二次型的惯性定理教学课件.ppt

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1、二次型的惯性定理二次型的惯性定理 定理定理 复数域上两个复数域上两个n阶对称矩阵合同的充分且必阶对称矩阵合同的充分且必要条件是它们有相同的秩要条件是它们有相同的秩. 两个复二次型等价的充两个复二次型等价的充分且必要条件是它们有相同的秩分且必要条件是它们有相同的秩. 证证 显然只要证明第一个论断显然只要证明第一个论断. 条件的必要性是明显的条件的必要性是明显的. 我们只要证条件的充我们只要证条件的充分性分性. 设设A，B是复数域上两个是复数域上两个n阶对称矩阵，且阶对称矩阵，且A与与B有相同的秩有相同的秩r ，由定理，分别存在复可逆矩阵，由定理，分别存在复可逆矩阵P和和Q，使得，使得 00002

2、1rcccAPP 000021rdddBQQridcrii, 2 , 1, 0, 0,0 时时当当取取 n n 阶复矩阵阶复矩阵 1011011rccS 1011011rddT的一个平方根的一个平方根. iiiidcdc,分分别别表表示示复复数数这这里里那么那么 ，而，而 TTSS , OOOIBQTQTAPSPSr因此，矩阵因此，矩阵A，B 都与矩阵都与矩阵 OOOIr合同，所以合同，所以A与与B合同合同. 实二次型的典范形实二次型的典范形定理定理 实数域上每一实数域上每一n 阶对称矩阵阶对称矩阵A 都合同于如下都合同于如下形式的一个矩阵：形式的一个矩阵： （1） OOOOIOOOIprp这

3、里这里 r 等于等于A的秩的秩. 证证 由定理，存在实可逆矩阵由定理，存在实可逆矩阵P，使得，使得 000021rcccAPP如果如果r 0 ，必要时交换两列和两行，我们总，必要时交换两列和两行，我们总可以假定可以假定 rpcccrp 0, 0, 0,1取取 101|10|11rccT那么那么 OOOOIOOOIAPTPTprp定理定理 实数域上每一实数域上每一 n 元二次型都与如下形式的一元二次型都与如下形式的一个二次型等价：个二次型等价： （1） 221221rppxxxx 这里这里 r 是所给的二次型的秩是所给的二次型的秩. 二次型（二次型（1）叫做）叫做实二次型的典范形式，实二次型的典

4、范形式，定理定理9.2.3 是说，实数域上每一个二次型都与一个典范是说，实数域上每一个二次型都与一个典范形式等价形式等价. 在典范形式里，平方项的个数在典范形式里，平方项的个数 r 等于二等于二次型的秩，因而是唯一确定的次型的秩，因而是唯一确定的. 定理定理 （惯性定律）（惯性定律）设实数域设实数域R R上上n n元二次型元二次型 ninjjiijxxa11等价于两个典范形式等价于两个典范形式 221221rppyyyy （2）221221rppzzzz （3）那么那么pp 证证 设（设（2）和（）和（3）分别通过变量的非奇异线性变）分别通过变量的非奇异线性变换换 （4）nixsynjjiji

5、, 2 , 1,1 （5）nixtznjjiji, 2 , 1,1 化为所给的二次型化为所给的二次型 如果如果 不不,11 ninjjiijxxa,pp 妨设妨设 考虑考虑 个方程的齐次线性个方程的齐次线性方程组方程组,pp pnp （6 6） npixtpixsnjjijnjjij, 1, 2 , 1,11因为因为 所以所以 因此，方程组因此，方程组（6）在）在R内有非零解内有非零解. 令令 是（是（6）的）的一个非零解一个非零解. 把这一组值代入把这一组值代入 的表示式的表示式,pp ,npnp ),(21nccciizy 和和（4）和（）和（5）. 记记 nicscynjjiji, 2

6、, 1,)(1 nictcznjjiji, 2 , 1,)(1 我们有我们有 njnijjijirpprppccaczczczczcycycycy1221221221221)()()()()()()()(然而然而0)()(, 0)()(11 czczcycyrpp所以所以 221221)()()()(czczcycyprp 因为因为 都是非负数，所以必须都是非负数，所以必须22)()(czcyii和和0)()(0)()(11 czczcycyprp又又 所以所以 是是齐次线性方程组齐次线性方程组 . 0)()(1 czcznpnccc,21nictnjjij, 2 , 1, 01 的一个非零解

