高中数学必修五知识点总结课件.pptx

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1、高高中中数数学学必必修修五五知知识识点点总总结结解直角解直角三三角形角形. . . .2 2数数列列. . . . . . .5 5不等式不等式.11.111解三角解三角形形复习知识复习知识点点一一、知知识识点总结点总结1正弦定理:abcsin Asin Bsin C【正正弦弦定定理】理】 2R (R为三角形外接圆的半径).2R2. .正弦定理的一些变式：i a b c sin A sin B sin C ； ii sin A c2Ra , sin B b , sin C ； 2Rsin A sin B sin C2Ra b ciii a 2R sin A,b 2R sin B,b 2R si

2、n C ；（4）3两类正弦定理解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.22（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解）【余余弦弦定定理】理】a2 b2 c2 2bc cos A 21余弦定理： b a c 2ac cos Bc2 b2 a2 2ba cosC2bc2abb2 c2 a2cos A a2 c2 b22.推论：cos B 2acb2 a2 c2cos C .设 a 、b 、c 是C 的角 、 、C 的对边，则：若 a2 b2 c2 ，则C 90 ；若 a2 b2 c2 ，则C 90 ；若 a2 b2 c2 ，则C 90 3.两类余弦定

3、理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.【面面积积公公式】式】已知三角形的三边为 a,b,c,222a1. S 1 ah 1 ab sinC 1 r (a b c) （其中 r 为三角形内切圆半径）21p( p a)( p b)( p c)22.2.设 p (a b c) , , S 【三角【三角形形中的常见结中的常见结论论】（1）A B C (2)sin( A B) sin C, cos( A B) cos C, tan( A B) tan C,sinA BC2222A BC cos, cos sin; sin 2 A 2 sin A cos

4、A ,3若 A B C a b c sin A sin B sin C若 sin A sin B sin C a b c A B C（大边对大角，小边对小角）4三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边5三角形中最大角大于等于60 ，最小角小于等于60(6) 锐角三角锐角三角形形 三内角都是锐角 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.钝角三钝角三角角形形 最大角是钝角 最大角的余弦值为负值（7） ABC 中，A,B,C 成等差数列的充要条件是 B 60 .(8) ABC 为正三角形的充要条件是 A,B,C 成等差数列，且 a,b,c 成等比数列. 二、题二

5、、题型型汇汇总总题题型型 1 1【判定三【判定三角角形形状形形状】判断三角形的类型1利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时， 可利用正余弦定理实 现边角转化，统一成边的形式或角的形式.a2 b2 c2 A是直角 ABC是直角三角形2在ABC 中，由余弦定理可知:a2 b2 c2 A是钝角 ABC是钝角三角形a2 b2 c2 A是锐角 ABC是锐角三角形（注意： A是锐角ABC是锐角三角形）3(3) 若sin 2 A sin 2B ，则 A=B 或 A B .2例 1.在 ABC 中， c 2b cos A ，且(a b c)(a b c) 3ab ，试判断 ABC 形状.题题型

6、型 2【解三【解三角角形及求面积形及求面积】一般地， 把三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几 个元素求其他元素的过程叫做解三角形解三角形.例 2.在 ABC 中， a 1 ， b 3 ， A 300 ，求 的值 3例 3.在 ABC 中，内角 A, B, C 对边的边长分别是 a, b, c ，已知c 2 ， C （）若 ABC 的面积等于 3 ，求a, b ；（）若sin C sin(B A) 2 sin 2 A ，求 ABC 的面积题题型型 3【证明【证明等等式成立式成立】证明等式成立的方法：（1）左 右，（2）右 左，（3）左右互相推.例

7、 4.已知 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，求证： a b cos C c cos B .题题型型 4【解三【解三角角形在实际中形在实际中的的应用应用】 仰角 俯角 方向角 方位角 视角例 5如图所示，货轮在海上以 40km/h 的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为 140的方向航行，为了确定船位，船在 B 点观测灯塔 A 的方位角 为 110，航行半小时到达 C 点观测灯塔 A 的方位角是 65，则货轮到达 C 点时，与灯塔 A 的 距离是多少？数列知数列知识点识点1. 等差数列的定义与性质定义： an1 an d （ d 为常数）

8、， an a1 n 1d4等差中项： x，A，y 成等差数列 2 A x y2da1 an nn n 12前n 项和Sn na1 性质：an 是等差数列1若m n p q ，则am an ap aq2数列a2n1 ,a2n ,a2n1 仍为等差数列， Sn，S2n Sn，S3n S2n 仍为 等差数列，公差为n 2 d ；3若三个成等差数列，可设为a d，a，a dnnnnaSbTm2m 1m2m 1（4）若a ，b 是等差数列，且前n 项和分别为S ，T ，则（5）an 为等差数列 Sn an bn （ a，b 为常数， 是关于 n 的常数项为 02的二次函数）Sn 的最值可求二次函数 Sn

