对数函数和指数函数知识点及应用(共15页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2007年高考数学第一轮复习-指数与对数函数一、指数与对数运算： （一）知识归纳：1根式的概念：定义：若一个数的次方等于，则这个数称的次方根.即，若，则称的次方根，1）当为奇数时，次方根记作；2）当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作.性质：1）； 2）当为奇数时，；3）当为偶数时，2幂的有关概念：规定：1）N*， 2）， n个3）Q，4）、N* 且性质：1）、Q），2）、 Q），3） Q）（注）上述性质对r、R均适用.3对数的概念：定义：如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底N的对数，记作其中称对数的底，N称真数.1）以10为底的对数称常

2、用对数，记作，2）以无理数为底的对数称自然对数，记作基本性质：1）真数N为正数（负数和零无对数）， 2），3）， 4）对数恒等式：运算性质：如果则1）；2）；3）R）.换底公式：1）， 2）（二）学习要点：1（其中）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底.2要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验.【

3、例1】解答下述问题：（1）计算：解析原式=（2）计算.解析分子=；分母=；原式=.（3）化简：解析原式=.（4）已知：值.解析.评析这是一组很基本的指数、对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧.【例2】解答下述问题：（1）已知，求证：解析，=（2）若，求的值.解析去分母得，、是二次方程的两实根，且，解得，评析例2是更综合一些的指数、对数运算问题，这种问题更接近考试题的形式，应多从这种练习中积累经验.二、指数函数与对数函数（一）学习要点：1指数函数：定义：函数称指数函数，1）函数的定义

4、域为R， 2）函数的值域为，3）当时函数为减函数，当时函数为增函数.函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限，2）指数函数都以轴为渐近线（当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴），3）对于相同的，函数的图象关于轴对称.，函数值的变化特征：2对数函数：定义：函数称对数函数，1）函数的定义域为， 2）函数的值域为R，3）当时函数为减函数，当时函数为增函数，4）对数函数与指数函数互为反函数.1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限，2）对数函数都以轴为渐近线（当时，图象向上无限接近轴；当时，图象向下无限接近轴）.，.，.4）对于相同的，函

5、数的图象关于轴对称.函数值的变化特征：（二）学习要点：1解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识.2指数、对数函数值的变化特点（上面知识结构表中的12个小点）是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析.3含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类.4在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函

6、数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力.【例1】已知是奇函数 （其中，（1）求的值；（2）讨论的单调性；（3）求的反函数；（4）当定义域区间为时，的值域为，求的值.解析（1）对定义域内的任意恒成立，当不是奇函数，（2）定义域为，求导得，当时，在上都是减函数；当时，上都是增函数；（另解）设，任取，结论同上；（3），（4）上为减函数，命题等价于，即，解得.评析例1的各个小题概括了指数、对数函数的各种常见的基本问题，熟练掌握这些基本问题的解答程序及方法是很重要的能力训练，要认真总结经验.【例2】对于函数，解答下述问题：（1）若函数的定义域为R，求实数a的取值

7、范围；（2）若函数的值域为R，求实数a的取值范围；（3）若函数在内有意义，求实数a的取值范围；（4）若函数的定义域为，求实数a的值；（5）若函数的值域为，求实数a的值；（6）若函数在内为增函数，求实数a的取值范围.解答记，（1）恒成立，的取值范围是；（2）这是一个较难理解的问题。从“的值域为R”，这点思考，“的值域为R”等价于“能取遍的一切值”，或理解为“的值域包含了区间”的值域为命题等价于，a的取值范围是；（3）应注意“在内有意义”与定义域的概念是不同的，命题等价于“恒成立”，应按的对称轴分类，的取值范围是；（4）由定义域的概念知，命题等价于不等式的解集为，是方程的两根，即a的值为2；（5）

8、由对数函数性质易知：的值域为，由此学生很容易得，但这是不正确的.因为“”与“的值域为”并不等价，后者要求能取遍的一切值（而且不能多取）.的值域是，命题等价于；即a的值为1；（6）命题等价于：，即，得a的取值范围是.评析学习函数知识及解决函数问题，首先是要非常准确理解与掌握函数中的每个概念，许多函数的概念都有很深刻的内涵，解决问题时要仔细揣摩各种概念之间的联系与不同，才能作出准确的解答，并要在学习中不断积累经验. 【例3】解答下述问题：（）设集合，若当时，函数的最大值为2，求实数a的值.解析而，令，其对称轴，当，即，适合；当，适合；综上，.（）若函数在区间0，2上的最大值为9，求实数a的值.解析

9、，令，抛物线的对称轴为，当，不合；当时，适合；综上，（）设关于的方程R），（1）若方程有实数解，求实数b的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解.解析（1）原方程为，时方程有实数解；（2）当时，方程有唯一解；当时，.的解为；令的解为；综合、，得1）当时原方程有两解：；2）当时，原方程有唯一解；3）当时，原方程无解.评析例3是一组具有一些综合性的指数、对数问题，问题的解答涉及指数、对数函数，二次函数、参数讨论、方程讨论等各种基本能力，这也是指数、对数问题的特点，题型非常广泛，应通过解题学习不断积累经验.训练题一、选择题：1若N*，则（ ）A2BCD2若，则（ ）A4

10、B16C256D813当时，的大小关系是（ ）ABCD4若，则a的取值范围是（ ）ABCD5函数的定义域为1，2，则函数的定义域为（ ）A0，1B1，2C2，4D4，166若函数上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）A9，12B4，12C4，27D9，27二、填空题：7计算 .8函数是减函数，则实数a的取值范围是 .9若，则实数k的取值范围是 .10已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是 .三、解答题：11已知的值. 12已知函数， （1）求的定义域； （2）此函数的图象上是否存在两点，过这两点的直线平行于x轴？ （3）当a、b满足什么条件时恰在取正值.13求函数的值域.14在函数的图象上有

11、A、B、C三点，它们的横坐标分别为、，若ABC的面积为S，求函数的值域.15已知函数， （1）讨论的奇偶性与单调性； （2）若不等式的解集为的值； （3）求的反函数； （4）若，解关于的不等式R）.作案与解析一、选择题：1.A 2.C 3.B 4.D 5.D 6.A二、填空题710 8 9 1011，而，.12（1），又，故函数的定义域是.（2）问题的结论取决于的单调性，考察这个函数的单调性有三种方法：求导，运用单调性定义，复合分析，但以方法最好.（解一）求导得：，在定义域内单调递增，故不存在所述两点；（解二）任取，则，即在定义域内单调递增，故不存在所述两点；（3）在单调递增，命题等价于：，13，（1）当，即时，；（2）当，即时，上单调递减，值域为.14设A、B、C在轴上的射影分别为A1、B2、C1，令，的值域为15（1）定义域为为奇函数；，求导得，当时，在定义域内为增函数；当时，在定义域内为减函数；（2）当时，在定义域内为增函数且为奇函数，；当在定义域内为减函数且为奇函数，；（3）R）；（4），；当时，不等式解集为R；当时，得，不等式的解集为；当专心-专注-专业