2020版高中数学第三章数系的扩充与复数3.2.2复数的乘法3.2.3复数的除法课件新人教B版选修2_2.ppt

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1、3.2.2复数的乘法3.2.3复数的除法【自我预习自我预习】1.1.复数代数形式的乘法法则复数代数形式的乘法法则(1)(1)法则法则: :已知已知z z1 1=a+bi,z=a+bi,z2 2=c+di,a,b,c,dR,=c+di,a,b,c,dR,则则z z1 1zz2 2=(a+bi)(c+di)=_.=(a+bi)(c+di)=_.(ac-bd)+(ad+bc)i(ac-bd)+(ad+bc)i(2)(2)运算律运算律: :对于任意的对于任意的z z1 1,z,z2 2,z,z3 3C,C,有有交换律交换律:z:z1 1zz2 2=_;=_;结合律结合律:(z:(z1 1zz2 2)z

2、)z3 3=_;=_;乘法对加法的分配律乘法对加法的分配律:z:z1 1(z(z2 2+z+z3 3)=_;)=_;z z2 2zz1 1z z1 1(z(z2 2zz3 3) )z z1 1zz2 2+z+z1 1zz3 3复数的乘方复数的乘方: :任意复数任意复数z,zz,z1 1,z,z2 2和自然数和自然数m,n,m,n,有有z zm mzzn n=_,(z=_,(zm m) )n n=_,(z=_,(z1 1zz2 2) )n n= =_. .z zm+nm+nz zmnmnnn12zz2.2.共轭复数的性质与复数的除法法则共轭复数的性质与复数的除法法则(1)(1)共轭复数的性质共轭

3、复数的性质: :zz =|z|=|z|2 2=|=| | |2 2; ; =(=( ) )2 2. .zzz2z(2)(2)复数除法法则复数除法法则: :(a+bi)(a+bi)(c+di)=(c+di)= = =_(c+di0).(c+di0).abicdi2222acbdbcadicdcd【思考思考】(1)(1)两个共轭复数的和与积都是实数吗两个共轭复数的和与积都是实数吗? ?提示提示: :是实数是实数, ,设设z=a+bi,z=a+bi,则则 =a-bi,z+ =2a,=a-bi,z+ =2a,z =az =a2 2+b+b2 2, ,故两个共轭复数的和与积都是实数故两个共轭复数的和与积

4、都是实数. .zzz(2)z(2)z2 2=|z|=|z|2 2成立的条件是什么成立的条件是什么? ?提示提示: :当且仅当当且仅当zRzR时时,z,z2 2=|z|=|z|2 2. .【自我总结自我总结】1.1.对复数乘法运算的三点说明对复数乘法运算的三点说明(1)(1)类比多项式运算类比多项式运算: :复数的乘法运算与多项式乘法运复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似算很类似, ,可仿多项式乘法进行可仿多项式乘法进行, ,但结果要将实部、虚但结果要将实部、虚部分开部分开(i(i2 2换成换成-1).-1).(2)(2)运算律运算律: :多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成多项式乘法的运算律在

5、复数乘法中仍然成立立, ,乘法公式也适用乘法公式也适用. .(3)(3)常用结论常用结论: :(a(abi)bi)2 2=a=a2 22abi-b2abi-b2 2(a,bR);(a,bR);(a+bi)(a-bi)=a(a+bi)(a-bi)=a2 2+b+b2 2(a,bR);(a,bR);(1(1i)i)2 2= =2i.2i.2.2.复数除法运算的两个关键点复数除法运算的两个关键点(1)(1)实数化实数化: :在进行复数除法运算时在进行复数除法运算时, ,通常先把通常先把(a+bi)(a+bi)(c+di)(c+di)写成商的形式写成商的形式, ,即即(a+bi)(a+bi)(c+di

6、)=(c+di)= abicdi；分子、分母同乘以分母的共轭复数分子、分母同乘以分母的共轭复数c-di,c-di,化简后即得化简后即得结果结果, ,这个过程实际上就是把分母实数化这个过程实际上就是把分母实数化, ,这与根式除这与根式除法的分母法的分母“有理化有理化”很类似很类似. .(2)(2)代数式代数式: :注意最后结果要将实部、虚部分开注意最后结果要将实部、虚部分开. .【知识拓展知识拓展】复数乘法运算的推广复数乘法运算的推广复数的乘法可以推广到若干个因式连乘复数的乘法可以推广到若干个因式连乘, ,且满足乘法的且满足乘法的交换律、结合律、分配律交换律、结合律、分配律. .【自我检测自我检

