2020_2021学年高中数学第三章直线与方程3.2.3直线的一般式方程课件新人教A版必修2.ppt

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1、3.2.3直线的一般式方程直线的一般式方程直线的一般式方程关于关于x,yx,y的二元一次方程的二元一次方程Ax+By+C=0 (Ax+By+C=0 (其中其中A,BA,B不同时为不同时为0)0)叫做直线的一般式方程叫做直线的一般式方程, ,简称一般式简称一般式. .【思考思考】(1)(1)方程方程y-yy-y0 0=0=0是二元一次方程吗是二元一次方程吗? ?提示提示: :是是, ,是是A A为为0 0的二元一次方程的二元一次方程. .(2)(2)直线与二元一次方程的关系是什么直线与二元一次方程的关系是什么? ?提示提示: :直线的方程都可以化为二元一次方程直线的方程都可以化为二元一次方程;

2、;二元一次二元一次方程都表示直线方程都表示直线. .【素养小测素养小测】 1.1.思维辨析思维辨析( (对的打对的打“”“”, ,错的打错的打“”)”)(1)(1)任何一条直线的二元一次方程都能化为其他四种形任何一条直线的二元一次方程都能化为其他四种形式式. .( () )(2)(2)直线的二元一次方程直线的二元一次方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0中中, ,若若A=0,A=0,则则B B一定一定不等于不等于0.0.( () )(3)(3)直线的一般式方程可以写成直线的一般式方程可以写成Ay+Bx+C=0Ay+Bx+C=0的形式的形式. (. () )提示提示: :(1)(1). .如与

3、如与x x轴平行的直线没有截距式轴平行的直线没有截距式. .(2).(2).因为因为A,BA,B不同时为零不同时为零. .(3)(3). .直线的一般式方程必须写成直线的一般式方程必须写成Ax+By+C=0Ax+By+C=0的形式的形式. .2.2.若方程若方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0表示直线表示直线, ,则则A,BA,B应满足的条件应满足的条件是是 ( () )A.A0A.A0B.B0B.B0C.AB0C.AB0D.AD.A2 2+B+B2 200【解析解析】选选D.A,BD.A,B满足不同时等于满足不同时等于0.0.3.3.直线直线y-1=4(x+2)y-1=4(x+2)化为一

4、般式方程为化为一般式方程为_._.【解析解析】y-1=4(x+2)y-1=4(x+2)化为化为4x-y+9=0.4x-y+9=0.答案答案: :4x-y+9=04x-y+9=0类型一直线的一般式方程类型一直线的一般式方程【典例典例】1.1.已知直线已知直线Ax+By+C=0(AB0,BC0),Ax+By+C=0(AB0,BC0),则直线不则直线不经过经过 ( () )A.A.第一象限第一象限 B.B.第二象限第二象限C.C.第三象限第三象限 D.D.第四象限第四象限2.(20192.(2019宿州高一检测宿州高一检测) )已知直线已知直线l经过点经过点P(2,3)P(2,3)且斜且斜率为率为-

5、 ,- ,试求下列直线的一般式方程试求下列直线的一般式方程: :(1)(1)直线直线l. .(2)(2)与直线与直线l平行平行, ,且过点且过点(-3,1)(-3,1)的直线的直线. .(3)(3)与直线与直线l垂直垂直, ,且过点且过点(0,-1)(0,-1)的直线的直线. .32【思维思维引引】1.1.化为斜截式化为斜截式, ,利用斜率、利用斜率、y y轴上截距的轴上截距的符号判断符号判断. .2.2.根据条件根据条件, ,利用点斜式、斜截式写出直线方程利用点斜式、斜截式写出直线方程, ,再化再化成一般式成一般式. .【解析解析】1.1.选选A.A.直线直线Ax+By+C=0Ax+By+C

