抽样方法、正态分布(共9页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上抽样方法、正态分布 重点、难点讲解： 1抽样的三种方法：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样。后两种方法是建立在第一种方法基础上的。2了解如何用样本估计总体: 用样本估计总体的主要方法是用样本的频率分布来估计总体分布，主要有总体中的个体取不同数值很少和较多甚至无限两种情况。 3正态曲线及其性质：N()，其正态分布函数：f(x)=, x(-,+)。 把N(0,1)称为标准正态分布，相应的函数表达式：f(x)=, x(-,+)。 正态图象的性质： 曲线在x轴的上方，与x轴不相交。 曲线关于直线x=对称。 曲线在x=时位于最高点。 当x时，曲线下降，并且当曲线向左、右两边无限延

2、伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近。 当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。 4一般正态分布与标准正态分布的转化 对于标准正态分布，用表示总体取值小于x0的概率，即=p(xx0)，其几何意义是由正态曲线N(0,1)，x轴，直线x=x0所围成的面积。又根据N(0,1)曲线关于y轴的对称性知，并且标准正态总体在任一区间(a,b)内取值概率。 任一正态总体N()，其取值小于x的概率F(x)=。 5了解“小概率事件”和假设检验的思想。 知识应用举例： 例1从503名大学一年级学生中抽取50名作为样本，如何采用系统抽样方法完成

3、这一抽样？ 思路分析：因为总体的个数503，样本的容量50，不能整除，故可采用随机抽样的方法从总体中剔除3个个体，使剩下的个体数500能被样本容量50整除，再用系统抽样方法。 解：第一步：将503名学生随机编号1，2，3，503 第二步：用抽签法或随机数表法，剔除3个个体，剩下500名学生，然后对这500名学生重新编号。 第三步：确定分段间隔k=10,将总体分成50个部分，每部分包括10个个体，第一部分的个体编号为1，2，10；第二部分的个体编号11，12，20；依此类推，第50部分的个体编号491，492，500。 第四步：在第一部分用简单随机抽样确定起始的个体编号，例如是7。 第五步：依次

4、在第二部分，第三部分，第五十部分，取出号码为17，27，497，这样就得到了一个容量为50的样本。 例2对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下： （1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计电子元件寿命在100h400h以内的概率； （4）估计电子元件寿命在400h以上的概率；（5）估计总体的数学期望。 思路分析：由于样本的取得具有代表性，因此，可以利用样本的期望近似地估计总体的期望。 解：（2）频率分布直方图如下： （3）从频率分布表可知，寿命在100h400h的元件出现的概率为0.65；（4）寿命在400h以上的电子元件出现的频率为0.20+0.15=0.35，故我们估计电子

5、元件寿命在400h以上的概率为0.35。 （5）样本的期望为： 所以，我们估计生产的电子元件寿命的总体期望值（总体均值）为365h。 例3正态总体为=0, =1时的概率密度函数是f(x)=, x(-, +) , （1）证明f(x)是偶函数；（2）利用指数函数的性质说明f(x)的增减性。 证明：（1）任意的xR，f(-x)=, f(x)是偶函数。 （2）任取x1x20，则， ， ，即f(x1)f(x2)。 这说明f(x)在(-,0)上是递增函数， 同理可证f(x)在(0, +)上是递减函数。 例4随机变量服从N(0,1)，求下列值。 （1）P(2.55) （2）P(-1.44) （3）P(|1.

6、52) 思路分析：标准正态分布，可以借助标准正态分布表。用到的公式主要有：(-x)=1-(x)；P(axb)=(b)-(a)；p(xx0)=1-p(xx0)。 解：（1）P(2.55)=1-p(2.55)=1-(2.55)=1-0.9946=0.0054。 （2）P(-1.44)=(-1.44)=1-(1.44)=1-0.9251=0.0749。 （3）P(|1.52)=p(-1.521.52)=(1.52)-(-1.52) =2(1.52)-1=20.9357-1=0.8714。 例5设,且总体密度曲线的函数表达式为：f(x), x(-,+)。 （1）求，；（2）求p(|x-1|)及p(1-

7、x1+)。 思路分析：对照正态曲线函数，可以得出，；利用一般正态总体N()与标准正态总体N(0,1)概率间的转化关系，可以求出（2）。 解：（1）整理得：f(x)=，所以，=1, ，故。 （2）p(|x-1|)=p(1-x1+)=F(1+)-F(1-) =()-()=(1)-(-1)=2(1)-1 =20.8413-1=0.6826。p(1-x1+2)=F(1+2)-F(1-) =()-()=(2)-(-1)=(2)+(1)-1 =0.9772+0.8413-1=0.8185。 例6某城市从南郊某地乘车前往北区火车站有两条路可走，第一条线路穿过市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间（单位：分钟）