7、测】1.1.思维辨析思维辨析( (对的打对的打“”“”, ,错的打错的打“”)”)(1)(1)两个共轭虚数的和为纯虚数两个共轭虚数的和为纯虚数. .( () )(2)(2)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件条件. .( () )(3)(3)若若z z1 1,z,z2 2C,C,且且 =0,=0,则则z z1 1=z=z2 2=0.=0.( () )(4)(4)两个虚数相乘的结果可能为实数两个虚数相乘的结果可能为实数. .( () )2212zz提示提示: : (1) (1) . .两个共轭虚数的和为实数两个共轭虚数的和为实数. .(2)(2).

8、 .两个复数互为共轭复数是它们的模相等的充分两个复数互为共轭复数是它们的模相等的充分条件条件. .(3)(3). .如如z z1 1=1,z=1,z2 2=i,=i,满足满足 =0,=0,但但z z1 1zz2 20.0.(4) .(4) .如如z z1 1=1+i,z=1+i,z2 2=1-i,z=1-i,z1 1z z2 2=2=2为实数为实数. .2212zz2.2.复数复数z=(2-i)iz=(2-i)i在复平面内对应的点位于在复平面内对应的点位于 ( () )A.A.第一象限第一象限B.B.第二象限第二象限C.C.第三象限第三象限D.D.第四象限第四象限【解析解析】选选A.z=(2-

9、i)i=2i-iA.z=(2-i)i=2i-i2 2=1+2i,=1+2i,在复平面内对应在复平面内对应的点为的点为Z(1,2),Z(1,2),在第一象限在第一象限. .3.3.复数复数z=z= 的共轭复数为的共轭复数为_,|z|=_._,|z|=_.2i1 i【解析解析】z= =1+i.z= =1+i. =1-i,|z|= =1-i,|z|= 答案答案: :1-i1-i 22i 1 i2i2i2i1 i1 i 1 i2z22112.24.4.已知复数已知复数z=1-i,z=1-i,则则 =_.=_.2z2zz1【解析解析】 =-2i. =-2i.答案答案: :-2i-2i221 i2 1 i

10、z2z2z11 i 1i 类型一复数的乘法运算类型一复数的乘法运算【典例典例】1.1.已知已知a,bR,ia,bR,i是虚数单位是虚数单位, ,若若a+i=2-bi,a+i=2-bi,则则(a+bi)(a+bi)2 2= = ( () )A.3-4iA.3-4iB.3+4iB.3+4iC.4-3iC.4-3iD.4+3iD.4+3i2.2.已知已知z z1 1=4+8i,z=4+8i,z2 2=6+9i,=6+9i,则则z=zz=z1 1zz2 2ii的实部为的实部为_,_,虚部为虚部为_._.【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中如何求实数中如何求实数a,ba,b的值的值? ?提示提示

11、: :利用复数相等的充要条件利用复数相等的充要条件. .2.2.典例典例2 2中中, ,如何求如何求z z1 1zz2 2ii的结果的结果? ?提示提示: :应用复数乘法运算法则进行计算应用复数乘法运算法则进行计算. .【解析解析】1.1.选选A.A.因为因为a+i=2-bi,a+i=2-bi,所以所以a=2,b=-1,a=2,b=-1,所以所以(a+bi)(a+bi)2 2=(2-i)=(2-i)2 2=3-4i,=3-4i,故选故选A.A.2.z=(4+8i)(6+9i)2.z=(4+8i)(6+9i)i=(24-72)+(36+48)ii=(24-72)+(36+48)ii i=-84-

12、48i.=-84-48i.答案答案: :-84-84-48-48【方法技巧方法技巧】复数的乘法运算法则的应用复数的乘法运算法则的应用(1)(1)复数的乘法运算可以把复数的乘法运算可以把i i看作字母看作字母, ,类比多项式的类比多项式的乘法进行乘法进行, ,注意要把注意要把i i2 2化为化为-1,-1,进行最后结果的化简进行最后结果的化简. .(2)(2)对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法, ,用用乘法公式更简便乘法公式更简便. .例如例如, ,平方差公式、完全平方公式等平方差公式、完全平方公式等. .【变式训练变式训练】1.(20181.(20

