2011年云南省昆明市中考数学试题及答案.pdf

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1、1 2011 年云南省昆明市中考数学试卷2011 年云南省昆明市中考数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，满分 27 分） 1、 （2011昆明）昆明小学 1 月份某天的气温为 5，最低气温为1，则昆明这天的气温差为（ ） A、4 B、6 C、4 D、6 2、 （2011昆明）如图是一个由相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A、 B、 C、 D、 3、 （2011昆明）据 2010 年全国第六次人口普查数据公布，云南省常住人口为 45966239 人，45966239 用科学记数法表示且保留两个有效数字为（ ） A、4.6107 B、4.6106 C、4.5108 D、4.510

2、7 4、 （2011昆明）小明在九年级进行的六次数学测验成绩如下（单位：分） ：76、82、91、85、84、85，则这次数学测验成绩的众数和中位数分别为（ ） A、91，88 B、85，88 C、85，85 D、85，84.5 5、 （2011昆明）若 x1，x2是一元二次方程 2x27x+4=0 的两根，则 x1+x2与 x1x2的值分别是（ ） A、 ，2 B、 ，2 C、 ，2 D、 ，2 6、 （2011昆明）下列各式运算中，正确的是（ ） A、3a2a=6a B、=2 C、 D、 （2a+b） （2ab）=2a2b2 7、 （2011昆明）如图，在ABCD 中，添加下列条件不能判定

3、ABCD 是菱形的是（ ） A、AB=BC B、ACB C、BD 平分ABC D、AC=BD 2 8、 （2011昆明）抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A、b24ac0 B、abc0 C、 D、ab+c0 9、 （2011昆明）如图，在 RtABC 中，ACB=90，BC=3，AC=，AB 的垂直平分线 ED 交 BC 的延长线于 D 点，垂足为 E，则 sinCAD=（ ） A、 B、 C、 D、 二、填空题（每题 3 分，满分 18 分 ） 10、当 x _ 时，二次根式有意义 11、 （2011昆明）如图，点 D 是ABC 的边 BC 延长线

4、上的一点，A=70，ACD=105，则B= _ 12、 （2011昆明）若点 P（2，2）是反比例函数 y= 的图象上的一点，则此反比例函数的解析式为 _ 13、 （2011昆明）计算：= _ 14、 （2011昆明）如图，在ABC 中，C=120，AB=4cm，两等圆A 与B 外切，则图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为 _ cm2 （结果保留 ） 15、 （2011昆明）某公司只生产普通汽车和新能源汽车，该公司在去年的汽车产量中，新能源汽车占总产量的 10%，今年由于国家能源政策的导向和油价上涨的影响，计划将普通汽车的产量减少 10%，为保持总产量与去年相等，那么今年新能源汽车的产量应增

5、加的百分数为 _ 三、简答题（共 10 题，满分 75 ） 16、 （2011昆明）计算： 17、 （2011昆明）解方程： 18、 （2011昆明）在ABCD 中，E，F 分别是 BC、AD 上的点，且 BE=DF求证：AE=CF 3 19、 （2011昆明）某校在八年级信息技术模拟测试后，八年级（1）班的最高分为 99 分，最低分为 40 分，课代表将全班同学的成绩（得分取整数）进行整理后分为 6个小组，制成如下不完整的频数分布直方图，其中 39.559.5 的频率为 0.08，结合直方图提供的信息，解答下列问题： （1）八年级（1）班共有 _ 名学生； （2）补全 69.579.5 的直

6、方图； （3）若 80 分及 80 分以上为优秀，优秀人数占全班人数的百分比是多少？ （4）若该校八年级共有 450 人参加测试，请你估计这次模拟测试中，该校成绩优秀的人数大约有多少人？ 20、 （2011昆明）在平面直角坐标系中，ABC 的位置如图所示，请解答下列问题： （1）将ABC 向下平移 3 个单位长度，得到A1B1C1，画出平移后的A1B1C1； （2）将ABC 绕点 O 顺时针方向旋转 180，得到A2B2C2，画出旋转后的A2B2C2，并写出 A2点的坐标 21、 （2011昆明）如图，在昆明市轨道交通的修建中，规划在 A、B 两地修建一段地铁，点 B 在点 A 的正东方向，由

