2015高中数学1.1.2余弦定理课件新人教A版必修5.ppt

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1、1.1 1.1 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理1.1.2 1.1.2 余弦定理余弦定理第一课时第一课时第一章第一章 解三角形解三角形问题提出问题提出1.1.正弦定理的内容是什么？其文字叙述正弦定理的内容是什么？其文字叙述是什么？是什么？2si nsi nsi nabcRABC=在一个三角形中，各边和它所对角的正在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等弦之比相等.3.3.若已知三角形的两边及其夹角或已知若已知三角形的两边及其夹角或已知三边，能否用正弦定理解三角形？三边，能否用正弦定理解三角形？4.4.对于上述问题，需要建立一个新的数对于上述问题，需要建立一个新的数学理论才能解决，这是我

2、们要研究的课学理论才能解决，这是我们要研究的课题题. .2.2.利用正弦定理解决的两类解三角形问利用正弦定理解决的两类解三角形问题是什么题是什么? ?探究（一）：余弦定理的推导探究（一）：余弦定理的推导思考思考1 1：根据平面几何中两个三角形全等：根据平面几何中两个三角形全等的判定定理，确定一个三角形可以是哪的判定定理，确定一个三角形可以是哪些条件？些条件？边、角、边边、角、边角、边、角角、边、角边、边、边边、边、边思考思考2 2：在在ABCABC中，已知边中，已知边a a，b b和角和角C C，从向量的角度考虑，可以求出什么？从向量的角度考虑，可以求出什么？cC CA AB Bab b思考思

3、考3 3：c c边的长即为边的长即为 ，向量，向量 与与 ， 有什么关系？有什么关系？|A Buuu rA Buuu rC Buuu rC AuurA BC BC A=-uuu ruuruuu r思考思考4 4：如何将如何将 转化为转化为c c与与a a，b b，C C的关系？的关系？A BC BC A=-uuu ruuruuu r思考思考5 5：根据上述推导可得，根据上述推导可得， ，此式对任意三角，此式对任意三角形都成立吗？形都成立吗？2222coscababC=+-cC CA AB Bab bA BC BC A=-uuu ruuruuu r思考思考6 6：如图所示建立直角坐标系，点如图所

4、示建立直角坐标系，点A A，B B的坐标分别是什么？的坐标分别是什么？根据两点间的距离公式可得什么根据两点间的距离公式可得什么结论结论？C CA AB Bab bx xy y A(bcosC A(bcosC，bsinC)bsinC)B(aB(a，0)0)2222coscababC=+-思考思考7 7：如图所示：如图所示ADAD为为ABC ABC 的的BCBC边上的边上的高，根据直角三角形的三边关系可高，根据直角三角形的三边关系可得什得什么结论？么结论？2222coscababC=+-ACBDabc思考思考8 8：通过类比，通过类比，a a2 2，b b2 2分别等于什么？分别等于什么？2222

5、cosabcbcA=+-2222coscababC=+-2222cosbacacB=+-思考思考9 9：上述三个等式称为上述三个等式称为余弦定理余弦定理. .如如何用文字语言描述余弦定理？何用文字语言描述余弦定理？ 三角形中任何一边的平方，等于其他三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方和，减去这两边与其夹角的两边的平方和，减去这两边与其夹角的余弦的积的两倍余弦的积的两倍. . 探究（二）：余弦定理的变式探究（二）：余弦定理的变式思考思考1 1：在在ABCABC中，若已知边中，若已知边a a，b b和角和角C C，如何求边如何求边c c和角和角A A，B B？cC CA AB Bab b思考

6、思考2 2：已知三角形的三边已知三角形的三边a a，b b，c c，求，求三内角三内角A A，B B，C C，其计算公式如何？，其计算公式如何？222cos2bcaAbc+-=222cos2cabBca+-=222cos2abcCab+-=思考思考3 3：上述三个公式是余弦定理的推论，上述三个公式是余弦定理的推论，如何通过三边的大小关系判断如何通过三边的大小关系判断AA是锐角、是锐角、直角还是钝角？直角还是钝角？222cos2bcaAbc+-=222cos2cabBca+-=222cos2abcCab+-=思考思考4 4：若已知边若已知边a a，b b和角和角A A，能直接用，能直接用余弦定理

7、求边余弦定理求边c c吗？吗？ cC CA AB Bab b总结 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两边和它们的夹角，求 第三边和其他两个角； （2）已知三边，求三个角。理论迁移理论迁移 例例2 2. . 在在ABCABC中，已知中，已知a= = ， b= b= ，c= c= ，求，求B.B.2 326+62- 例例1 1. . 在在ABCABC中，已知中，已知b=8cmb=8cm，c=3cmc=3cm，A=60A=60，求，求a.a. 例例3 3 已知已知ABCABC的周长为的周长为20,A=6020,A=60，a=7a=7，求这个三角形的面积，求这个三角形的面积.

8、.理论迁移理论迁移 例例4 4 已知已知ABCABC的对边的对边a,b,ca,b,c满满足足 , ,且且 , ,证明证明: : ABCABC为正三角形为正三角形. .2bac=060B=2bac=060B=、钝角、钝角、直角、直角、锐角、锐角、不能确定、不能确定1 1、在、在ABCABC中中， , ,那么那么是（）是（）222abc+练习：练习：2 2、在、在ABCABC中中, ,a a4 4，b b3 3，C C6060，则，则c c_小结作业小结作业1.1.余弦定理的主要作用是已知两边及其余弦定理的主要作用是已知两边及其夹角夹角求边，或已知三边求角，所得结论求边，或已知三边求角，所得结论是

9、唯一的是唯一的. .同时，利用余弦定理也可以实同时，利用余弦定理也可以实现边角转化现边角转化. .2.2.余弦定理及其推论共有六个基本公式，余弦定理及其推论共有六个基本公式，应用时要注意适当选取，有时可结合正应用时要注意适当选取，有时可结合正弦定理求解弦定理求解. .作业：作业：P8P8练习：练习：1 1，2.2.()()()()()222222222222()222 cos2coscA DB DbD CB DbB DD CB DD Cba B DD CD Cba aD Cba abCababC=+=-+=+-=+-=+-=+-=+-推导过程演示：222a2cosbcbcA=+-Q220832

10、83cos60=+-创49=7a=例例1 1例2 222cos2cabBca+-=Q()() ()()()22226622 322662+-=+-12=3Bp=例例3 3据题意可知据题意可知 b+cb+c=13 =13 则则c=13-bc=13-b解：解：()()222013-b7cos60213bbb+-=-利用余弦定理可得利用余弦定理可得或58b=40bc=1si n10 32SbcA=例例4 4：解：解：利用余弦定理得利用余弦定理得22cos32acacacp+-=化简得化简得 a=ca=c因此因此ABC为等边三角形为等边三角形()()22cossi n0A Bbabqq=-+-Q2222cos2cossi nbababqqq=-+222cosbabaq=-+即2222coscbabaq=-+222coscbabaq=-+推导过程推导过程