2020版高中数学第三章导数应用3.2.1实际问题中导数的意义课件北师大版选修2_2.ppt

《2020版高中数学第三章导数应用3.2.1实际问题中导数的意义课件北师大版选修2_2.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高中数学第三章导数应用3.2.1实际问题中导数的意义课件北师大版选修2_2.ppt（55页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2导数在实际问题中的应用2.1实际问题中导数的意义生活中的变化率问题生活中的变化率问题(1)(1)在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为功率功率，它的单位是瓦特它的单位是瓦特. .(2)(2)在气象学中，通常把在单位时间在气象学中，通常把在单位时间( (如如1 1时、时、1 1天等天等) )内内的降雨量称作的降雨量称作降雨强度降雨强度，它是反映一次，它是反映一次降雨降雨大小的一大小的一个重要指标个重要指标. .(3)(3)在经济学中，通常把生产成本在经济学中，通常把生产成本y y关于产量关于产量x x的函数的函数y=f(x)y=f(x)的导函数称为的导

2、函数称为边际成本边际成本，边际成本，边际成本f(xf(x0 0) )指的指的是当产量为是当产量为x x0 0时，生产成本的增加速度，也就是当产时，生产成本的增加速度，也就是当产量为量为x x0 0时，每增加一个单位的产量，需要增加时，每增加一个单位的产量，需要增加f(xf(x0 0) )个单位的成本个单位的成本. .【思考思考】(1)(1)设总成本函数为设总成本函数为C=C(q)C=C(q)，C C表示总成本，表示总成本，q q表示产量，表示产量，那么那么C(q)C(q)的导数的导数C(q)C(q)是什么？其经济意义是什么？是什么？其经济意义是什么？提示：提示：C C(q)(q)为产量为为产量

3、为q q个单位时的边际成本个单位时的边际成本. .边际成边际成本的经济意义是：当产量达到本的经济意义是：当产量达到q q个单位时，再增加一个个单位时，再增加一个单位的产量，总成本将增加单位的产量，总成本将增加C C(q)(q)个单位个单位. .(2)(2)设总利润函数为设总利润函数为L L= =L L(q)(q)，L L表示总利润，表示总利润，q q表示销售表示销售量，那么量，那么L L= =L L(q)(q)的导数的导数L L(q)(q)是什么？其经济意义是是什么？其经济意义是什么？什么？提示：提示：L L(q)(q)为销售量为为销售量为q q个单位时的边际利润个单位时的边际利润. .边际边

4、际利润的经济意义是：销售量达到利润的经济意义是：销售量达到q q个单位的时候，再增个单位的时候，再增加一个单位的销量，相应的总利润增加加一个单位的销量，相应的总利润增加L L(q)(q)个单位个单位. .【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析( (对的打对的打“”“”，错的打，错的打“”)”)(1)(1)导数解决的问题通常是变化率的问题导数解决的问题通常是变化率的问题. .( () )(2)(2)位移对时间的导数是速度，速度对时间的导数为加位移对时间的导数是速度，速度对时间的导数为加速度速度. .( () )(3)(3)导数的实际意义与变量表示的实际含义有关，同一导数的实际意义与变量表示

5、的实际含义有关，同一个函数表达式，其导数的实际意义因变量实际含义的个函数表达式，其导数的实际意义因变量实际含义的不同而不同不同而不同. .( () )【解析解析】(1).(1).导数是变化率的极限值，所以导数解导数是变化率的极限值，所以导数解决的问题通常是变化率问题决的问题通常是变化率问题. .(2).(2).根据位移和速度的定义可知其正确根据位移和速度的定义可知其正确. .(3).(3).导数是切线的斜率、物体的运动速度等实际问导数是切线的斜率、物体的运动速度等实际问题的抽象，其实际意义因变量实际含义的不同而不同题的抽象，其实际意义因变量实际含义的不同而不同. .2.2.一质点的运动方程为一

6、质点的运动方程为s=5-3ts=5-3t2 2，则该质点在，则该质点在t=2t=2时的时的速度等于速度等于( () )A.-12A.-12B.12B.12C.2C.2D.-7D.-7【解析解析】选选A.A.因为因为s=-6ts=-6t，所以，所以s(2)=-12.s(2)=-12.3.3.一次降雨过程中，降雨量一次降雨过程中，降雨量y y是时间是时间t(t(单位：单位：h)h)的函数，的函数，用用y=f(t)y=f(t)表示，则表示，则f(10)f(10)表示表示( () )A.t=10A.t=10时的降雨强度时的降雨强度B.t=10B.t=10时的降雨量时的降雨量C.10C.10小时的平均降