13、18全国卷全国卷)()(1+i)(2-i) 1+i)(2-i) = = ( () ) A.-3-iA.-3-iB.-3+iB.-3+iC.3-iC.3-iD.3+iD.3+i【解析解析】选选D.(1+i)(2-i)=2-iD.(1+i)(2-i)=2-i2 2-i+2i=3+i.-i+2i=3+i.2.2.已知复数已知复数z z与与(z+2)(z+2)2 2-8i-8i均是纯虚数均是纯虚数, ,则则z=_.z=_.【解析解析】设设z=bi(bRz=bi(bR且且b0),b0),则则(z+2)(z+2)2 2-8i-8i=(bi+2)=(bi+2)2 2-8i=4-b-8i=4-b2 2+(4b

14、-8)i,+(4b-8)i,依题意得依题意得 解得解得b=-2.b=-2.所以所以z=-2i.z=-2i.答案答案: :-2i-2i24b0,4b80,类型二复数的除法运算类型二复数的除法运算【典例典例】1.1.如图如图, ,在复平面内在复平面内, ,复数复数z z1 1,z,z2 2对应的向量对应的向量分别是分别是 则复数则复数 对应的点位于对应的点位于( () )OA OB ， ，12zzA.A.第一象限第一象限B.B.第二象限第二象限C.C.第三象限第三象限D.D.第四象限第四象限2.2.已知已知z z是纯虚数是纯虚数, , 是实数是实数, ,求求z.z.z21 i【解题探究解题探究】1

15、.1.典例典例1 1中中z z1 1,z,z2 2的形式是什么的形式是什么? ?提示提示: :由复数的几何意义知由复数的几何意义知z z1 1=-2-i,z=-2-i,z2 2=i.=i.2.2.典例典例2 2中可如何设中可如何设z,z,使运算更简便使运算更简便? ?提示提示: :设设z=bi(bRz=bi(bR且且b0).b0).【解析解析】1.1.选选B.B.由复数的几何意义知由复数的几何意义知,z,z1 1=-2-i,z=-2-i,z2 2=i,=i,所以所以 =-1+2i,=-1+2i,对应的点在第二象限对应的点在第二象限. .12z2izi 2.2.设纯虚数设纯虚数z=bi(bRz=

16、bi(bR且且b0),b0),则则 又又 是实数是实数, ,所以所以b+2=0,b+2=0,即即b=-2.b=-2.所以所以z=-2i.z=-2i. bi2 1 ib2b2 iz2bi2b2b2i1 i1 i1 i 1 i222，z21 i【延伸探究延伸探究】1.(1.(改变问法改变问法) )若典例若典例2 2条件不变条件不变, ,改为改为“求复数求复数 在复平面内对应点的轨迹在复平面内对应点的轨迹”, ,如何求解如何求解. .z21 i【解析解析】设设 =x+yi(x,yR),=x+yi(x,yR),由例题知由例题知 消去消去b b得得y-x=2(x-1)y-x=2(x-1)即复数即复数 在

17、复平面内对应点的轨迹是一直线在复平面内对应点的轨迹是一直线( (除去一点除去一点).).z21 ib2x,2b2y,2z21 i2.(2.(改变问法改变问法) )若典例若典例2 2条件不变条件不变, ,改为求复数改为求复数 的模的取值范围的模的取值范围. .z21 i【解析解析】由例题知由例题知 所以复数所以复数 的模的取值范围为的模的取值范围为( ,+).( ,+).z2b2b2i,1 i222222b2b2z212|2b8b42,1 i4422z21 i2【方法技巧方法技巧】应用复数除法法则的两个步骤应用复数除法法则的两个步骤(1)(1)分母实数化分母实数化: :分子、分母同乘以分母的共轭

18、复数分子、分母同乘以分母的共轭复数, ,转化为复数乘法运算转化为复数乘法运算. .(2)(2)结果化为复数代数形式结果化为复数代数形式. .类型三共轭复数的性质类型三共轭复数的性质【典例典例】1.1.设设i i是虚数单位是虚数单位, , 表示复数表示复数z z的共轭的共轭复数复数. .若若z=1+i,z=1+i,则则 = = ( () )A.-2A.-2B.-2iB.-2iC.2C.2D.2iD.2izzi zi2.2.已知复数已知复数z=1+i,z=1+i,复数复数z z的共轭复数的共轭复数 =1-i,=1-i,求实数求实数a,ba,b使使az+2b az+2b =(a+2z)=(a+2z)