7、于 A、B 之间建筑物较多，无法直接测量，现测得古树 C 在点 A 的北偏东 45方向上，在点 B 的北偏西 60方向上，BC=400m，请你求出这段地铁 AB 的长度 （结果精确到 1m，参考数据：，1.732） 22、 （2011昆明）小昆和小明玩摸牌游戏，游戏规则如下：有 3 张背面完全相同，牌面标有数字 1、2、3 的纸牌，将纸牌洗匀后背面朝上放在桌面上，随机抽出一张，记下牌面数字，放回后洗匀再随机抽出一张 4 （1）请用画树形图或列表的方法（只选其中一种） ，表示出两次抽出的纸牌数字可能出现的所有结果； （2）若规定：两次抽出的纸牌数字之和为奇数，则小昆获胜，两次抽出的纸牌数字之和为

8、偶数，则小明获胜，这个游戏公平吗？为什么？ 23、 （2011昆明）A 市有某种型号的农用车 50 辆，B 市有 40 辆，现要将这些农用车全部调往 C、D 两县，C 县需要该种农用车 42 辆，D 县需要 48 辆，从 A 市运往 C、D 两县农用车的费用分别为每辆 300 元和 150 元，从 B 市运往C、D 两县农用车的费用分别为每辆 200 元和 250 元 （1）设从 A 市运往 C 县的农用车为 x 辆，此次调运总费为 y 元，求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）若此次调运的总费用不超过 16000 元，有哪几种调运方案？哪种方案的费用最小？并求出

9、最小费用？ 24、 （2011昆明）如图，已知 AB 是O 的直径，点 E 在O 上，过点 E 的直线 EF 与 AB 的延长线交于点 F，ACEF，垂足为 C，AE 平分FAC （1）求证：CF 是O 的切线； （2）F=30时，求的值 25、 （2011昆明）如图，在 RtABC 中，C=90，AB=10cm，AC：BC=4：3，点 P 从点 A 出发沿 AB 方向向点 B 运动，速度为 1cm/s，同时点 Q 从点 B 出发沿 BCA 方向向点 A 运动，速度为 2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动 （1）求 AC、BC 的长； （2）设点 P 的运动时间为 x

10、（秒） ，PBQ 的面积为 y（cm2） ，当PBQ 存在时，求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）当点 Q 在 CA 上运动，使 PQAB 时，以点 B、P、Q 为定点的三角形与ABC 是否相似，请说明理由； （4）当 x=5 秒时，在直线 PQ 上是否存在一点 M，使BCM 得周长最小？若存在，求出最小周长；若不存在，请说明理由 5 答案与评分标准 一、选择题（每小题 3 分，满分 27 分） 1、 （2011昆明） 考点：有理数的减法。 专题：应用题。 分析：依题意，这天的温差就是最高气温与最低气温的差，列式计算 解答：解：这天的温差就是最高气温与最低气温的

11、差， 即 5（1）=5+1=6 故选 B 点评：本题主要考查有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数这是需要熟记的内容 2、 （2011昆明） 考点：简单组合体的三视图。 专题：几何图形问题。 分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中 解答：解：从正面看易得第一层有 2 个正方形，第二层和第三层左上都有 1 个正方形 故选 D 点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图 3、 （2011昆明） 考点：科学记数法与有效数字。 分析：科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值是易错点，由于 1

12、048 576有 7 位，所以可以确定 n=71=6 有效数字的计算方法是：从左边第一个不是 0 的数字起，后面所有的数字都是有效数字 用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的 a 有关，与 10 的多少次方无关 解答：解：45 966 239=4.59662391074.6107 故选 A 点评：本题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法 4、 （2011昆明） 考点：众数；中位数。 分析：根据众数的定义：出现次数最多的数，中位数定义：把所有的数从小到大排列，位置处于中间的数，即可得到答案 解答：解：众数出现次数最多的数，85 出现了 2 次，次数最多，所以众

13、数是：85， 把所有的数从小到大排列： 76， 82， 84， 85， 85， 91， 位置处于中间的数是： 84， 85， 因此中位数是： （85+84） 2=84.5， 故选：D 点评：此题主要考查了众数与中位数的意义，关键是正确把握两种数的定义，即可解决问题 5、 （2011昆明） 考点：根与系数的关系。 专题：推理填空题。 分析：根据根与系数的关系得出 x1+x2= ，x1x2= ，代入即可求出答案 解答：解：2x27x+4=0， x1+x2= = ，x1x2= =2 故选 C 点评：本题主要考查对根与系数的关系的理解和掌握，能熟练地运用根与系数的关系进行计算是解此题的关键 6、 （2

