二面角的求法(共14页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上二面角的几种求法1.引言在高中空间几何的问题中，如何去求解两个平面的二面角的问题对很多同学来说十分棘手。许多同学一遇到这种问题就比较头疼，特别是针对那些所给已知条件比较少的问题。例如：在求二面角的问题中，许多都是没有给出直观的二面角的平面角，这就要求同学们会作辅助线，同时，一些问题中还需要很高的计算能力。在历年的高考题中，很多都出现了求二面角的题目，如2010年的安徽卷（第18题）、2010年的浙江卷（第20题）、2010年的陕西卷（第18题）、2009年的山东卷（第18题）、2009年的安徽卷（第18题）等等。这就说明，二面角问题在高考中是一个热门的考点。因此，研究

2、求解二面角问题的方法，有很大的研究价值。2.二面角及二面角的平面角的概念先来叙述一下中学教材中二面角的概念以及二面角的平面角的概念。（引）2.1二面角的概念从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。2.2二面角的平面角的概念如图1所示，在二面角的棱上任意取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角。图13.求解二面角问题的几个难点在求解空间几何问题的时候，经常会遇到求二面角的问题，求此类问题的难点具体体现在以下三个方面：3.1需要添加辅助线从二面角的定义来看，二面角的条件要求比较高，要求两条

3、射线分别在两个半平面内且都垂直于这两个半平面的交线，在一般的空间图形中很难直接发现满足这样条件的角。在这样的情况下只有借助添加辅助线等方法来解决问题，而添加辅助线是一个很难掌握的技巧。同时新添加的辅助线的长度以及它们与其余各条直线、各个平面所成的角度，还需要经过进一步计算才能够得到。这无形中给二面角的求解过程带来了很多困难。3.2线面关系隐藏的深在有些问题中，没有直接给出直线所成的角度，只给出了空间图形中的部分线段长度。这类问题，不仅要求答题者有很好的空间想象能力，还要求他们能根据长度求角度。3.3计算量巨大一般是根据长度求角度，这就会用到余弦公式，余弦公式是一个计算量十分大的公式。有些问题还

4、可以用空间坐标系的向量间的角度来解决，同样也需要做很多很复杂的计算。4.二面角问题的求解方法对不同的求二面角的问题，可以用不同的方法来解决。总体上来讲，可以分为四种方法，分别是：概念法、空间变换法、空间向量法、另类方法。4.1概念法顾名思义，概念法指的是利用概念直接解答问题。例1：如图2所示，在四面体中，,。求二面角的大小。图2分析：四面体的各个棱长都已经给出来了，这是一个典型的根据长度求角度的问题。解：设线段的中点是，接和。根据已知的条件，可以知道且。又是平面和平面的交线。根据定义，可以得出：即为二面角的平面角。可以求出，并且。根据余弦定理知：即二面角的大小为。同样，例2也是用概念法直接解决

5、问题的。例2：如图3所示，是正方形，求二面角的大小。图3解：作辅助线于点，连接、。由于，所以。即。由于，所以即为所求的二面角的大小。通过计算可以得到：，又，在三角形中可以计算得到。由此可以得到：，又。由余弦定理： 即：。4.2空间变换法空间变换法指的是基本的空间方法，包括三垂线法、补角法、垂面法、切平面法等方法。下面用例3介绍三垂线法、补角法和垂面法。例3：如图4所示，现有平面和平面，它们的交线是直线，点在平面内，点在平面内。求二面角的大小。图4分析：过点作辅助线垂直于，作垂直于平面于点。4.2.1补角法直接求解二面角的大小是有些困难的，那么可以先求解二面角。因为二面角与二面角是互补的关系，现

6、在先求出二面角后，二面角的大小就很容易计算了。4.2.2三垂线法由于，平面。那么根据三垂线定理可以得知：在平面内的射影垂直于两平面的交线。即且，根据定义可知，二面角的大小即为的大小。那么二面角的大小可以用补角法得到。4.2.3切平面法切面法的基本思想是做一个垂面，它垂直于两个平面的交线，在所得的图形中就可以很容易观察与计算二面角。如图4所示，可以作平面垂直于两个平面的交线，平面与平面的交线是，平面与平面的交线是，根据二面角的定义知即为所求二面角的补角，根据补角法，可以求出二面角的大小。 下面用例4来详细讲解一下切平面法。例4： 在图5中，。其中，。是的中点，。求二面角的大小。图5解：由于是的中

7、点，且是等腰三角形，那么。又，可以推出：。所以：。又，则，所以。可以得出：是和的公共切平面。由此，根据切平面法知即为所求二面角的平面角。由于，那么：，。又：。在三角形中根据余弦定理可知：那么。即求二面角的大小是。4.2.4补形法以上讲解了三垂线法、补角法和垂面法三种空间变换法，以下通过一个单独的例子来讲解第四种方法补形法。例5：在图6中，四边形是一个直角梯形，其中，。求平面与平面所成二面角的大小。图6解：延长直线与，它们相交于点，连接。由题意可知，平行于，的长度是的一半，且，那么，。在三角形中，。那么根据勾股定理可知，即。，且是在平面内的射影，根据三垂线定理知：。又，即即为所求的二面角。在中，