8、服从正态分布N(50,100), 第二条线路沿环城公路走，路程较长，但交通阻塞少，所需时间（单位：分钟）服从正态分布N(60, 16)， （1）若只有70分钟时间可用，应走哪条路？ （2）若只有65分钟时间可用，应走哪条路？ 思路分析：所谓最佳线路（应选择的线路）就是在允许的时间内有较大概率赶到火车站的那条线路。 解：设x为行车时间。 （1）走第一条路及时赶到的概率为： P(0x70)=(2)=0.9772。 走第二条线路及时赶到的概率为： P(0x70)=()=(2.5)=0.9938。 （2）走第一条线路及时赶到的概率为：P(0x65)()=(1.5)=0.9332。 走第二条线路及时赶到

9、的概率为： P(0a)，则a的值为（ ）。 A、0B、C、-D、 窗体底端窗体顶端9设随机变量N(，2)，且E=3，D=1，则P(-11)等于（ ）。 A、2(1)-1B、(4)-(2)C、(-4)-(-2)D、(2)-(4) 窗体底端窗体顶端10已知从某批材料中任取一件时，取得的这件材料的强度N(200，18)，则取得的这件材料的强度不低于180的概率为（ ）。 A、0.9973B、0.8665C、0.8413D、0.8159窗体底端答案与解析 答案：1、C 2、D 3、C 4、C 5、D 6、D 7、D 8、B 9、B 10、B解析：1.提示：采用分层抽样时，各部分抽取的个体数与这一部分个

10、体数的比等于样本容量与总体的个体数的比，所以每个个体被抽到的概率都是相等的。2.提示：当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，常采用分层抽样。4.提示： ，所以数 是工人占总体的频率。5.提示：组距10,20)20,30)30,40)40,50)50,60)60,70)频数234542频率0.10.150.20.25则样本在区间(-,50)上的频率为0.1+0.15+0.2+0.25=0.7。6.提示：如果样本容量越大，所分组数越多，也就是组距不断缩小，那么频率分布的直方图就会无限接近于总体密度曲线。因此它们有关，但频率分布的直方图不是总体密度曲线。9.提示：一

11、般的正态分布问题，能转化成标准正态分布问题来处理，即将正态分布中观察值x的概率P(axb)表示成标准正态分中的P(z1zz2)，其中z1= ,z2= .由题意： ， ， 。“概率与统计”内容分析（二） 6、简单随机抽样有哪些特点? 答：(1)它要求被抽取样本的总体的个数有限，以便对其中各个体被抽取的概率进行分析。 (2)这种抽样是从总体中逐个进行抽取，这就使得它具有可操作性。 (3)这是一种不放回抽样。由于在抽样的实践中常常采用不放回抽样，使简单随机抽样具有较广泛的实用性，而且由于在所抽取的样本中没有被重复抽取的个体，所以便于进行分析与计算。 (4)这是一种等概率的抽样，不仅每次从总体中抽取一

12、个个体时，各个体被抽取的概率相等，而且在整个抽样过程中，各个体被抽取的概率相等，从而保证了这种抽样方法的公平性。 实施简单随机抽样主要有两种方法；即抽签法和随机数表法。 与系统抽样、分层抽样相比，简单随机抽样是最简单、最基本的抽样方法，另两种抽样方法都建立在简单随机抽样的基础之上。这三种抽样方法的共同点是：它们都属于等概率的抽样，都体现了抽样的公平性。 7、掷一枚均匀硬币两次，如何从二项分布的直方图上算出正面朝上至多发生一次的概率? 答：先画出直方图(n2，p0.5)如图1所示。由图可见，正面朝上至多发生一次的概率，就是横坐标从-0.5到1.5这两个长方形的面积之和，其中第一个长方形的面积对应

13、于正面朝上至多发生一次的概率P=0.251+0.51=0.75。8、如何利用直方图来引进正态曲线与正态分布? 答：对于n较大，p0.5的二项分布直方图，如果用一条平滑的曲线把每个长方形的中点联结起来，就能得到一条钟形曲线，称为正态曲线(图2)，其函数解析式为其中f(x)=, xR, 其中。 回顾二项分布的直方图及上面7中所举的例子，直方图中各长方形的面积可以表示有关的概率值。对于正态曲线，如果规定，试验的观察值x落在区间(a，b)内的概率P(axb)就是由这条曲线、x轴、直线xa及xb所围成的图形的面积(图3)，那么称这种概率分布为正态分布。 一个平均数为、标准差为的正态分布可以用公式z=将它

14、变换成平均数为0、标准差为1的正态分布。平均数为0、标准差为1的正态分布称为标准正态分布(图4)，其公式为, 其中。 一般的正态分布问题，能转化成标准正态分布问题来处理，即将正态分布中观察值x的概率P(axb)表示成标准正态分中的P(z1zz2)，其中z1=,z2=。由于必然事件的概率是1，所以在标准正态曲线下方、z轴上方的总面积等于1，为了计算与标准正态分布有关的事件的概率，可以列出如图5中阴影部分面积的表，以备查用。 用正态曲线去近似二项分布的直方图，当n比较大，p等于或接近于0.5时，效果比较好(图2)。一般地说，n越大，p越接近于0.5，近似程度就越高；反过来，n很小，p接近于0或1时，近似程度就不好，我们一般要求np5及nq5，否则计算概率的误差太大。专心-专注-专业