多项式的因式分解教学课件.ppt

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1、2022-5-8高等代数 在中学代数里我们学过因式分解，就是把一个多项式逐次分解成一些次数较低的多项式乘积。在分解过程中，有时感到不能再分解了也就认为它不能再分了，但是当时没有理论根据，到底能不能再分下去？这里我们将系统地讨论多项式的分解问题。对于 F x中任一个多项式 ,f x cFcf x及总是 f x的因式。 这样的因式称为平凡因式。我们感兴趣的是，除了平凡因式外， f x还有没有其他的因式？2022-5-8高等代数定义设 f x是 F x中次数大于零的多项式，若 除F上不可约。 f x平凡因式外，在 F x中还有等价定义： f x可分解成中两个次数都小于 n 的多项式 F x ,g x

2、h x的积，即则称 ,f xg x h x f x在数域F上可约。0n n F x中一个次多项式如果如果在 F x中， f x只有平凡因式，则称 f x在数域则称 f x在数域F上可约。其他因式，一、不可约多项式1、定义2022-5-8高等代数由定义可得： 一次多项式是不可约多项式（二次及二次以上多项式是否可约是重点讨论对象）； 多项式的可约性与数域有关（例22x 在C上可约，在R中不可约）。 零多项式于零次多项式不讨论它们的可约性。 性质性质1 p x不可约，则 cp x也不可约，0,.ccF若性质2若 p x是不可约多项式， ,f xF x2022-5-8高等代数则 p xfx ,1.p

3、xf x证：设 ,p xf xd x由 1d xfxd x或 .d xcp x若 1,d x 则 ,1.p xf x若 ,d xcp x则 p xf x性质3：若 p x不可约且 p xfx g x则 p xfx或 .p x g x证： 若 ,p xf x则结论成立；若 p xfx，又 p x不可约。2022-5-8高等代数由性质2， ,1.p xf x1,pufvpgufgvg .p x g x推论： 若 p x不可约且 1.sp xfxfx则 p x必整除某个 ,1.ifxis 二、因式分解问题： ,0,f xF xf f x是否可分解为不可约多项式的乘积？定理： F x中任一个0n n

4、次多项式 f x都可以分解成 F x中不可约多项式的乘积。2022-5-8高等代数证（归纳法）：n=1时，命题显然成立。假设命题对一切小于n的多项式成立，则当 f xn时，1、若 f x不可约成立；2、若 f x可约， fx g x h x ,.gnhn由假设知 ,g xh x均可分解为不可约多项式的乘积。问题： 多项式 f x分解成不可约多项式的乘积是否唯一？2022-5-8高等代数若 12,rf xpx pxpx取 1 21.rc cc 则 1122,rrf xc px c pxc px可见 f x分解式不唯一。定理： F x中任一个次数大于零的多项式 f x分解成不可约多项式的乘积： 1

5、2,rf xpx pxpx成不可约因式的乘积分解式是唯一的，此即若有两个分解式： f x若不计零次多项式的差异和因式的顺序，分解2022-5-8高等代数 1212.rsf xpx pxpxqx qxqx则有 r=s； 适当调整 jqx的位置后，有 1, 2,iriiiqxc px） 证（对分解式中的因式个数用数学归纳法证明）：当r=1时，结论显然成立。假设当 f x分解成r-1个不可约因式时结论成立，则当 f x分解成r个因式时，有 1212.rsf xpx pxpxqx qxqx2022-5-8高等代数 112( )( )( )spx q x q xq x由于 ，故存在某个iq使 1( )(

6、 )ip x q x( )iq x为方便起见不防设就是 。1( )q x111qc p由归纳假设知，这时有r-1=s-1。 故r=s，且三、标准（典型）分解式在 f x的分解中，可以把每个不可约因式的1211222,qc c pc p,3,4,iiiqc pir 212( )( )rsp xp xc qxqx,1,2,iiiqcpir故2022-5-8高等代数首项系数提出来，使之成为首一不可约多项式，并把相同的因式合并，于是， f x的分解式就变成： 1212.lkkknlf xa px pxpx首项系数 1,lpxpx为 F x的首一不可约多项式， 每个多项式的标准分解式是唯一的。 利用多项

7、式的标准分解式可以判断一个多项式是否整除另一个多项式。式。1,lkk为自然数，这种分解式称为 f x的标准分解2022-5-8高等代数 利用多项式的标准分解式可以直接写出 ,.f xg x例如： 535321 ,fxxxx 347311 ,g xxxx则 3,31f xg xxx虽然根据多项式的标准分解式写出 ,f xg x是简单的，但由于任意多项式的典型分解式并不容易求得，故求最大公因式的一般方法还是采用辗转相除法。2022-5-8高等代数问：如何求 f x的标准分解式？例1.5.1：求 4232,f xxx ,Q xR x在 中的标准分解式。解： 利用带余除法，知1,1xx都是 f x的因式，即有 。 21xfx 2212fxxx2112xxx如何知道xa是不是 f x的一个因式？xa是 f x的一个因式的充要条件是 0.f a Q x在上 R x在上 2212(1)(1)(2)(2)f xxxxxxx2022-5-8高等代数例：求 44f xx在 ,Q xR x C x上的标准分解式。解： 在Q上： 2222 ;f xxx在R上： 2222 ;fxxxx在C上： 2222 .f xxxxixi例：在R上分解 4261f xxx22( )2 212 21f xxxxx21212121xxxx解：