导数证明不等式---泰勒公式来变形(共5页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上导数证明不等式 泰勒公式来变形 阅读提示：用导数证明不等式是高中数学的难点热点问题，题型多，方法活，而其中很重要的一类不等式是与泰勒公式及其变形有关.本文以2018年全国卷文21题为例，探寻解题思想，发现试题背景.并通过引入参数，对试题变形，得到一系列变式问题，真正达到举一反三的目的.试题呈现例(2018年全国卷文21) 已知函数()设是的极值点，求，并求的单调区间；()证明：当时，解法分析() 略()思路1：要证：当时，需要证明：当时，所以转化为求的最小值.解法1：，是增函数，当时，,则在上存在唯一实数解，不妨设为，则，当时，在上是减函数，当时，在上是增函数，所以当

2、时，,又，两边取对数，得，即，当时，当时，在上是减函数，当时，在上是增函数，所以当时，综上，当时，思路2：主参分离，不等式等价转化成一个新的不等式.解法2：设，则令，则，是减函数，且，当时，是增函数，当时，是减函数，当时，又，所以，即.思路3：要证明：当时，此时中含两个变量，想法消掉一个变量，由条件利用不等式的传递性，可以把消掉，可得,这样就变成单变量问题.接下来证明即可.解法3：当时，构造函数，则.当时，；当时，. 所以是的最小值点.故当时，. 因此，当时，. 思路4：由泰勒公式变形得到的不等式，结合不等式的传递性证明.解法4：接方法三， 证明即可，由泰勒公式的变形，可得.用代替可得：. 对

3、 两边取然对数，可得， 用代替，可得，即. 由 可得，故，因此，当时，. 解法赏析：解法1是不等式证明的最基本的方法，转化成求函数的最值，但需要用隐零点的方法，即只设不解，整体代换.确定隐零点的区间是关键。解法2是利用不等式转化法，主参分离等价转成求函数的最大值问题。解法3是通过放缩消元，把缩小成，即利用的不等式的传递性转化成只含变量不等式证明题。这样的放缩方法在不等式证明题中经常使用，带有一定的技巧性。方法4最精妙，常用的不等式，本质上是泰勒公式的变形，通过不等式的传递性巧妙得证.本题的四种方法是利用导数证明不等式常用方法.试题背景：本题的背景是泰勒展开式，对于函数在处的泰勒展开式如下： 上

4、式也叫的麦克劳林公式，从此式出发，可以演绎出一些十分重要的不等式. 式等号右边取两项，则有 式两边取自然对数，得 式中用替换，得 式两边取自然对数，得 式中用 替换，得 结合式和式，得 对 式等号右边取三项，四项，则有 上述不等式 到式，当且仅当时取等号引申变形变式1 设，若对于任意，恒成立，求参数的取值范围. 答案： 变式2 设，若对于任意，恒成立，求参数的取值范围. 答案： 变式3 设，若对于任意，恒成立，求参数的取值范围. 答案： 变式4 设，若对于任意，恒成立，求参数的取值范围. 答案： 变式5 设，若对于任意，恒成立，求参数的取值范围. 答案： 变式6 设，若对于任意，恒成立，求参数

5、的取值范围. 答案： 变式7 设函数证明：当时，；证明：当时，由，两边取倒数可得，从而，即，故当时，变式8 已知函数，求函数的最小值.解：因为，所以当时，所以，等号当且仅当时取得，所以的最小值是 题后反思：数学家波利亚曾形象地说：好问题同某种蘑菇有些相像，它们成堆生长，找到一个以后，你应当在周围找找，很可能附近就有几个。我们通过对泰勒公式的研究，得到的背景。对此不等式恒等变形及未知数用不同的表达式替换，又形成了一系列不等式，这是不等式中的宝贵财富。然后在不等式不同位置添加参数，又变式出8道数学题，真可谓硕果累累。练习：1.（2010年全国）设函数（1）若，求的单调区间；（2）若时，求的取值范围

6、2.（2013年辽宁）已知函数，当时，求证：3.【2016新课标3文】设函数（）讨论的单调性；（）证明当时，；答案：1.（1）时，.当时，；当时，.故在单调递减，在单调递增（2），由（1）知，当且仅当时等号成立.故，从而当，即时，而，于是当时，.由可得，即.从而当时，故当时，而，于是当时，.综上可得的取值范围为.2. 证明：要证时,，只需证明.记,则，当时，因此在上是增函数，故所以，要证时,，只需证明记，则，当时,，因此在上是增函数，故.所以，综上，,3.（）由题设，的定义域为，令，解得.当时，单调递增；当时，单调递减.（）由（）知，在处取得最大值，最大值为.所以当时，.故当时，即. 专心-专注-专业