，购买教辅资料时，尽量选每一题解答都非常详尽的那一种（但不要边做练习边看答案！ ） 建议高一时，买一本高三一轮复习资料(每一题都有详尽解答的)作同步学习资料用，一是了解基础的重要性，二是了解知识的综合性，三是不知不觉就完成了高三一轮复习，这对我们真正进入高三复习有极大的帮助 数学解题如何表达 平时作业要求 1字迹工整，页面整洁；作图或列表，用尺规、铅笔； 【美观】 2每写一（小）题，空一行；作业本可对折，左右各做一题； 【大气】 3解题正式书写时，应先写上“解： ”或“证明： ” ；错题及时更正，要抄题重做； 【规范】

30、虽然有时题目没有明确要求画图，但需要借助图象解题，则也应画出图形来 4解答题的过程要简洁，即把体现解题思路性的东西写上，代数化简的过程则不必太详尽 【灵活】 只有平时作业养成良好的书写习惯，考试才不会出问题，只有平时作业养成良好的书写习惯，考试才不会出问题，有时会因卷面漂亮多得分，小小失误不扣分！有时会因卷面漂亮多得分，小小失误不扣分！ 学习数学要多做习题，边做边思索。先知其然，然后知其所以然。苏步青 7 专专题题 1 集合集合(B1) 1元素与集合：一般地，把研究对象统称元素；把一些元素组成的总体叫做集合 集合中的元素具有：确定性确定性，互异性互异性，无序性无序性 【思考】*|( )( 3)

31、 = 0+ =？ 2元素与集合的关系：，； 3常用数集符号：或:正整数集，自然数集，整数集，有理数集，实数集，无理数集，复数集， *| = 2， +偶数集，*| = 2 1， +奇数集 【有理数：， ， 0】 4集合的三种常用表示方法：列举法列举法、描述法描述法（形式可具有多样性） 、图示法图示法（一种解题工具或方法） 5集合与集合的（包含）关系： ， ， = ， ， 【显然， ；另规定： 】 概念：子集（若 ，都有 ，则 ） ； 集合相等（若 ，且 ，则 = ） ； 真子集（若 ，但 ，且 ，则 ） 6若集合中有个元素，则集合的所有子集个数为2 （0+ 1+ 2+ + = 2或 (21)=

32、2 ） 所有非空子集的个数是2 1，所有真子集的个数是2 1，所有非空真子集的个数是2 2 【， 】 7 = *| ，或 +； = *| ，且 +； = *| ，且 + 【显然与成对出现】 8摩根定理摩根定理：()() = ()； ()() = () 【右图中、四部分你能用集合符号表示吗？】 9 = = 【要重点理解掌握！ 】 () = () = 含参数的集合含参数的集合 满足满足 或或 = 等情形时等情形时， 在在求解求解的时候的时候要注意是否需要分要注意是否需要分 = 与与 两种情形讨论两种情形讨论 若含参数的集合是一个方程或不等式的解集，也可以从通过讨论系数的符号来解方程或不等式的角度考

33、察 补充 1 1求集合（有限集）中的参数的值要注意检验：是否违反集合中元素的互异性，是否与已知条件矛盾 2求集合交、并、补或求满足 或 = 等情形时参数取值范围的方法： 观察法（有限集） ， 数形结合法【无限集，利用韦恩（Venn）图，或数轴，或坐标平面】 3注意区分集合中元素的含义： 【数集一般都要数集一般都要进一步化简！进一步化简！ 】 数集数集： = *|() = 0+方程的解集； = *|() 0+或*|() 0+区域； *(，)|(，) )， 则满足 的集合有2;个；满足 的集合有2; 2个 2满足 = *1，2，+的集合，有 (31)= 3对 【每个元素放置的位置都是三选一，如图