7、雨量小时的平均降雨量D.t=10D.t=10时的温度时的温度【解析解析】选选A.f(t)A.f(t)表示表示t t时刻的降雨强度时刻的降雨强度. .类型一导数在物理学中的应用类型一导数在物理学中的应用【典例典例】某质点的运动方程为某质点的运动方程为s=s(t)=2ts=s(t)=2t2 2+3t+3t，其中，其中s s是位移是位移( (单位：单位：m)m)，t t是时间是时间( (单位：单位：s).s).(1)(1)求当求当t t从从1 s1 s变到变到3 s3 s时，位移时，位移s s关于时间关于时间t t的平均变的平均变化率，并解释它的实际意义化率，并解释它的实际意义. .(2)(2)求求

8、s(1)s(1)，s(2)s(2)，并解释它们的实际意义，并解释它们的实际意义. .【思维思维引引】求出函数的平均变化率，根据导数的实求出函数的平均变化率，根据导数的实际意义解释际意义解释. .【解析解析】(1)(1)当当t t从从1 s1 s变到变到3 s3 s时，时，s s关于关于t t的平均变化的平均变化率为率为 =11(m/s).=11(m/s).它表示从它表示从t=1 st=1 s到到t=3 st=3 s这段时间内，该质点平均每秒这段时间内，该质点平均每秒的位移是的位移是11 m.11 m.ss(3)s(1)275t3 13 1(2)(2)由导数公式表和导数的运算法则可得由导数公式表

9、和导数的运算法则可得s s(t)=4t+3(t)=4t+3，则则s s(1)=4+3=7(m/s)(1)=4+3=7(m/s)，s s(2)=4(2)=42+3=11(m/s).2+3=11(m/s).s s(1)(1)表示的是该质点在表示的是该质点在t=1 st=1 s时的瞬时速度，也就是时的瞬时速度，也就是该质点在该质点在t=1 st=1 s这个时刻的瞬时速度为这个时刻的瞬时速度为7 m/s.7 m/s.s s(2)(2)表示的是该质点在表示的是该质点在t=2 st=2 s时的瞬时速度，也就是时的瞬时速度，也就是该质点在该质点在t=2 st=2 s这个时刻的瞬时速度为这个时刻的瞬时速度为1

10、1 m/s.11 m/s.【内化内化悟悟】除在物理中应用到导数外，导数还会应用到哪些领除在物理中应用到导数外，导数还会应用到哪些领域？域？提示：提示：化学变化率如浓度、酸碱性的变化率、生物的化学变化率如浓度、酸碱性的变化率、生物的变化率比如细菌繁殖等变化率比如细菌繁殖等. .【类题类题通通】三角度理解导数在物理学中的意义三角度理解导数在物理学中的意义(1)(1)正确理解导数的定义，按照导数的定义去思考实际正确理解导数的定义，按照导数的定义去思考实际问题问题. .(2)(2)看函数值的改变量看函数值的改变量yy及自变量的改变量及自变量的改变量xx的实际的实际意义意义. .(3)(3)看看xx趋于

11、趋于0 0时，时， 趋于一个固定值的实际意义趋于一个固定值的实际意义. .yx【习练习练破破】某河流在一段时间某河流在一段时间x minx min内流过的水量为内流过的水量为y my m3 3，y y是是x x的的函数，且函数，且y=f(x)= .y=f(x)= .(1)(1)当当x x从从1 1变到变到8 8时，时，y y关于关于x x的平均变化率是多少？的平均变化率是多少？(2)(2)求求f(27)f(27)，并解释它的实际意义，并解释它的实际意义. .3x【解析解析】(1)(1)当当x x从从1 1变到变到8 8时，时，y y关于关于x x的平均变化率为的平均变化率为 (m(m3 3/m

12、in)./min).f(8)f(1)2 118 177(2)f(2)f(x)= (x)= ，于是，于是f f(27)= (27)= (m (m3 3/min)/min)，实际意义为当时间为实际意义为当时间为27 min27 min时，水流量增加的速度为时，水流量增加的速度为 m m3 3/min/min，也就是当时间为，也就是当时间为27 min27 min时，每增加时，每增加1 min1 min，水流量增加，水流量增加 m m3 3. .231x3231127327127127类型二导数在经济生活中的应用类型二导数在经济生活中的应用【典例典例】某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力某机械厂生

13、产某种机器配件的最大生产能力为每日为每日100100件，假设日产品的总成本件，假设日产品的总成本C(C(元元) )与日产量与日产量x(x(件件) )的函数关系为的函数关系为C(x)= xC(x)= x2 2+60 x+2 050.+60 x+2 050.求当日产求当日产量由量由1010件提高到件提高到2020件时，总成本的平均改变量，并说件时，总成本的平均改变量，并说明其实际意义明其实际意义. .14【思维思维引引】求出总成本的平均改变量并解释其实际求出总成本的平均改变量并解释其实际意义意义. .【解析解析】当当x x从从1010件提高到件提高到2020件时，总成本件时，总成本C C从从C(1