14、011昆明） 考点：实数的性质；单项式乘单项式；多项式乘多项式；二次根式的加减法。 分析：根据单项式乘单项式法则、绝对值的性质、二次根式的减法法则、平方差公式进行计算排除 6 解答：解：A、3a2a=6a2，故本选项错误； B、根据负数的绝对值是它的相反数，故本选项正确； C、原式=4=2，故本选项错误； D、根据平方差公式，得原式=4a2b2，故本选项错误 故选 B 点评：此题综合考查了单项式的乘法法则、多项式的乘法公式、二次根式的加减法则以及绝对值的化简计算 7、 （2011昆明） 考点：菱形的判定；平行四边形的性质。 分析：根据菱形的判定定理，即可求得答案注意排除法的应用 解答：解：四边

15、形 ABCD 是平行四边形， A、当 AB=BC 时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得ABCD 是菱形，故本选项正确； B、当 ACBD 时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得ABCD 是菱形，故本选项正确； C、当 BD 平分ABC 时，易证得 AB=AD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得ABCD 是菱形，故本选项正确； 由排除法可得 D 选项错误 故选 D 点评：此题考查了菱形的判定熟记判定定理是解此题的关键 8、 （2011昆明） 考点：二次函数图象与系数的关系。 分析：由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关

16、系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 解答：解：由抛物线的开口向下知 a0， 与 y 轴的交点为在 y 轴的正半轴上， c0， 对称轴为 y 轴，即 1， A、应为 b24ac0，故本选项错误， B、abc0，故本选项正确， C、即 1，故本选项正确， D、x=1 时函数图象上的点在第二象限，所以 ab+c0，故本选项错误， 故选 C 点评：本题主要考查了二次函数 y=ax2+bx+c 系数符号的确定交点，难度适中 9、 （2011昆明） 考点：锐角三角函数的定义；线段垂直平分线的性质；勾股定理。 专题：计算题。 分析：设 AD=x，则 CD=x3，在直

17、角ACD 中，运用勾股定理可求出 AD、CD 的值，即可解答出； 解答：解：设 AD=x，则 CD=x3， 在直角ACD 中， （x3）2+=x2， 解得，x=4， CD=43=1， sinCAD= ； 故选 A 点评：本题考查了线段垂直平分线的性质定理及勾股定理的运用，求一个角的正弦值，可将其转化到直角三角形中解答 二、填空题（每题 3 分，满分 18 分 ） 7 10、 考点：二次根式有意义的条件。 专题：计算题。 分析：根据二次根式的性质意义，被开方数大于等于 0，就可以求解 解答：解：根据题意知：x50， 解得，x5 故答案是：x5 点评：考查了二次根式的意义和性质概念：式子（a0）叫

18、二次根式性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义 11、 （2011昆明） 考点：三角形的外角性质。 专题：计算题。 分析：由A=70，ACD=105，根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和得到ACD=B+A，则B=ACDA，然后代值计算即可 解答：解：ACD=B+A， 而A=70，ACD=105， B=10570=35 故答案为 35 点评：本题考查了三角形的外角定理：三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和 12、 （2011昆明） 考点：待定系数法求反比例函数解析式。 专题：函数思想。 分析：将点 P（2，2）代入反比例函数 y= ，求得 k 值，即利用待

19、定系数法求反比例函数的解析式 解答：解：根据题意，得 2=， 解得，k=4 故答案是：y= 点评：本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式解答该题时，借用了反比例函数图象上点的坐标特征 13、 （2011昆明） 考点：分式的混合运算。 分析：首先对括号内的式子通分相减，然后把除法转化为乘法，约分计算即可 解答：解：原式=（+） = =a 故答案是：a 点评：本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键 14、（2011昆明） 考点：扇形面积的计算；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；相切两圆的性质。 专题：计算题。 8 分析：根据等圆的性质得出 AD=BD，根据 CDAB

20、 求出A、B 的度数，根据扇形的面积公式求出即可 解答：解：两等圆A 与B 外切， AD=BD= AB=2， C=120 CAB+CBA=60 设CAB=x，CBA=y 则 x+y=60 图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为+= ， 故答案为： 点评：本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，扇形的面积公式，相切两圆的性质等知识点的理解和掌握，正确利用扇形的面积公式是解此题的关键 15、 （2011昆明） 考点：一元一次方程的应用。 分析：这是一道关于和差倍分问题的应用题，设今年新能源汽车的产量应增加的百分数为 x%，解这道的关键是根据“为保持总产量与去年相等”，而去年的总量

21、未知，可以设为参数 a，就可以表示出去年普通汽车和新能源汽车的产量分别为 90%a 和 10%a，而几年的普通汽车和新能源汽车的产量分别为 90%a（110%）和 10%a（1+x%） 就可以根据等量关系列出方程 解答：解：设今年新能源汽车的产量应增加的百分数为 x%，去年的总产量为 a，由题意，得 90%a（110%）+10%a（1+x%）=a， 解得：x=90 故答案为：90% 点评：本题考查了一元一次方程的运用要求学生能熟练地掌握例一元一次方程解应用题的步骤解一元一次方程的关键是找到等量关系 三、简答题（共 10 题，满分 75 ） 16、 （2011昆明） 考点：实数的运算；零指数幂；

