2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的几何性质第2课时课件新人教B版选修2_1.ppt

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1、第2课时椭圆方程及性质的应用类型与椭圆有关的综合问题类型与椭圆有关的综合问题角度角度1 1最值问题最值问题【典例典例】若点若点O O和点和点F F分别为椭圆分别为椭圆 =1=1的中心和左的中心和左焦点焦点, ,点点P P是椭圆上任一点是椭圆上任一点, ,则则 的最大值为的最大值为.22xy43OP FP 【解题探究解题探究】如何求如何求“ “ 的最大值的最大值”. .提示提示: :利用数量积的定义及椭圆上的点利用数量积的定义及椭圆上的点P P纵、横坐标范纵、横坐标范围限定求解最值围限定求解最值. .OP FP 【解析解析】设设P(x,y),P(x,y),则则 =1.=1.所以所以y y2 2=

2、3- x=3- x2 2, ,所以所以 =(x,y)=(x,y)(x-1,y)(x-1,y)=x(x-1)+y=x(x-1)+y2 2=x=x2 2-x+3- x-x+3- x2 2= x= x2 2-x+3= (x-2)-x+3= (x-2)2 2+2.+2.又因为又因为-2x2,-2x2,22xy4334OP FP 341414所以当所以当x=-2x=-2时时, , 取最大值取最大值, ,其最大值为其最大值为6.6.答案答案: :6 6OP FP 角度角度2 2应用椭圆的几何性质解题应用椭圆的几何性质解题【典例典例】设椭圆设椭圆 =1(ab0)=1(ab0)的左、右焦点为的左、右焦点为F

3、F1 1,F,F2 2, ,右顶点为右顶点为A,A,上顶点为上顶点为B.B.已知已知 (1)(1)求椭圆的离心率求椭圆的离心率. .2222xyab1 23|AB|FF |.2(2)(2)设设P P为椭圆上异于其顶点的一点为椭圆上异于其顶点的一点, ,以线段以线段PBPB为直径的为直径的圆经过点圆经过点F F1 1, ,经过原点经过原点O O的直线的直线l与该圆相切与该圆相切, ,求直线求直线l的的斜率斜率. .【解题探究解题探究】本例如何转化条件本例如何转化条件“以线段以线段PBPB为直径的为直径的圆经过点圆经过点F F1 1”?”?提示提示: :可转化为可转化为 =0.=0.11FP FB

4、 【解析解析】(1)(1)设椭圆的右焦点设椭圆的右焦点F F2 2的坐标为的坐标为 . .由由|AB|= |AB|= | |F F1 1F F2 2| |, ,可得可得a a2 2+b+b2 2=3c=3c2 2, ,又又b b2 2=a=a2 2-c-c2 2, ,则则 . .所以所以, ,椭圆的离心率椭圆的离心率e= .e= .(c,0)3222c1a222(2)(2)由由(1)(1)知知a a2 2=2c=2c2 2,b,b2 2=c=c2 2. .故椭圆方程为故椭圆方程为 设设P(xP(x0 0,y,y0 0).).由由F F1 1( (c,0)c,0)，B(0,c)B(0,c)，有，

5、有 由已知由已知, ,有有 即即( (x x0 0+c)c+y+c)c+y0 0c=0.c=0.又又c0,c0,故有故有x x0 0+y+y0 0+c=0.+c=0.又因为点又因为点P P在椭圆上在椭圆上, ,故故 2222xy1.2cc100FP(xc,y ) ，11FP FB0 ，1FB(c,c). 220022x y1.2cc由和可得由和可得3x3x0 02 2+ 4cx+ 4cx0 0 = 0.= 0.而点而点P P不是椭圆的顶点不是椭圆的顶点, ,故故x x0 0= = 代入得代入得y y0 0= ,= ,即点即点P P的坐标为的坐标为 设圆的圆心为设圆的圆心为T(xT(x1 1,y

6、,y1 1) )，则，则 进而圆的半径进而圆的半径 设直线设直线l的斜率为的斜率为k,k,依题意依题意, ,直线直线l的方程为的方程为y=kx.y=kx.4c3，c34c c(, ).3 3114cc0c2233xcyc2323，22115r(x0)(yc)c.3由由l与圆相切与圆相切, ,可得可得 即即 整理得整理得k k2 2-8k+1=0,-8k+1=0,解得解得k=4k=4 . .所以所以, ,直线直线l的斜率为的斜率为4+ 4+ 或或4- .4- .112|kxy |rk1，22c2c|k()|533c3k1，151515【延伸探究延伸探究】把本例条件把本例条件“经过原点经过原点O