14、0)=C(10)=2 6752 675元变到元变到C(20)=3 350C(20)=3 350元元. .此时总成本的平均改变量为此时总成本的平均改变量为 =67.5(=67.5(元元/ /件件) )，其表示日产量从其表示日产量从1010件提高到件提高到2020件时平均每件产品的总件时平均每件产品的总成本的改变量成本的改变量. .C(20)C(10)20 10【素养素养探探】在解决导数在经济生活中的实际意义问题时，一般要在解决导数在经济生活中的实际意义问题时，一般要求函数的平均变化率，所用的数学核心素养是数学运求函数的平均变化率，所用的数学核心素养是数学运算算. .1.1.典例的条件不变，求当日

15、产量为典例的条件不变，求当日产量为7575件时的边际成本，件时的边际成本，并说明其实际意义并说明其实际意义. .【解析解析】因为因为C(x)= x+60C(x)= x+60，所以，所以C(75)= C(75)= 75+60=97.5(75+60=97.5(元元/ /件件) )，它指的是当日产量为，它指的是当日产量为7575件时，件时，每多生产一件产品，需增加成本每多生产一件产品，需增加成本97.597.5元元. .12122.2.典例的条件典例的条件“C(x)= xC(x)= x2 2+60 x+2 050”+60 x+2 050”变为变为“C(x)=C(x)= x x2 2+ax+2 050

16、+ax+2 050，当日产量为，当日产量为7575件时的边际成本大于件时的边际成本大于97.597.5元元/ /件件”，求，求a a的取值范围的取值范围. .1414【解析解析】因为因为C(x)= x+aC(x)= x+a，所以日产量为，所以日产量为7575件时的件时的边际成本大于边际成本大于97.597.5元元/ /件，即件，即C(75)= C(75)= 75+a75+a97.597.5，解得，解得a60.a60.1212【类题类题通通】解决实际问题的一般步骤解决实际问题的一般步骤(1)(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题

17、的主要关系找出问题的主要关系. .(2)(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型建立相应的数学模型. .(3)(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解学方法求解. .(4)(4)对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确的判断，确定其答案的判断，确定其答案. .【发散发散拓拓】导数在经济学中的应用是边际分析和弹性分析导数在经济学中的应用是边际分析和弹性分析边际和弹性是经济学中两个重要的概念，用导数来研边际和弹性

18、是经济学中两个重要的概念，用导数来研究经济变量的边际和弹性的方法，称之为边际分析和究经济变量的边际和弹性的方法，称之为边际分析和弹性分析弹性分析. .边际函数：在经济学中，把函数边际函数：在经济学中，把函数f(x)f(x)的导函数的导函数f(x)f(x)称为称为f(x)f(x)的边际函数的边际函数. .在点在点x=xx=x0 0处的值处的值f(xf(x0 0) )称之为称之为f(x)f(x)在点在点x=xx=x0 0处的边际值处的边际值( (或变化率、变化速度等或变化率、变化速度等).).由导数的定义，当由导数的定义，当xx趋于趋于0 0时，比值时，比值 趋于一个常数趋于一个常数A A，则称常

19、数，则称常数A A为函数为函数f(x)f(x)在点在点x=xx=x0 0处的处的导数，记作导数，记作f(xf(x0 0) )，因此当，因此当xx趋于趋于0 0时，时，f(xf(x0 0).).在经济学中，通常取在经济学中，通常取x=1x=1，就认为，就认为xx达达到很小，故有到很小，故有f(xf(x0 0+x)-f(x+x)-f(x0 0)f(x)f(x0 0).).在实际问题在实际问题00f(xx)f(x )yxx00f(xx)f(x )x中，略去中，略去“近似近似”两字，就得到两字，就得到f(x)f(x)在在x x0 0处的边际值处的边际值f(xf(x0 0) )的经济意义：即当自变量的经

20、济意义：即当自变量x x在在x x0 0的基础上再增的基础上再增加一个单位时，函数加一个单位时，函数f(x)f(x)的改变量的改变量. .【习练习练破破】已知某商品的成本函数为已知某商品的成本函数为C(Q)=100+ (QC(Q)=100+ (Q为产品的数为产品的数量量).).(1)(1)求求Q=10Q=10时的总成本、平均成本及边际成本时的总成本、平均成本及边际成本. .(2)(2)当产量当产量Q Q为多少时，平均成本最小？最小为多少？为多少时，平均成本最小？最小为多少？2Q4【解析解析】(1)Q=10(1)Q=10时的总成本时的总成本C(10)=100+ =125C(10)=100+ =1