22、负整数指数幂。 专题：计算题。 分析：根据二次根式、负指数幂、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可得出答案 解答：解：原式=2+211=2 点评：本题主要考查了二次根式、负指数幂、零指数幂的性质及实数运算法则，比较简单 17、 （2011昆明） 考点：解分式方程。 分析：观察可得最简公分母是（x2） ，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解 解答：解：方程的两边同乘（x2） ，得 31=x2， 解得 x=4 检验：把 x=4 代入（x2）=20 原方程的解为：x=4 点评：本题考查了分式方程的解法： （1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为

23、整式方程求解 （2）解分式方程一定注意要验根 18、 （2011昆明） 9 考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质。 专题：证明题。 分析：根据平行四边形的性质得出 AB=CD，B=D，根据 SAS 证出ABECDF 即可推出答案 解答：证明：四边形 ABCD 是平行四边形， AB=CD，B=D， BE=DF， ABECDF， AE=CF 点评：本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能根据性质证出ABECDF 是证此题的关键 19、 （2011昆明） 考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体。 分析： （1）由图知：39.559.5 的学生共有

24、4 人，根据频率=可得到答案； （2）首先求出）69.579.5 的频数，再画图 （3）80 分及 80 分以上的人数为：18+8=26，再用100%=百分比可得答案 （4）利用样本估计总体即可解决问题 解答：解： （1）40.08=50， （2）69.579.5 的频数为：50228188=12，如图： （3）100%=52%， （4）45052%=234（人） ， 答：优秀人数大约有 234 人 点评：此题主要考查了看频数分布直方图，用样本估计总体，中考中经常出现，读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题 20、 （2011

25、昆明） 考点：作图-旋转变换；作图-平移变换。 专题：作图题。 分析： （1）将三角形的各点分别向下平移 3 个单位，然后顺次连接即可得出平移后的A1B1C1； （2）根据题意所述的旋转角度、旋转中心及旋转方向依次找到各点旋转后的对应点，然后顺次连接即可得出旋转后的A2B2C2，结合直角坐标系可写出 A2点的坐标 解答：解： （1）所画图形如下： 10 （2）所画图形如下： A2点的坐标为（2，3） 点评：本题考查了平移作图及旋转作图的知识，难度一般，解答此类题目的关键是掌握旋转及平移的特点，然后根据题意找到各点的对应点，然后顺次连接即可 21、 （2011昆明） 考点：解直角三角形的应用-方

26、向角问题。 专题：几何综合题。 分析：过点 C 作 CDAB 于 D，则由已知求出 CD 和 BD，也能求出 AD，从而求出这段地铁 AB 的长度 解答：解：过点 C 作 CDAB 于 D，由题意知： CAB=45，CBA=30， CD= BC=200， BD=CBcos（9060）=400=200， AD=CD=200， AB=AD+BD=200+200546（m） ， 答：这段地铁 AB 的长度为 546m 点评：本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，有公共直角边的可利用这条边进行求解 22、 （2011昆明） 考点：

27、游戏公平性；列表法与树状图法。 11 分析： （1）根据题意直接列出树形图或列表即可； （2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有 50%赢的机会，本题中即两纸牌上的数字之和为偶数或奇数时的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论 解答：解： （1） （2）不公平 理由：因为两纸牌上的数字之和有以下几种情况： 1+1=2；2+1=3；3+1=4；1+2=3；2+2=4；3+2=5；1+3=4；2+3=5；3+3=6 共 9 种情况， 其中 5 个偶数，4 个奇数 即小坤获胜的概率为 ，而小明的概率为 ， ， 此游戏不公平 点评：本题考查的是游戏公平性的判断判断游戏公平性就要计算每个事件的概率

28、，概率相等就公平，否则就不公平 23、 （2011昆明） 考点：一次函数的应用。 专题：函数思想。 分析： （1）由已知用 x 表示出各种情况的费用，列出函数关系式，化简即得根据已知列出不等式组求解 （2）根据（1）得出的函数关系，由此次调运的总费用不超过 16000 元，计算讨论得出答案 解答：解： （1）从 A 市运往 C 县的农用车为 x 辆，此次调运总费为 y 元，根据题意得： y=300 x+200（42x）+150（50 x）+250（x2） ， 即 y=200 x+15400， 所以 y 与 x 的函数关系式为：y=200 x+15400 又， 解得：2x42，且 x 为整数，