19、2 2. .zz【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中中z z的共轭复数是什么的共轭复数是什么? ?提示提示: :复数复数z=1+iz=1+i的共轭复数是的共轭复数是 =1-i.=1-i.z2.2.典例典例2 2中如何求中如何求a,ba,b的值的值? ?提示提示: :等号两端分别运算化为一个复数代数形式等号两端分别运算化为一个复数代数形式, ,再利再利用复数相等的充要条件列方程组用复数相等的充要条件列方程组, ,求求a,ba,b的值的值. .【解析解析】1.1.选选C.C.因为因为z=1+i,z=1+i,所以所以 =1-i,=1-i,故故 =-i(1+i)+i(1-i)=-2i=-i(1

20、+i)+i(1-i)=-2i2 2=2.=2.zz1 ii zi(1 i)ii2.2.因为因为z=1+i, =1-i,z=1+i, =1-i,所以所以az+2b =(a+2b)+(a-2b)i,az+2b =(a+2b)+(a-2b)i,(a+2z)(a+2z)2 2=(a+2)=(a+2)2 2-4+4(a+2)i=(a-4+4(a+2)i=(a2 2+4a)+4(a+2)i.+4a)+4(a+2)i.由由a,bR,a,bR,及复数相等的充要条件及复数相等的充要条件, ,得得zz2a2ba4a,a2,a4,b1b2.a2b4 a2 , 解得或【方法技巧方法技巧】共轭复数的处理技巧共轭复数的处

21、理技巧当已知条件出现复数等式时当已知条件出现复数等式时, ,常设出复数的代数形式常设出复数的代数形式, ,利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解. .【变式训练变式训练】求复数求复数z=z= 的共轭复数的共轭复数 3i1 iz.【解析解析】z= z= 故故 =1-2i.=1-2i.223i 1 i3i24i12i.1 i112 z【补偿训练补偿训练】复数复数 的共轭复数对应的点位的共轭复数对应的点位于于( () )A.A.第一象限第一象限B.B.第二象限第二象限C.C.第三象限第三象限D.D.第四象限第四象限2i12i【解析解析】选选A.A.因为因为

22、所以其共轭复数为所以其共轭复数为 , ,对应的点为对应的点为 , ,故选故选A.A.2i 12i2i43i12i12i 12i55，43i554 3( , )5 5【规范答题案例规范答题案例】共轭复数共轭复数【典例典例】设设zC,zC, 为为z z的共轭复数的共轭复数, ,若若 z+iz=z+iz= 求求z.z.zz103i，【错解案例错解案例】设设z=a+bi(a,bR),z=a+bi(a,bR),则则 =a-bi,=a-bi,因为因为 z+iz= z+iz= 所以所以(a-bi)(a+bi)+i(a+bi)=3-i.(a-bi)(a+bi)+i(a+bi)=3-i.即即a a2 2+b+b

23、2 2+b+ai=3-i,+b+ai=3-i,zz103i， 所以所以z=-1+iz=-1+i或或z=-1-2i.z=-1-2i.22abb3a1a1a1b1b2. ，所以，解得或，错误原因错误原因防范措施防范措施错把错把i i2 2当成当成1 1对虚数单位的定义要掌握好对虚数单位的定义要掌握好【正解正解】设设z=a+bi(a,bR),z=a+bi(a,bR),则则 =a-bi,=a-bi,因为因为 z+iz= z+iz= 所以所以(a-bi)(a+bi)+i(a+bi)=3-i.(a-bi)(a+bi)+i(a+bi)=3-i.即即a a2 2+b+b2 2-b+ai=3-i,-b+ai=3

24、-i, 所以所以z=-1-iz=-1-i或或z=-1+2i.z=-1+2i.zz103i，22a1a1abb3b1b2.a1 ，所以解得或，【即时应用即时应用】计算计算:(1):(1) (2)(4-i(2)(4-i5 5)(6+2i)(6+2i7 7)+(7+i)+(7+i1111)(4-3i).)(4-3i).2018222i2().1 i1 i【解析解析】(1) (1) =i(1+i)+ =-1+i+(-i)=i(1+i)+ =-1+i+(-i)1 0091 009=-1+i-i=-1.=-1+i-i=-1.(2)(2)原式原式=(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i)=(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i)=22-14i+25-25i=47-39i.=22-14i+25-25i=47-39i.20181009222i222i2()()1 i2i2i1 i10091( )i