34、】 3在集合 = *1，2，+的所有子集中： 集合中的每个元素出现2;1次（譬如1这个元素,注意集合 *2，+有2;1个子集） 含个元素的子集有个，在这个子集中，集合中的每个元素出现;1;1次（譬如1这个元素） 4从集合观点理解方程或不等式恒成立、有解、无解问题的解决之道： 对于集合 = *|()+，集合 = *|()+，其中()，()代表不等式或方程，则 ()对 恒成立！ 【大范围对小范围恒成立大范围对小范围恒成立；有时需利用 转化一下 】 () ()对 恒成立且()对 恒成立！ ()在有解（或()在有解） ； = ()在无解（或()在无解） 若 ，都有 【若 ，但 ，且 ，则 】 1 1解

35、方程组时消元的方法：代入消元；加减消元；乘除消元解方程组时消元的方法：代入消元；加减消元；乘除消元 2 2求值时，很多时候要进行检验，求值时，很多时候要进行检验，以以防止产生增根，防止产生增根，此外此外还要考虑是否漏根；还要考虑是否漏根； 求取值范围求取值范围时，一般来说，只要限制条件考虑周全，则时，一般来说，只要限制条件考虑周全，则不需检验不需检验 （端点要（端点要特别特别注意注意是否包含是否包含） 参见专题：成立与恒成立 合二为一的几种类型合二为一的几种类型 11+ 2= ，12= . 1，2是2+ += 0的两根. 212+ 1+ = 0， 22+ 2+ = 0. 1，2是2+ + =

36、0的两根；() = ，() = . () = 有两个(不等)实根，. 31+ 1+ = 0， 2+ 2+ = 0. 经过(1，1)，(2，2)两点的直线方程为 + + = 0. 4奇函数： = ()， 0，()， 0，()， 0 = (|). 5 = ， ， = max *，+； = ， ， 10+ 6已知集合满足*1，2+ *1，2，3，4，5+，写出所有满足条件的集合 7设集合 = *，1，+， = *，2，+，且 = ，求实数，的值 8若集合 = *|2 2 3 = 0+， = *| = 1+，若 ，求实数的值 9已知集合*|2+ + = + = *+，求，的值 若非空集合非空集合 =

37、*|2 + 1 3 5+， = *|3 22+，则使 成立的实数的取值范围是_ 已知集合 = *| = +16， +， = *| =213， +， = *| =2+16， +，那么正确的是 A = B = C D B 组 1已知集合 = *(，)|4 + = 6+， = *(，)|3 + 2 = 7+，则 =_ 2已知集合 = *| 0+， = *| 1 2+，则 =_， =_ 3已知 = *|是等腰三角形+， = *|是直角三角形+，则 =_ 4已知集合 = *|2 + 1 3 5+， = *|3 22+， （1）若 = ，求实数的取值范围； （2）若 ，求实数的取值范围 5已知全集 = ，

38、集合 = *| 2+， = *|0 3+求， ， 6已知全集 = *| 5+，集合 = *| 2 4+， = *| 4 3+，求， ，( )() 7设集合 = *|2+ 4 = 0+， = *|2+ 2( + 1) + 2 1 = 0+， （1）如果 = ，求实数的取值范围； （2）如果 = ，求实数的取值范围 8设全集 = *|0 0+，若 = ，求实数的取值范围 已知集合 = *|2 + 2 19 = 0+， = *|2 5 + 6 = 0+， = *|2+ 2 8 = 0+，若 ， = ，求实数的值 设集合 = *| 2 1+， = *| +，若 = *| 2+， = *|1 3+， 则

39、 =_， =_不怕难题不得分，就怕每题扣点分！ 10 答案 A 组 1*| 1 且 2+； 【解析】2 2 1 且 2 2解：3 ， 3 = 3，或 2 1 = 3，或2 4 = 3， = 0，或 = 1，或 = 1， 由于 = 1时， = *4， 3， 3+，不合集合要求， 所以， = 0 或 1； 当 = 0时， = *3， 1， 4+；当 = 1时， = *2，1， 3+ 3*0，1，2，5+； 【提示】注意同时满足： ，且61: ，则1 + = 1，2，3，6 *4，0，4+， 【提示】对，的符号分四类：三正、两正一负、一正两负、三负讨论. 4解：2 ， 解： ， 11;2 ，即1 ，