6、=0化为化为:y=- x- ,:y=- x- ,又又AB0,BC0,AB0,BC0,所以所以- 0,- 0,- 0,- 0,则直线不经过第一象则直线不经过第一象限限. .ABCBABCB2.(1)2.(1)直线直线l的方程是的方程是y-3=- (x-2),y-3=- (x-2),所以所以2y-6=3(2-x),2y-6=3(2-x),所以所以3x+2y-12=0.3x+2y-12=0.所以直线所以直线l的一般式方程是的一般式方程是3x+2y-3x+2y-12=0.12=0.(2)(2)与与l平行且过点平行且过点(-3,1)(-3,1)的直线为的直线为y-1=- (x+3),y-1=- (x+3

7、),所以所以2-2y=3x+9,2-2y=3x+9,所以所以3x+2y+7=0.3x+2y+7=0.3232(3)(3)与与l垂直的直线的斜率为垂直的直线的斜率为k= k= 所以所以y+1=y+1= (x-0), (x-0),所以所以2x-3y-3=0.2x-3y-3=0.12,33223【内化内化悟悟】直线方程化为一般式时有哪些注意事项直线方程化为一般式时有哪些注意事项? ?提示提示: :(1)(1)按照按照x x项、项、y y项、常数项的顺序排列项、常数项的顺序排列. .(2)x(2)x项的系数一般为正项的系数一般为正. .(3)(3)系数系数A,B,CA,B,C一般化为整数一般化为整数.

8、 .【类题类题通通】关于直线的一般式方程与其他形式的方程关于直线的一般式方程与其他形式的方程一般情况下一般情况下, ,直线的一般式方程与直线的点斜式、斜截直线的一般式方程与直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以进行互化式、两点式、截距式都可以进行互化, ,但是最常用的是但是最常用的是一般式方程化斜截式方程一般式方程化斜截式方程, ,可以得出斜率、可以得出斜率、y y轴截距轴截距, ,用用于作图或转化解题于作图或转化解题. .【习练习练破破】1.1.若若a,b,ca,b,c都大于都大于0,0,则直线则直线ax+by+c=0ax+by+c=0的图象大致是图的图象大致是图中的中的 ( () )【

9、解析解析】选选D.D.直线直线ax+by+c=0ax+by+c=0化为化为:y= :y= 因为因为a,b,ca,b,c都大于都大于0,0,所以所以- 0,- 0,- 0,- 0,所以直线所以直线ax+by ax+by +c=0+c=0的图象大致是图中的的图象大致是图中的D.D.acxbb，cbab2.2.在在ABCABC中中, ,点点A(-1,2),B(2,1),A(-1,2),B(2,1),点点C C与点与点A A关于关于y y轴对轴对称称, ,则则ABAB边上的高所在的直线方程为边上的高所在的直线方程为( () )A.x+3y-7=0A.x+3y-7=0B.x+y-2=0B.x+y-2=0

10、C.3x-y-1=0C.3x-y-1=0D.3x-y+1=0D.3x-y+1=0【解析解析】选选C.C.因为在因为在ABCABC中中, ,点点A(-1,2),B(2,1),A(-1,2),B(2,1),点点C C与点与点A A关于关于y y轴对称轴对称, ,所以所以C(1,2),C(1,2),所以所以k kABAB= = 所以所以ABAB边上的高所在的直线方程为边上的高所在的直线方程为y-2=3(x-1),y-2=3(x-1),即即3x-3x-y-1=0.y-1=0.1 212 13 ，【加练加练固固】根据下列各条件写出直线的方程根据下列各条件写出直线的方程, ,并且化成一般式并且化成一般式.

11、 .(1)(1)斜率是斜率是- ,- ,经过点经过点A(8,-2).A(8,-2).(2)(2)经过点经过点B(4,2),B(4,2),平行于平行于x x轴轴. .12(3)(3)在在x x轴和轴和y y轴上的截距分别是轴上的截距分别是 ,-3.,-3.(4)(4)经过两点经过两点P P1 1(3,-2),P(3,-2),P2 2(5,-4). (5,-4). 32【解析解析】(1)(1)由点斜式得由点斜式得y-(-2)=- (x-8),y-(-2)=- (x-8),即即x+2y-4=0.x+2y-4=0.(2)(2)由斜截式得由斜截式得y=2,y=2,即即y-2=0.y-2=0.(3)(3)