9、 an bn 的最值；或者求出a 中的正、负2n分界项，1a 0 n1n即：当a 0，d 0 ，解不等式组an 0 可得S 达到最大值时的n 值.1a 0 n1n当a 0，d 0 ，由an 0 可得S 达到最小值时的n 值.(6)项数为偶数 2n 的等差数列an ，有S2n n(a1 a2n ) n(a2 a2n1 ) n(an an1 )(an , an1为中间两项)偶奇an5Sa偶n1S S nd ， S 奇 .（7）项数为奇数 2n 1的等差数列an ，有S2n1 (2n 1)an (an为中间项) ，S奇 S偶 an ，nSn 1S偶奇.2. 等比数列的定义与性质nan1定义： an1

10、 q （ q 为常数， q 0 ） ， a a qn1.1nn等比中项： x、G、y 成等比数列 G2 xy ，或G xy.na1 (q 1)前n 项和： S a 1 q(q 1)1 q（要注意！ ）性质：an 是等比数列（1）若m n p q ，则aman apaqn2nn3n2n（2） S ，S S ，S S 仍为等比数列,公比为qn .注意注意：由Sn 求an 时应注意什么？n 1 时， a1 S1 ；n 2 时， an Sn Sn 1 .3求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法n12222 n如：数列a ， 1 a2nn 1 a 1 a 2n 5 ，求a211解解 n 1 时， 1

11、 a 21 5 ， a 141122n1222 n1n 2 时 ， 1 a 1 a a 2n 1 52nnnn得： 1 a 2 ， a 2n1 ， an1 14 (n 1)2(n 2)n3练习数列a 满足 Snn 1n 11n S 5 a，a 4 ，求an1n1nn6S注意到a S S ， 代入得 Sn1 4；1nn又 S 4 ，S 是等比数列，S 4nn1n 2 时， an Sn Sn 1 3 4（2）叠乘法 n1ann1如：数列 a中， a 3ann 1，n，求aa2 a3an1n 1an 1 2解解a1 a2 an12 3na1n1，又a 3 ， an 3n .（3）等差型递推公式由an

12、 an 1 f (n)，a1 a0 ，求an ，用迭加法n 2 时，a2 a1 f (2)a a f (3)32 n1 两边相加得a a f (2) f (3) f (n)an an 1 f (n) an a0 f (2) f (3) f (n)n1 an 1 n 2 ，求 an （2na 1 3n 1）练习数列an 中， a1 1 ，an 3（4）等比型递推公式an can 1 d （ c、d 为常数， c 0，c 1，d 0 ）可转化为等比数列，设 an x c an 1 x an can 1 c 1x令(c 1)x d ， x c 1dd nc 11dc 1， a 是首项为a ，c 为公

13、比的等比数列ndd a a 1c 1c 1 ddc n1 ， a a cn1 n 1c 1c 1（5）倒数法1n2ann1a 2如： a 1，an，求a由已知得：2an2anan27an1an11 an 2 1 1 ， 1 1 1 a n 1a122n 1 1为等差数列， 1 ，公差为，2a1 1 n 1 1 1 n 1 ，2n a n 1(附：公式法、利用1anSn Sn1 (n2)S (n1)、累加法、累乘法. 构造等差或等比an1 pan q 或an1 pan f (n) 、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)4. 求数列前 n 项和的常用方法(1)裂项法把数列各项拆成两

14、项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.n如：a 是公差为 d 的等差数列，求1na ak k 1k 1kk 1kk解：解：由 11 1 1 1 d 0d aaa a d kk 1 aa1nna ak k 11 11 1 1 1 1 11 k 1 d akak 1 a2 a2a3 d a1 anan1 k 1 1 1 1 1d a1an1 111练习求和：11 21 2 3 1 2 3 n18n 1an ，Sn 2 （2）错位相减法若an 为等差数列，bn 为等比数列，求数列 anbn （差比数列）前 n 项和，可由 Sn qSn ，求 Sn ，其中 q 为bn 的公比.23n1如： Sn

15、1 2x 3x 4x nxxSn x 2x 3x 4x n 1x nx234n1n1 x Sn 1 x x x nx2n1nnxn1 xn 2n n 1x 1 时， Sn 1 x2 1 x ， x 1 时， Sn 1 2 3 n （3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.nnn 121 S a a a a 2n1n1nSn a1 a2 an 1 an 相加 2Sn 1 a a aa a a x2练习已知 f (x) 1 x2，则f (1) f (2) f 1 f (3) f 1 f (4) f 1 2 3 4 1x2x2 1 2 x 1 1由 f (x) f 1 x21 x