7、的一个非零解.这与矩阵这与矩阵 的非奇异性矛盾的非奇异性矛盾. )(ijt这就证明了这就证明了 . 同理可证得同理可证得 . 所以所以 pp pp .pp 由这个定理，实数域上每一个二次型都与由这个定理，实数域上每一个二次型都与 唯一的典范形式（唯一的典范形式（1）等价）等价. 在（在（1）中，正平方项的个数中，正平方项的个数 p 叫做所给二次型的惯性指标叫做所给二次型的惯性指标. 正项的个数正项的个数p与负项的个数与负项的个数 r p 的差的差s = p (r p) = 2p r 叫做叫做所给的二次型的符号差所给的二次型的符号差. 一个实二次型的秩，惯性指标和符号都是唯一确定一个实二次型的秩

8、，惯性指标和符号都是唯一确定的的. ),(21nxxxq定理定理 实数域上两个实数域上两个 n 元二次型等价的充分且必要元二次型等价的充分且必要条件是它们有相同的秩和符号差条件是它们有相同的秩和符号差. 证证 设设 是实是实数域上两个数域上两个n元二次型元二次型. 令令 分别是它们的分别是它们的矩阵矩阵. 那么由定理那么由定理9.2.2，存在实可逆矩阵，存在实可逆矩阵P，使得，使得),(),(212211nnxxxqxxxq和和21AA 和和 OOOOIOOOIPAPprp1如果如果 等价，那么等价，那么 合同合同. 于是存在实于是存在实可逆矩阵可逆矩阵Q 使得使得 . 取取 ，那么，那么12

9、qq 与与12AA 和和QAQA12 PQT1 OOOOIOOOIPAPPQQAQQPTATprp11112因此因此 都与同一个典范形式等价，所以它们都与同一个典范形式等价，所以它们有相同的秩和符号差有相同的秩和符号差. 12qq 与与反过来，如果反过来，如果 有相同的秩有相同的秩 r 和符号差和符号差s ,21,qq)(21srp 21,AA那么它们也有相同的惯性指标那么它们也有相同的惯性指标 . 因此因此 都与矩阵都与矩阵 OOOOIOOOIprp合同合同. 由此推出由此推出 合同，从而合同，从而 等价等价. 12AA 和和12qq 与与推论推论 9.2.6 实数域实数域 R 上一切上一切

10、n元二次型可以分成元二次型可以分成 )2)(1(21 nn 类，属于同一类的二次型彼此等价，类，属于同一类的二次型彼此等价，属于不同类的二次型互不等价属于不同类的二次型互不等价. 证证 给定给定 . 令令 rpnr 00和和 OOOOIOOOICprppr,由定理由定理9.2.4，R上每一上每一n元二次型恰与一个以元二次型恰与一个以 为矩阵的典范形式等价为矩阵的典范形式等价. 当当 r 取定后，取定后，p 可以取可以取0，1， ，r ；而；而 r 又可以取又可以取0，1，n 中任何一中任何一个数个数. 因此这样的因此这样的 共有共有 prC,prC,)2)(1(21)1(21 nnn个个. 对

11、于每一个对于每一个 ，就有一个典范形式，就有一个典范形式 prC,221221rppxxxx 与它相当与它相当. 把与同一个典范形式等价的二次型放在把与同一个典范形式等价的二次型放在一类，于是一类，于是 R 上的一切上的一切 n 元二次型恰可以分成元二次型恰可以分成 类，属于同一类的二次彼此等价，类，属于同一类的二次彼此等价，属于不同类的二次互不等价属于不同类的二次互不等价.)2)(1(21 nn例例 1 a 满足什么条件时，二次型满足什么条件时，二次型 3132212322213212223,xxxaxxxaxxxxxxf 的惯性指标是的惯性指标是0，符号差是，符号差是2 ？写出其典范形。？写出其典范形。 解解 实二次型实二次型 的矩阵为的矩阵为 321,xxxf a a - aA1 3- 1-1- 1- 1经过合同变换可化为标准形经过合同变换可化为标准形 3100 0 2- 0 0 0 1aa 所以当所以当 或或 时，二次型的惯性指标是时，二次型的惯性指标是0，符号差是，符号差是2，其典范形为，其典范形为 1 a3 a 2221321,zzxxxf