12、由截距式得由截距式得 =1, =1,即即2x-y-3=0.2x-y-3=0.(4)(4)由两点式得由两点式得 即即x+y-1=0.x+y-1=0.12xy332y2x34253 ，类型二含参数的一般式方程类型二含参数的一般式方程【典例典例】1.1.已知直线已知直线 x+3y+n=0 x+3y+n=0在在x x轴上的截距为轴上的截距为-3,-3,则实数则实数n n的值为的值为( () )A.-3 A.-3 B.3 B.3 C.- C.- D. D. 333332.(20192.(2019安顺高一检测安顺高一检测) )设直线设直线l的方程为的方程为ax+y+2-ax+y+2-a=0(aR).a=0

13、(aR).(1)(1)若直线若直线l与直线与直线l1 1:2x+y-2=0:2x+y-2=0垂直时垂直时, ,求求a a的值的值. .(2)(2)若若l在两坐标轴上的截距相等在两坐标轴上的截距相等, ,求求l的方程的方程. .【思维思维引引】1.1.方法一方法一: :化为截距式化为截距式, ,由由x x轴上的截距为轴上的截距为-3,-3,求求n n的值的值. .方法二方法二: :令令y=0,y=0,求得求得x x值值, ,即为直线在即为直线在x x轴上的截距轴上的截距. .解方解方程求得程求得. .2.(1)2.(1)根据两直线垂直时斜率之积为根据两直线垂直时斜率之积为-1-1求解求解; ;(

14、2)(2)将直线与坐标轴的截距用将直线与坐标轴的截距用a a表示进而求解表示进而求解. .【解析解析】1.1.选选B.B.根据题意根据题意, ,方法一方法一: :直线方程变为直线方程变为xyn1,3n3 3.nn333 所以，所以方法二方法二: :点点(-3,0)(-3,0)在直线在直线 x+3y+n=0 x+3y+n=0上上, ,即即(-3)(-3) +n=0,+n=0,解得解得n=3 .n=3 .2.(1)2.(1)直线直线l与直线与直线l1 1:2x+y-2=0:2x+y-2=0垂直垂直, ,斜率斜率k k1 1=-2,=-2,直线直线l斜斜率为率为k=-a,k=-a,由由k k1 1k

15、=-1,k=-1,解得解得a=- .a=- .33312(2)(2)l在两坐标轴上的截距相等在两坐标轴上的截距相等, ,显然显然a0,a0,当当x=0 x=0时时,y=a-2,y=a-2,当当y=0y=0时时,x= ,x= ,则则a-2= ,a-2= ,解得解得a=1a=1或或a=2,a=2,故直线故直线l的方程为的方程为x+y+1=0 x+y+1=0或或2x+y=0.2x+y=0.a2aa2a【内化内化悟悟】直线的一般式方程化斜截式方程时需要注意什么问题直线的一般式方程化斜截式方程时需要注意什么问题? ?提示提示: :必须考察必须考察B B是否为是否为0,0,当当B B不等于不等于0 0时才

16、能化成斜截时才能化成斜截式方程式方程, ,不确定时需要对不确定时需要对B B分情况讨论分情况讨论. .【类题类题通通】已知含参的直线的一般式方程求参数的值或取值范围已知含参的直线的一般式方程求参数的值或取值范围的步骤的步骤【习练习练破破】若方程若方程(m(m2 2-3m+2)x+(m-2)y-2m+5=0-3m+2)x+(m-2)y-2m+5=0表示直线表示直线. .(1)(1)求实数求实数m m的范围的范围. .(2)(2)若该直线的斜率若该直线的斜率k=1,k=1,求实数求实数m m的值的值. .【解析解析】(1)(1)由由 解得解得m=2,m=2,若方程表示若方程表示直线直线, ,则则m