16、21 x2 x 1 21 x 229原式 f (1) f (2) f 1 f (3) f 1 f (4) f 1 1 111 3 1 2 3 4 (附：a.用倒序相加法求数列的前 n 项和如果一个数列an， 与首末项等距的两项之和等于首末两项之和， 可采用把正 着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序 相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识 的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前 n 项和公式的推导，用 的就是“倒序相加法”。b.用公式法求数列的前 n 项和对等差数列、等比数列，求前 n 项和 Sn 可直接用等差、等比数

17、列的前 n 项和 公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公 式适用于这个数列之后，再计算。c.用裂项相消法求数列的前 n 项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限 项，从而求出数列的前 n 项和。d.用错位相减法求数列的前 n 项和错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的 形式。即若在数列anbn中，an成等差数列，bn成等比数列，在和式的两边同 乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前 n 项和。e.用迭加法求数列的前 n 项和迭加法主要应用于数列an满足 an+1=an+f(n)，其中 f(n)是等差

18、数列或等比数列 的条件下，可把这个式子变成 an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有 的式子加到一起，经过整理，可求出 an ，从而求出 Sn。f.用分组求和法求数列的前 n 项和所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将 这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将 其合并。g.用构造法求数列的前 n 项和所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特 征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前 n 项和。不等式不等式知知识点归识点归纳纳一、两实数大小的比较： a b 0 a b ； a

19、 b 0 a b ； a b 0 a b 二、 不等式的性质： a b b a ； a b,b c a c ； a b a c b c ； a b, c 0 ac bc ， a b, c 0 ac bc ； a b, c d a c b d ； a b 0,c d 0 ac bd ； a b 0 an bn n , n 1 ； a b 0 n a n b n , n 1 三、基本不等式定理221、整式形式： a b210a2 b2 2ab a,b R ； ab a,b R ； a b 2 ab 222a2 b2 a b 2 a 0,b 0 ； a, b R a b2、根式形式：ab （ a 0

20、 ， b 0 ）a+b （ 2 a 2 b 2 )2ba3、分式形式：+ 2（a、b 同号）aba1a14、倒数形式：a0 a+ 2；ab（a 0）的解：当 a0 时，x；当 a0 时，x0 f(x)g(x)0 ;g(x)g(x) 0 g(x) 0f (x)g(x) 06、解高次不等式：(x- a1 )(x- a2 )（x- an ）07、解含参数的不等式：解形如 a x 2 +bx+c0 的不等式时分类讨论的标准有：（1）讨论 a 与0 的大小（2）讨论 与 0 的大小（3）讨论两根的大小 七、一元二次方程根的分布问题：方法：依据二次函数的图像特征从：开口方向、判别式、对称轴、函数值三个角度

21、列出不等 式组，总之都是转化为一元二次不等式组求解。 01、 x1 x 2 k 2a kb f (k ) 0 02、k x1 x 2 2a kb f (k ) 03、 x1 k x 2 f(k)012 24、k1 x1 x 2 k 2 02abk1 k2 f (k ) 0 f（k1 ) 011225、 x k k x2 f (k ) 0 f（k1 ) 03 f (k ) 06、k1 x1 k 2 x 2 k 3 f (k2 ) 0 f（k1 ) 0八、线性规划问题 1、定义：线性约束条件：由 x ， y 的不等式（或方程）组成的不等式组，是 x ， y 的线性约束条件 目标函数：欲达到最大值或

22、最小值所涉及的变量 x ， y 的解析式线性目标函数：目标函数为 x ， y 的一次解析式线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题可行解：满足线性约束条件的解 x, y 可行域：所有可行解组成的集合最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解2、区域判断在平面直角坐标系中，已知直线x y C 0 ，坐标平面内的点 x0 , y0 若 0 ， x0 y0 C 0 ，则点 x0 , y0 在直线x y C 0 的上方若 0 ， x0 y0 C 0 ，则点 x0 , y0 在直线x y C 0 的下方 在平面直角坐标系中，已知直线x y C 0 1314若 0 ， 则 x y C 0 表示直线x y C 0 上方的区域；x y C 0 表示直线x y C 0 下方的区域若 0 ， 则 x y C 0 表示直线x y C 0 下方的区域；x y C 0 表 示直线x y C 0 上方的区域3、解线性规划问题的一般步骤第一步：在平面直角坐标系中做出可行域 第二步：在可行域内找出最优解所对应的点第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值