40、 11; ， 11;(;1) ，即12 ， 11;11 ，即1 1 ， 11;12 ，即2 ， 11;(1;1) ，即 ， 故 = *2， 1，12+. 故 = *，11;，1 1+. 解：若集合为单元素集，则 =11;，即2 + 1 = 0， 由于= 1 4 = 3 3 5，得 9. 5解： = ， = (0，1)(2，3)， = ,1，2-， = *| 0，或 3+ 6解： = (2，3-， = *| 2，或 4 5+， ( )() = () = *| 2，或 3 5+ 7解： （1）由已知可得 = *0， 4+，又由 = ，得 ， = ，或*0+，或*4+，或*0， 4+. 当 = 时，

41、= 4( + 1)2 4(2 1) 0，解得 1， 当 = *0+，或*4+时，= 4( + 1)2 4(2 1) = 0，解得 = 1，此时 = *0+， 当 = *0， 4+时，4 + 0 = 2( + 1)4 0 = 2 1 ，解得 = 1， 综上， 1或 = 1. （2）由 = ，得 ，即*0， 4+ ；又中最多只有两个元素，所以 = = *0， 4+， 从而由（1）易得， = 1. 8*2，3，4，8+解析：画出韦恩图！ 9解：当 = 时，2+ ( + 2) + 1 = 0无解， = ( + 2)2 4 0，4 0 1+ 2= ( + 2) 4. 解：由已知可得 = *2，3+， =

42、 *2， 4+， ， = ， 2 ，3 ， 4 2 + 2 19 09 3 + 2 19 = 0，即2 2 15 02 3 10 = 0， 3，5 = 2，5，所以 = 2，此时 = 3， 5， 故 = 2. = 1， = 3解析：利用数轴，直接确定集合中的不等式的两个端点 不怕难题不得分，就怕每题扣点分！ 12 专题专题 2 函数及其定义域函数及其定义域(B1) 研究函数必须树立研究函数必须树立定义域优先考虑定义域优先考虑的原则！的原则！( (很重要，但又很容易忽视很重要，但又很容易忽视) ) 1函数的定义： 设，是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合

43、中都有唯一确定的数()和它对应，那么就称： 为从集合到集合的一个函数，记作 = ()， 函数()的图象与动直线 = 至多只有一个公共点！这是判断一个图象是不是函数图象的方法 点(，)在函数 = ()的图象上 () = 函数表示法解析法、列表法、图象法 两个函数为同一函数的充要条件是定义域与对应关系相同【即在定义域相同的条件下解析式可化为相同】 设函数 = ()的定义域为集合，若()在集合上有意义，则 区间表示法：设 ，则*| + = ,，-，*| 0，且 1） ， ； = log（ 0，且 1） ， 0； = tan， ， +2， ； 通过加、减、乘、除四则运算及有限次复合构造出新函数，则新函

44、数的定义域是每个函数定义域的交集 应用问题的定义域，除了要考虑解析式本身的定义域，还要考虑使应用问题有意义 求定义域时最好不要对解析式先变形，否则容易出错 5不给出()的解析式，函数()，(g()，()三者之间定义域的关系： 【定义域都是指定义域都是指的取值范围的取值范围 】 已知()的定义域是(，)，求(g()的定义域：解不等式 g() ，其解集就是(g()的定义域 已知(g()的定义域是(，)，求()的定义域：利用 求g()的值域，该值域就是()的定义域 已知(g()的定义域是(，)，求()的定义域： 利用 (，)先求出g()的值域(，)， 然后解不等式 () ， 此不等式的解集就是()的