29、所以自变量 x 的取值范围为：2x42，且 x 为整数 （2）此次调运的总费用不超过 16000 元， 200 x+1540016000 解得：x3， x 可以取：2 或 3， 方案一：从 A 市运往 C 县的农用车为 2 辆，从 B 市运往 C 县的农用车为 40 辆，从 A 市运往 D 县的农用车为 48 辆，从 B 市运往 D 县的农用车为 0 辆， 12 方案二：从 A 市运往 C 县的农用车为 3 辆，从 B 市运往 C 县的农用车为 39 辆，从 A 市运往 D 县的农用车为 47 辆，从 B 市运往 D 县的农用车为 1 辆， y=200 x+154000 是一次函数，且 k=2

30、000，y 随 x 的增大而增大， 当 x=2 时，y 最小，即方案一费用最小， 此时，y=2002+15400=15800， 所以最小费用为：15800 元 点评：此题考查的知识点是一次函数的应用，关键是使学生真切地感受到“数学来源于生活”，体验到数学的“有用性”这样设计体现了新课程标准的“问题情景建立模型解释、应用和拓展”的数学学习模式 24、 （2011昆明） 考点：切线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。 专题：几何综合题。 分析： （1）连接 OE，根据角平分线的性质和等边对等角可得出 OEAC，则OEF=ACF，由 ACEF，则OEF=ACF=90，从而得出 OECF

31、，即 CF 是O 的切线； （2）由 OEAC，则OFEAFC，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，从而得出的值 解答： （1）证明：连接 OE， AE 平分FAC， CAE=OAE， 又OA=OE，OEA=OAE，CAE=OEA， OEAC， OEF=ACF， 又ACEF， OEF=ACF=90， OECF， 又点 E 在O 上， CF 是O 的切线； （2）解：OEF=90，F=30， OF=2OE 又 OA=OE， AF=3OE， 又OEAC， OFEAFC， = ， = ， = 13 点评：本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定与性质以及圆周角定理，是基础知识要熟练掌握 2

32、5、 （2011昆明） 考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；勾股定理。 专题：动点型。 分析： （1）由在 RtABC 中，C=90，AB=10cm，AC：BC=4：3，设 AC=4x，BC=3x，由勾股定理即可求得 AC、BC的长； （2） 分别从当点 Q 在边 BC 上运动时， 过点 Q 作 QHAB 于 H 与当点 Q 在边 CA 上运动时， 过点 Q 作 QHAB 于 H去分析，首先过点 Q 作 AB 的垂线，利用相似三角形的性质即可求得PBQ 的底与高，则可求得 y 与 x 的函数关系式； （3）由 PQAB，可得APQACB，由相似三角形的对应边成比例，求得PBQ 各边的

33、长，根据相似三角形的判定，即可得以点 B、P、Q 为定点的三角形与ABC 不相似； （4）由 x=5 秒，求得 AQ 与 AP 的长，可得 PQ 是ABC 的中位线，即可得 PQ 是 AC 的垂直平分线，可得当 M 与 P重合时BCM 得周长最小，则可求得最小周长的值 解答：解： （1）设 AC=4x，BC=3x， 在 RtABC 中，AC2+BC2=AB2， 即： （4x）2+（3x）2=102， 解得：x=2， AC=8cm，BC=6cm； （2）当点 Q 在边 BC 上运动时，过点 Q 作 QHAB 于 H， AP=x， BP=10 x，BQ=2x， QHBACB， ， QH= x， y

34、= BPQH= （10 x） x= x2+8x（0 x3） ， 当点 Q 在边 CA 上运动时，过点 Q 作 QHAB 于 H， AP=x， BP=10 x，AQ=142x， AQHABC， 14 ， 即：=， 解得：QH= （142x） ， y= PBQH= （10 x） （142x）= x2x+42（3x7） ； y 与 x 的函数关系式为：y=； （3）AP=x，AQ=142x， PQAB， APQACB， =， 即：=， 解得：x=，PQ=， PB=10 x=， ， =， 当点 Q 在 CA 上运动，使 PQAB 时，以点 B、P、Q 为定点的三角形与ABC 不相似； （4）存在 理由：AQ=142x=1410=4，AP=x=5， AC=8，AB=10， PQ 是ABC 的中位线， PQBC， PQAC， 15 PQ 是 AC 的垂直平分线， PC=AP=5， 当点 M 与 P 重合时，BCM 的周长最小， BCM 的周长为：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16 BCM 的周长最小值为 16 点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及最短距离问题此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用