17、 m2 2-3m+2-3m+2与与m-2m-2不能同时为不能同时为0,0,故故m2.m2.(2)(2)由由- - 解得解得m=0.m=0.2m3m20 m20，2m3m21m2，【加练加练固固】设直线设直线l的方程为的方程为(m(m2 2-2m-3)x-(2m-2m-3)x-(2m2 2+m-1)y+6-2m=0.+m-1)y+6-2m=0.(1)(1)已知直线已知直线l在在x x轴上的截距为轴上的截距为-3,-3,求求m m的值的值. .(2)(2)已知直线已知直线l的斜率为的斜率为1,1,求求m m的值的值. .【解析解析】(1)(1)由直线由直线l在在x x轴上的截距为轴上的截距为-3,

18、-3,则直线则直线l过点过点(-3,0),(-3,0),即即(m(m2 2-2m-3)-2m-3)(-3)-(2m(-3)-(2m2 2+m-1)+m-1)0+6-2m=0.0+6-2m=0.即即3m3m2 2-4m-15=0.-4m-15=0.得得m=- m=- 或或m=3(m=3(舍去舍去).).所以所以m=- .m=- .5353(2)(2)由题意知由题意知,2m,2m2 2+m-10,+m-10,由直线由直线l化为斜截式方程得化为斜截式方程得y= y= 得得m=-2m=-2或或m=-1(m=-1(舍去舍去).).所以所以m=-2. m=-2. 22222m2m362mm2m3x,1,2

19、mm 12mm 12mm 1则类型三直线方程的综合应用类型三直线方程的综合应用角度角度1 1在镜面反射中的应用在镜面反射中的应用【典例典例】一条光线从点一条光线从点A(2,4)A(2,4)射出射出, ,倾斜角为倾斜角为6060, ,遇遇x x轴后反射轴后反射, ,则反射光线的直线方程为则反射光线的直线方程为 ( () )A. x-y+4-2 =0A. x-y+4-2 =0B.x- y-2-4 =0B.x- y-2-4 =0C. x+y+4-2 =0C. x+y+4-2 =0D.x+ y-2-4 =0D.x+ y-2-4 =033333333【思维思维引引】求出反射光线的斜率、反射光线的一点求出

20、反射光线的斜率、反射光线的一点后写直线的方程后写直线的方程. .【解析解析】选选C.C.因为因为tan 60tan 60= ,= ,所以所以k=tan(180k=tan(180- -6060)=- ,)=- ,因为点因为点A(2,4)A(2,4)关于关于x x轴的对称点轴的对称点A(2,-4)A(2,-4)在反射光线上在反射光线上, ,设反射光线所在的直线方程为设反射光线所在的直线方程为y=y=- x+b,- x+b,所以所以-4=- -4=- 2+b,2+b,解得解得b=2 -4,b=2 -4,故反射光故反射光线所在的直线方程为线所在的直线方程为y=- x+2 -4,y=- x+2 -4,即

21、即 x+y+4-x+y+4-2 =0.2 =0.333333333【素养素养探探】在直线方程的应用过程中在直线方程的应用过程中, ,常常用到核心素养中的数学常常用到核心素养中的数学运算运算, ,通过求对称点通过求对称点, ,设直线方程设直线方程, ,用待定系数法求解用待定系数法求解. .把本例中的条件变为把本例中的条件变为“一条光线从点一条光线从点A(2,4)A(2,4)射出射出, ,遇遇x x轴后反射轴后反射, ,反射光线经过点反射光线经过点B(5,2)”,B(5,2)”,试求反射光线的试求反射光线的直线方程直线方程. .【解析解析】点点A(2,4)A(2,4)关于关于x x轴的对称点轴的对

22、称点A(2,-4),A(2,-4),由镜面由镜面反射原理反射原理, ,点点AA在反射光线的反向延长线上在反射光线的反向延长线上, ,又因为又因为k kABAB= =2,= =2,所以反射光线的方程为所以反射光线的方程为y-2=2(x-5),y-2=2(x-5),即即2x-y-8=0.2x-y-8=0.2452角度角度2 2在直线平行、垂直中的应用在直线平行、垂直中的应用【典例典例】直线直线l1 1:mx+4y+3=0,:mx+4y+3=0,l2 2:2x+(m+2)y+3=0,:2x+(m+2)y+3=0,若若l1 1l2 2, ,则则m m的值为的值为_,_,若若l1 1l2 2, ,则则m