21、25；Q=10Q=10时的平均成本为时的平均成本为 =12.5.=12.5.边际成本即成本函数边际成本即成本函数C(Q)C(Q)对产量对产量Q Q的导数，的导数，故边际成本故边际成本C C(Q)= Q(Q)= Q，Q=10Q=10时的边际成本是时的边际成本是C C(10)(10)=5.=5.2104C(10)1012(2)(2)由由(1)(1)得，平均成本为得，平均成本为 而而 =10=10，当且仅当当且仅当 ，即，即Q=20Q=20时，等号成立，时，等号成立，所以当产量所以当产量Q Q为为2020时，平均成本最小，且平均成本的最时，平均成本最小，且平均成本的最小值是小值是10.10.C(Q)

22、100Q,QQ4100Q100 Q2Q4Q4100QQ4类型三导数在生活中的应用类型三导数在生活中的应用【典例典例】一名工人上班后开始连续工作，生产的产品一名工人上班后开始连续工作，生产的产品质量质量y(y(单位：单位：g)g)是工作时间是工作时间x(x(单位：单位：h)h)的函数，设这的函数，设这个函数为个函数为y=f(x)= y=f(x)= 2x4 x.20(1)(1)求求x x从从1 h1 h变到变到4 h4 h时，时，y y关于时间关于时间x x的平均变化率，的平均变化率，并解释它的实际意义并解释它的实际意义. .(2)(2)求求f(1)f(1)，f(4)f(4)，并解释它的意义，并解

23、释它的意义. .【思维思维引引】求出函数求出函数f(x)f(x)的平均变化率，并解释其的平均变化率，并解释其实际意义实际意义. .【解析解析】(1)(1)当当x x从从1 h1 h变到变到4 h4 h时，产量时，产量y y从从f(1)= f(1)= 变到变到f(4)= f(4)= 此时平均变化率为此时平均变化率为 (g/h)(g/h)，它表示从，它表示从1 h1 h到到4 h4 h这段时间这段时间这名工人平均每小时生产这名工人平均每小时生产 g g产品产品. .81 g20176 g20，f(4)f(1)4 1176811920203121912(2)f(2)f(x)= (x)= ，于是，于是

24、f f(1)= (g/h)(1)= (g/h)，f f(4)=(4)= (g/h) (g/h)，分别表示在第，分别表示在第1 1小时和第小时和第4 4小时这名工人每小时这名工人每小时生产产品小时生产产品 g g和和 g.g.x210 x211075211075【内化内化悟悟】导数在实际生活中的应用的具体思路是什么？导数在实际生活中的应用的具体思路是什么？提示：提示：结合导数在实际问题中的应用及数值所代表的结合导数在实际问题中的应用及数值所代表的实际意义进行转化求解实际意义进行转化求解. .【类题类题通通】正确理解导数的实际意义正确理解导数的实际意义在不同的实际问题中导数的意义是不相同的，要结合

25、在不同的实际问题中导数的意义是不相同的，要结合具体问题进行分析，在理解导数的实际意义时，要注具体问题进行分析，在理解导数的实际意义时，要注意函数所表示的对象是什么，在某一点处的导数的实意函数所表示的对象是什么，在某一点处的导数的实际意义，问题不同有不同的意义际意义，问题不同有不同的意义. .【习练习练破破】某年高考，某考生在参加数学学科考试时，其解答完某年高考，某考生在参加数学学科考试时，其解答完的题目数量的题目数量y(y(单位：道单位：道) )与所用时间与所用时间x(x(单位：分钟单位：分钟) )近近似地满足函数关系似地满足函数关系y=2 .y=2 .x(1)(1)求求x x从从0 0分钟变

26、化到分钟变化到3636分钟时，分钟时，y y关于关于x x的平均变化率，的平均变化率，并解释它的实际意义并解释它的实际意义. .(2)(2)求求f(64)f(64)，f(100)f(100)，并解释它的实际意义，并解释它的实际意义. .【解析解析】(1)x(1)x从从0 0分钟变化到分钟变化到3636分钟，分钟，y y关于关于x x的平均变的平均变化率为化率为 ( (道道/ /分钟分钟).).它表示该考生前它表示该考生前3636分钟平均每分钟解答分钟平均每分钟解答 道题道题. .f(36)f(0)12136036313(2)(2)因为因为f f(x)= (x)= ，所以，所以f f(64)= (64)= (道道/ /分钟分钟) )，f f(100)= (100)= (道道/ /分钟分钟).).它们分别表示该考生在第它们分别表示该考生在第6464分钟和第分钟和第100100分钟时每分钟可解答分钟时每分钟可解答 和和 道题道题. .1x1811018110