7、O的直线的直线l与该圆与该圆相切相切”换成换成“经过点经过点F F2 2的直线的直线l与该圆相切于点与该圆相切于点M,|MFM,|MF2 2| |=2=2 ”,”,求椭圆的方程求椭圆的方程. .2【解析解析】由例题解析结合已知由例题解析结合已知, ,有有|TF|TF2 2| |2 2=|MF=|MF2 2| |2 2+r+r2 2, ,又又|MF|MF2 2|=2 ,|=2 ,故有故有 解得解得c c2 2=3.=3.所以所求椭圆的方程为所以所求椭圆的方程为 22222c2c5(c)(0)8c .33922xy1.63【方法技巧方法技巧】解决与椭圆有关的最值问题的三种方法解决与椭圆有关的最值问

8、题的三种方法(1)(1)定义法定义法: :利用定义转化为几何问题处理利用定义转化为几何问题处理. .(2)(2)数形结合法数形结合法: :利用数与形的结合利用数与形的结合, ,挖掘几何特征挖掘几何特征, ,进进而求解而求解. .(3)(3)函数法函数法: :探求函数模型探求函数模型, ,转化为函数的最值问题来处转化为函数的最值问题来处理理, ,注意椭圆的范围注意椭圆的范围. .【变式训练变式训练】点点P P在椭圆在椭圆 =1=1上运动上运动, ,则它到直线则它到直线l:3x-2y-16=0:3x-2y-16=0的距离最短时的坐标为的距离最短时的坐标为.22xy47【解题指南解题指南】平移直线平

9、移直线l使其与椭圆相切使其与椭圆相切, ,则切点即为则切点即为最值点最值点, ,然后结合图形取舍点的坐标然后结合图形取舍点的坐标. .【解析解析】设与椭圆相切并与设与椭圆相切并与l平行的直线方程为平行的直线方程为y= xy= x+m,+m,代入代入 =1,=1,并整理得并整理得4x4x2 2+3mx+m+3mx+m2 2-7=0.-7=0.=9m=9m2 2-16(m-16(m2 2-7)=0-7)=0m m2 2=16=16m=m=4,4,故两切线方程为故两切线方程为y= x+4y= x+4和和y= x-4.y= x-4.3222xy473232显然显然y= x-4y= x-4与椭圆与椭圆

10、=1=1的切点的切点P P距距l最近最近, ,切点坐切点坐标为标为 答案答案: : 3222xy4737( ,)2437( ,).24【易错误区案例易错误区案例】椭圆中的最值问题椭圆中的最值问题【典例典例】已知已知2x2x2 2+3y+3y2 2=6,=6,求求x x2 2+y+y2 2+2x+2x的最小值的最小值. .【错解案例错解案例】因为因为2x2x2 2+3y+3y2 2=6,=6,所以所以y y2 2= = 所以所以x x2 2+y+y2 2+2x=x+2x=x2 2+ + +2x+2x= = x x2 2+2x+2=+2x+2= (x+3)(x+3)2 2-1,-1,所以所以x=-

11、3x=-3时时,x,x2 2+y+y2 2+2x+2x有最小值有最小值-1.-1.262x3，262x31313错误原因错误原因防范措施防范措施建立函数关系后建立函数关系后没有确定函数定没有确定函数定义域义域( (即椭圆的范即椭圆的范围围) )以椭圆上点的坐标为自变量建立以椭圆上点的坐标为自变量建立的函数关系的函数关系, ,其定义域就是椭圆其定义域就是椭圆的范围的范围, ,不能忽略不能忽略【正解正解】因为因为2x2x2 2+3y+3y2 2=6,=6,所以所以y y2 2= = 所以所以x x2 2+y+y2 2+2x=x+2x=x2 2+ +2x + +2x = x= x2 2+2x+2=

12、(x+3)+2x+2= (x+3)2 2-1,-1,因为因为2x2x2 2+3y+3y2 2=6,=6,所以所以 =1,=1,所以所以- x ,- x ,所以当所以当x=- x=- 时时,x,x2 2+y+y2 2+2x+2x有最小值有最小值3-2 .3-2 .262x3，262x3131322xy323333【即时应用即时应用】已知实数已知实数x,yx,y满足满足 =1,=1,求求x x2 2+y+y2 2-x-x的最大值与最小值的最大值与最小值【解题指南解题指南】把把x x2 2+y+y2 2-x-x看作看作x x的函数的函数. .22xy42【解析解析】由由 =1=1得得,y,y2 2=2- ,=2- ,所以所以2- x2- x2 20,0,所以所以-2x2,-2x2,所以所以x x2 2+y+y2 2-x= x-x= x2 2-x+2= (x-1)-x+2= (x-1)2 2+ ,x-2,2,+ ,x-2,2,当当x=1x=1时时,x,x2 2+y+y2 2-x-x取得最小值取得最小值 , ,当当x=-2x=-2时时,x,x2 2+y+y2 2-x-x取得取得最大值最大值6.6.22xy422x21212123232