23、 m的值为的值为_._.【思维思维引引】利用直线平行、垂直时一般式的系数关利用直线平行、垂直时一般式的系数关系求值系求值. .【解析解析】若若l1 1l2 2, ,由由 解得解得m=-4m=-4或或m=2,m=2,又又 所以所以m2,m2,所以所以m=-4;m=-4;若若l1 1l2 2, ,由由2m+4(m+2)=0,2m+4(m+2)=0,解得解得m=- .m=- .答案答案: :-4-4- - m42m2，43m23，4343【类题类题通通】一般式在直线平行、垂直中的应用一般式在直线平行、垂直中的应用直线直线l1 1:A:A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0,=0,l2 2:

24、A:A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0,=0,(1)(1)平行平行: :A A2 2,B,B2 2,C,C2 2均不为均不为0,0,l1 1l2 2 A A2 2,B,B2 2中有一个为中有一个为0,0,则根据则根据A A1 1,B,B1 1是否为是否为0 0判断位置关判断位置关系系; ;111222ABCABC；若若C C2 2为为0,0,则根据只需判断则根据只需判断A A1 1,B,B1 1与与A A2 2,B,B2 2的关系的关系. .(2)(2)垂直垂直: :l1 1l2 2A A1 1A A2 2+B+B1 1B B2 2=0.=0.【习练习练破破】1.1.若直线若直线

25、l1 1:ax+2y+6=0:ax+2y+6=0与直线与直线l2 2:x+(a-1)y+(a:x+(a-1)y+(a2 2-1)=0-1)=0平平行行, ,则则a a的值为的值为( () )A.a=1A.a=1B.a=2B.a=2C.a=-2C.a=-2D.a=-1D.a=-1【解析解析】选选D.D.因为直线因为直线l1 1:ax+2y+6=0:ax+2y+6=0与直线与直线l2 2:x+(a-:x+(a-1)y+(a1)y+(a2 2-1)=0-1)=0平行平行, ,所以所以 解得解得a=-1,a=-1,所所以以a a的值为的值为-1.-1.2a261a1a1，2.(20192.(2019温

26、州高一检测温州高一检测) )若直线若直线x+ay-2=0 x+ay-2=0与直线与直线ax+2y+1=0ax+2y+1=0垂直垂直, ,则则a=a=( () )A.-2A.-2 B.0 B.0 C.-2 C.-2或或0 0D.2D.2【解析解析】选选B.B.因为直线因为直线x+ay-2=0 x+ay-2=0与直线与直线ax+2y+1=0ax+2y+1=0垂直垂直, ,所以所以1 1a+aa+a2=0,2=0,解得解得a=0.a=0.【加练加练固固】(2019(2019洛阳高一检测洛阳高一检测) )已知直线已知直线l1 1:3x+(m+1)y-6=0,:3x+(m+1)y-6=0,l2 2:mx

27、+2y-(m+2)=0,:mx+2y-(m+2)=0,分别求满足下列条件的分别求满足下列条件的m m的值的值. .(1)(1)l1 1l2 2;(2);(2)l1 1l2 2. .【解析解析】(1)(1)若若l1 1l2 2, ,则有则有3 3m+(m+1)m+(m+1)2=0,2=0,解得解得m=- .m=- .(2)(2)若若l1 1l2 2, ,则有则有3 32-m(m+1)=0,2-m(m+1)=0,解得解得m=-3m=-3或或m=2,m=2,25当当m=-3m=-3时时, ,直线直线l1 1与直线与直线l2 2平行平行. .当当m=2m=2时时, ,直线直线l1 1与直线与直线l2 2重合重合, ,不符合题意不符合题意, ,舍去舍去. .所以所以m=-3.m=-3.