45、定义域 【总之，求抽象函数的定义域，关键是抓住被同一个 作用的对象对象取值范围相同 】 6| = ， 0， 0时，为上的增函数； 0在,，-恒成立，则() 0，() 0 若() 0在,，-恒成立，则() 0，() 0 若()在(，)上有零点（即 + = 0在(，)上有解） ，则() () 0时，值域为*| 4;24+；当 0时，在(， 2-上单调递减，在,2， + )上单调递增； 当 0时，在(， 2-上单调递增，在,2， + )上单调递减； 奇偶性： = 时为偶函数时为偶函数 （ = = 0时为奇函数） = 2+ + = ( +2)2+4;24的值域， 【不能简单类比 = + 而得出错误的结

46、论 】 当 0时，值域为,0， + )或,(2)， + )（二者必居其一） 设() = 2+ + ，则: 若() 0在上恒成立，则 = = 0， 0 或 0， 0 若() 0在上恒成立，则 = = 0， 0 或 0， 0时一、三象限的双曲线； 0时，在(，0)，(0， + )上为减函数； 当 0时，过双曲线上一点(，)向坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积；显然 0； （2）( 2)( 4) 0； （2）;2;4 0； （3）;2 0； （4）:2:3 0； 3 （1）| 2； （2）| 2| 3； （4）|2 1| 5 4 （1）2 6 + 8 0 练习练习 函数定义域函数定义域 1用区间表

47、示下列集合： （1）*| 3，或 5+； （2）*|1 5+； （3）*|1 3，或 = 5+， （4）*|1 3，或 6 7+ 2求下列函数的定义域： （1）() = 1 +15:， （2）() =(:2)0|;， （3）() = + 5 +13;， （4）() =2;5;6 3 （1）若函数() = 2 + 1的定义域为，求实数 的取值范围 （2）设集合 = *| = 1+， = *| = 2+ 2 + 1+，则 =_ （3）已知函数 = + 1（ 1，或 3+； （2）*|2 1，或 3+； （2）*|2 2，或 0+； （4）*| 3 2+； 3 （1）*| 2 2+； （2）*| 1

48、 3，或 3，或 2+ 4 （1）*|2 5，或 0，得 0，且 2， 所以函数()的定义域为*| 0，得5 3， 所以函数()的定义域为*| 5 0 = 2 4 0， （结合抛物线 = 2 + 1的图象思考！ ） = 0，或0 4， 所以 的取值范围为,0，4-. （2）,1，2-解析： = *| 1+， = *| 2+. 【前者是函数的定义域，后者是函数的值域】 （3）解：函数 = + 1（ 0，且为常数）的定义域为(， 1-， 依题意，(，1- (， 1-，则1 1 0 ，所以1 0， 故实数的取值范围为1 0 4 （1）解：由1 2 + 1 3，得0 如何解不等式（或方程） ：(g()

49、 () 方法一：就g()，()与的大小关系分四种情形，将两边代出后求解； 方法二：令g() = ，() = ，解出的值，得到（能分段代出两边的）标准后，分段求解 3若() = + ;1;1+ + 22+ 1 + 0，且() = 0，则()必含有因式( )； 必要时可以用竖式除法或待定系数法将()因式分解； 若 = 0为()的极值点，则 = 0必为方程() = (0)的重根 4 = 2+ + = ( +2)2+4;24在确定的情况下，抛物线的形状（即开口大小）也就随之确定！ 5三次函数() = 3+ 2+ + 的解析式： 【其图象( 0)的各种情形你知道吗？】 若已知() = 0的三个根为1，2

50、，3，则可设() = ( 1)( 2)( 3) 若已知() = 0的两个根为1，2，则可设() = ( 1)( 2)( ) 若已知() = 0的一个根为1，则可设() = ( 1)(2+ + ) 6三次函数() = 3+ 2+ + 有极值的充要条件是：() = 32+ 2 + = 0有两个不等实根 【由() = 32+ 2 + = 3( 1)( 2)的图象可知 】 不等式的解集 设1 0，则 1*|( 1)( 2) 0+ *|1 0+ *| 2+ 大于取两边 【 “小鱼吃中间，大鱼吃两边” ，即“小于取中间，大于取两边” ；数轴穿根法：奇穿偶切数轴穿根法：奇穿偶切 】 3*|;1;2 0+ *