8、。那么。即：所以平面与平面所成二面角的大小是。在有些问题中，所给的图形不是能够很好观测到二面角的平面角，可以通过补形的方法来观测二面角的平面角。在例5中，很好的运用了补形法和三垂线法来解决问题，这也告诉我们，可以在一个问题中使用多种方法来达到解决问题目的。4.3空间向量法4.3.1二面角和两平面的夹角之间的关系两平面的夹角有两个，它们之间互补，取它们中角度较小的为，那么的取值范围是。而二面角是指两个特定的半平面所组成的图形，二面角的取值范围是。但是我们可以利用两个平面的夹角来求二面角，它们之间的关系具体如下：如果，。（1）如果，。（2）因此，在用空间向量法求解二面角的时候，必须先判断二面角的大

9、小是锐角还是钝角，然后由以上发现的规律来求解。当然，前提是先求出两平面的夹角。4.3.2平面法向量的求法两平面间的夹角一般根据两平面的法向量来求。如果平面方程已知，平面的法向量可以直接给出，如果平面方程未知，法向量可以根据平面内的三个点的坐标求出来。如图7所示：例6：如图7所示在平面内，已知三点，。图7下面求解平面的一个法向量。解法一：求平面的法向量的大小，可以用该平面内的两个向量的矢性积来求，即：又，可以求出：解法二：设平面的方程为将点，的坐标分别代入方程可以解出系数，。在此特别强调一下，三个点带入方程后得到的应该是一个四元三次方程，可能无解，如果有解，那么一定有无数多个解。可以通过解方程，

10、将，全部用表示，这样就可以得到一个形如的方程，可以将新得到的方程两边同时除以（，否则，方程无意义），那么就可以得到平面的方程。得到了平面的一般方程，即得平面的法向量坐标。解法三：在图7中，由所给的信息，可以求出向量、的大小。设平面的一个法向量。若，。由，可以得到：可以求解出，的关系。此方程一定有无数多个解，可以将，用表示。如，由此可知向量是平面的一个法向量。4.3.3两平面夹角的公式两平面相交时，定义它们之间的夹角为它们法向量的夹角为，其中。于是：4.3.4两平面的夹角转化成二面角利用上述方法，先求出两平面的法向量，再求两平面的夹角，最后可以根据（1）、（2）求出二面角的大小。例7：如图8所示

11、，四边形是一个矩形，点和点分别在边和边上，其中，。现在以直线为折痕，将三角形折起，得到三角形，同时使得平面与底面垂直。求二面角的大小。图8解：以点为坐标原点，建立如图8所示的直角坐标系，设点是线段的中点，连接。可以得到：，。由于，所以。又平面与底面垂直。所以：。即是底面的一个法向量。设是平面的一个法向量。那么：，即：那么：，即。即二面角的大小为4.4另类方法比较常用的另类方法是四面体体积法、角度法和面积摄影法。4.4.1四面体体积法例8：如图9所示，在空间四面体中，四面体的所有棱长都是1，求二面角的大小。图9分析：过点作辅助线平面于点，过点作辅助线于点，连接直线，。由于四面体是一个正四面体,即

12、为所求二面角。（也可以推导出当四面体不是正四面体时同样是所求的二面角）正四面体的棱长是1，可以求出正四面体的体积是根据已知条件可知：， 可以求出：，即：。当四面体不是正四面体时也可以用这种方法求解，只需要知道体积、两个面的面积、公共边的长度就可以解出二面角的大小了。4.4.2角度法例9：如图10所示，以点为顶点的三条射线分别是、，其中、的夹角是，、的夹角是，、的夹角是。现在要求二面角的大小。图10分析：现在设，并且（由于、的长度没有给出，这样的假设是合理可行的），那么即为所求二面角的大小。根据已知条件可以得到：， ， 又将、带入得到：在三角形中, 即：通过这种方法，可以在没有任何长度条件的情况

13、下求解出二面角的大小，因此，该方法是一个比较特殊实用的方法。4.4.3面积射影法例10：如图11所示，在空间直角坐标系中，点、分别在、轴上，现在要求二面角的大小。图11分析：作并且与相交于点。连接。根据三垂线定理可知：。即：即为所求二面角。在中，。在中，。并且。是在平面内的射影。由以上的条件可以得到：即：（其中是在平面内的射影。）用另外一种简便语言表示就是：5.小结首先要指出的是给出的3种另类方法，如果给出的问题条件特殊，可以用四面体体积法、角度法或者面积射影法来解决，使用3种另类方法无疑是最简单的方法，直接套用公式即可解出结果。如果遇到的问题不能用另类方法解决，则尽量运用概念法和几何法来解决

14、，因为这两种方法的计算量小，不容易出错。但是很多问题所给的条件不够的，很多图形都只给出了部分条件，其他条件需要推导计算出来，因此，要灵活运用概念法、三垂线法、割补法以及切平面法，有时甚至需要几种方法的混合使用才能够求解出二面角，例4和例5中也可以看出这几种方法混合使用的效果。还有，如果问题给出的图形容易建立直角坐标系，并且各个点的坐标不是很复杂时，使用空间向量法是一个不错的选择。它可以省去很多推导过程，只需要细心地运算，就可以把平面的二面角解出来。当然，倘若问题的数据巨大，这种方法就不是很适用。 到目前为止只总结出了这些方法，可能还有很多实用的方法没有考虑到。总结出的方法中可能有不足之处，还请指出改正。专心-专注-专业